CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. l6l

fonction continue sans dérivée, à laquelle correspond une courbe où la tangente en un point quelconque est indéterminée... exemple frappant de la rigueur qu'il voulait voir en tout, de sa logique inflexible *.

Au nombre des continuateurs et des émules de Weierstrass, nous citerons G.~H. Halphen (*)[i8liti-i88(]i), officier dans l'armée française, dont les recherches sont largement fondées sur les travaux de Weierstrass et F.-C. Klein, de Gœttingue. Les travaux de ce dernier sont relatifs aux fonctions abéliennes, aux fonctions elliptiques modulaires, et aux fonctions hyperelliptiques. Nous devons citer encore ll.-A.Schwarz, de Berlin ; H. Weber, de Strasbourg; M. Nother, d'Erlangen; W. Stahl, d'Aix-la-Chapelle; F. -G. Frobenius, de Berlin et J.-W.-L. Glaisher, de Cambridge, qui a développé, en particulier la théorie de la fonction zêta.

Les ouvrages les plus répandus de nos jours sur les fonctions elliptiques sont peut-être ceux de J. Tannery et J. Molk, 4 volumes, Paris 1893-1901 ; de P.-E. Appell et E. Lacour, Paris, 1896; de H. Weber, Brunswick, 1891 ; et de G. -H. Halphen, 3 volumes, Paris, 1 886-1 891.

La théorie des fonctions. — Nous avons déjà dit que la théorie moderne des fonctions est due pour une grande part à Weierstrass. C'est un sujet présentant un attrait singulier et qui promet d'être une branche féconde et vaste de la science mathématique. Au point de vue historique, elle doit le jour à A. Cauchy, qui posa les fondements de la théorie des fonctions synectiques d'une variable complexe. Ces recherches furent continuées par J. Liouville, qui écrivit principalement sur les fonctions doublement périodiques. Ces travaux, étendus et reliées entre eux par A. Briot (1817-1882) et J.-C. Bouquet (1819-1885), reçurent parla suite de nouveaux développements de C. lier mite (181*2-1901).

Les recherches sur la théorie des fonctions algébriques ont leur origine dans une note de G.-F.-B. Rlemann, qui date de i85o ; H.-A. Schwarz, de Berlin, établit d'une façon rigoureuse plusieurs théorèmes qui laissaient place à quelques objections après

(!) Un exposé de la vie et des travaux d' Halphen a été donné dans le Journal de Liouville, 1889, pp. 345-359, et dans les Comptes Rendus, 1890, vol. CX, pp. 489-497.

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les travaux de Riemann. Dans la suite, F.-C. Klein, de Gœttingue, relia la théorie des fonctions de Riemann k la théorie des groupes, et s'occupa des fonctions automorphes et modulaires ; //. Poùtcaré, de Paris, s'occupa également des fonctions automorphes, de la théorie générale des fonctions et de son application spéciale aux équations différentielles ; tout récemment, <fi. Painlevé, de Paris, a écrit sur les fonctions uniformes, et K.-H. Hensel, de Berlin, sur les fonctions algébriques.

Nous ayons déjà dit que les travaux de Weierstrass eurent pour effet de jeter une grande lumière sur ces questions. Sa théorie des fonctions analytiques a été développée par M. -G. Mitlag-Leffier, de Stockholm, l'un des plus distingués mathématiciens contemporains. C. Hermite, -Pr-F. Appell, C^F. Picard et E. Goursat, ont également écrit sur des branches spéciales de la théorie générale des fonctions.

Gomme ouvrages d'étude, nous pouvons mentionner les suivants : Theory of Funclions oj a complcx variable, par A.-R. Forsyth, seconde édition, Cambridge, 1900; Die Funktionstheorie, par J. Petersen, Copenhague, 1898 ; Abets Theorem, par H.-F. Baker, Cambridge, 1897 ; Des Fonctions algébriques, par P.-J! Àppell et fc Goursat, Paris, 1895; The Theory oj fonctions, \ J. Harkness et F. Morley, Londres, 1893 ; et peut-être l'ouvrage de Neumann, Vorlesungen iiber Riemann s Théorie der Abetschen Intégrale, seconde édition, Leipzig, 1884.

Algèbre supérieure. — La théorie des nombres peut ctre considérée comme une arithmétique supérieure, et la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes comme une trigonométrie supérieure. Les théories de l'algèbre supérieure (en y comprenant celle des équations) ont également été l'objet de travaux importants; elles étaient les sujets favoris des études des mathématiciens dont nous allons parler, bien que leurs recherches ne se soient pas bornées à ce sujet.

Cauchy (l). — Augustin-Louis Cauchy est, pour l'analyse, le

(*) Voir La vie et les travaux de Cauchy, par L. Valsoti, a volumes, Paris, 1868. Une édition complète de ses oeuvres est actuellement en cours de publication aux frais du gouvernement français.