CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. i5q

une forme modifiée permettant de les exprimer suivant les puissances du module. A une époque récente, il inventa une méthode permettant de traiter toutes les fonctions elliptiques d'une manière symétrique. Il fut conduit naturellement à cette méthode par ses recherches sur la théorie générale des fonctions, dans lesquelles il embrassait, en les coordonnant, les diverses voies suivies antérieurement.

* Aux fonctions d'Abel et de Jacobi, $n, en, drii 0, Weierstrass

a substitué d'autres éléments elliptiques, les fonctions/), $, c, qui ùj simplifient les formules et les applications. Après Abel, Jacobi et Weierstrass, on appelle aujourd'hui fonctions elliptiques les fonctions (iTSéûx périodes ^djjne. seule variable ; leur théorie est aussi achevée que celle des fonctions circulaires. Leurs applications sont des plus nombreuses : en analyse pour les équations do M. Picard, dont la plus simple, intégrée par Hermite, est une équation célèbre que Lamé avait rencontrée dans ses recherches de physique mathématique ; en mécanique rationnelle /aussi *. tA i*lxX'

' En particulier, Weierstrass construisit une théorie des fonctions analytiques uniformes. La représentation des fonctions par des produits infinis et par des séries attira également d'une façon toute spéciale son attention. En dehors de ses travaux sur les fonctions, il écrivit encore ou fit des leçons sur la nature des hypothèses faites en analyse, sur le calcul des variations, et sur la théorie des surfaces minima. Ses méthodes sont remarquables à cause de leur grande généralité. Des recherches récentes faites sur les fonctions elliptiques sont en grande partie basées sur les méthodes de Weierstrass.

* Weierstrass s'est préoccupé toute sa vie des fonctions abéliennes ; dans la première période de sa carrière, il applique à ces transcendantes, et en particulier aux fonctions hyperelliptiques, les propriétés connues de sn% en et dn ; à cette époque survint le premier mémoire de Riemann, qui relégua au second plan les fonctions hyperelliptiques : les fonctions abéliennes engendrées par les courbes algébriques les plus générales venaient à l'ordre du jour.

C'est alors que Weierstrass se posa ce problème : rechercher les fonctions périodiques les plus générales. Un premier problème déjà résolu par Jacobi, se posait : combien une fonction de n

i6q histoire des mathématiques

variablej peut-elle avoir de périodes ,? an, démontra lui aussi Weierstrass et plus simplement que son devancier. Puisa son tour il dirigea sep recherches vers les fonctions de n variables à an périodes les plus générales et parvint à montrer qu'elles jouissent de propriétés analogues à celles des transcendantes elliptiques, théorèmes d'addition notamment, résultats importants s'il en fut.

Mais la principale découverte de Weierstrass est celle des facteurs primaires.

Les transcendantes les plus simples sont les fonctions entières, qui n'ont de point] singulier]* qu'à l'infini. Ces transcendantes sont toujours, des produits de facteurs primaires, composés chacun du produit d'un polynôme du premier degré par une exponentielle dont l'exposant est un polynôme de degré q : q est dit genre du facteur primaire. Une fonction est de genre q quand tous ses facteurs primaires sont de genre q au plus.

A cette découverte se rattache la classification des fonctions entières en genres, dont l'importance arithmétique a été récemment mise en évidence par M. lladamard. Weierstrass a trouvé là également le moyen de construire une fonction entière ayant des zéros, ou racines, donnés.

Weierstrass a de plus trouvé dans la notion des facteurs primaires le moyen de représenter toute fonction méromorphe, on nomme ainsi les fonctions à singularités simplement polaires, par un quotient de fonctions entières, propriété^ que M. Poincaré a étendue^ aux fonctions de deux variables.

Le domaine ainsi ouvert aux géomètres était immense. MM. Runge et Mittag-Lefller peuvent désormais effectuer lareprésentation des iqnctions uniformes par des séries d'éléments simples ; M. Picard peut montrer qu'une fonction entière peut prendre toutes les valeurs finies, sauf une peut-être ; M. Poincaré 1 peut faire voir que si y est une fonction analytique non uniforme de x, on peut toujours exprimer x et y en fonction uniforme d'une variable z, ramenant ainsi l'étude des fonctions non uniformes à celles des fonctions uniformes ; MM. Appell et Goursat étudient les fonctions à espaces lacunaires, M. Painlevé les lignes singulières des fonctions analytiques, MM. Borel et Hadamard donnent d'importantes propriétés des séries de puissances.

C'est enfin Weierstrass qui, le premier, a donné l'exemple d'une,