CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. l

citer ses travaux sur la convergence des séries ; la détermination du nombre des racines réelles et imaginaires d'une équation algébrique quelconque ; sa méthode pour le calcul approché des racines d'une équation ; sa théorie des fonctions symétriques, des 9 o^jL^a coefficients des équations d'un degré quelconque ; son évaluation a priori d'une quantité moindre que la plus petite différence entre les racines d'une équation ; ses notes de 18/I1 sur les déterminants, qui permirent d'en généraliser l'usage, et ses recherches sur la théorie des nombres. Cauchy perfectionna beaucoup la théorie des intégrales définies, inventa le calcul des résidus. Il a également donné une méthode analytique directe pour déterminer les inégalités planétaires de longue durée. Ses travaux en physique consistent en mémoires sur les ondes et sur la quantité de lumière réfléchie par les surfaces métalliques, et en diverses autres notes relatives à l'optique.

* Avant Cauchy, les imaginaires avaient été employés en analyse, souvent avec succès, jamais sans appréhension ; Cauchy, et c'est déjà une véritable découverte, commence par définir ce qu'on doit entendre par fonction de la variable imaginaire z = x : -*- iy. P {x, y) h- / Q (x, y) est fonction de z = x -+- iy si elle admet une

,, . , • , c)P ôQ »P dQ dérivée par rapport z, ce qui nécessite que — = — ; et — = — ;

les deux fonctions P et Q des variables réelles x ety vérifient dès lors l'équation de Laplace — 2 ■+■ ~-2 = o ; de telles fonctions sont

dites harmoniques. Très effacées dans la théorie de Cauchy, on verra ces notions passer au premier plan dans celle de Riemann.

L'intégrale d'une fonction de variable imaginaire n'est point déterminée, comme Test celle d'une fonction de variable réelle, quand on se donne les valeurs initiales et finales de la variable z. Il faut donner en outre les valeurs que prend z, ou les valeurs que prennent x,y, entre les valeurs initiales* et finale/. Géométriquement, en représentant la variable z = x 4- iy sur un plan par le point de coordonnées x, y si a, b sont les points qui correspondent aux limites, l'intégrale doit dépendre de la ligne à% intégration quÇ suit le point z entre a et 6 : le théorème fondamental de Cauchy est qu'en général elle n'en dépend pas. En général, pour deux chemins quelconques joignant les points a et 6, l'intégrale a la même valeur, sauf quand ils comprennent un point critique de la

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fonction, un point où la fonction est infinie ou indéterminée, et aassi dans le cas d'une fonction à valeurs multiple», comme un radical, les points où quelques-unes de ces valeur» deviennent égales,, distinction qui n'a été nettement faite que par Puiseux.

De là, Cauehy, dans une série de mémoires parus de 182a i i85i, et que complètent sur plusieurs points importants les travaux de Puiseux (i85o-i85 j) déduit une série de propositions qjuà forment la base de la science mathématique actuelle.

Voici Tune des plus importantes : une fonction analytique, c'està-dire une fonction d'une variable imaginaire au sens de Cauehy.. est développante en série» ordonnée suivant le» puissances croissantes de z — a, et qui converge lorque z reste dans un cercler ayant pour centre le point a, supposé non critique, et pour raye» la distance de ce point au point critique le plus voisin : c'est l'extension au domaine imaginaire de la série classique de Taylor.

Sur la circonférence du cercle de convergence, ainsi défini, il existe au moins un point critique a, un point où la fonction n'est plus analytique. Prenons un point b situé dans le cercle de convergence : nous pourrons partir de ce point et développer la fonction» en série suivant les puissances de z — b, cela dans un cercle ayant pour centre le point b et pour rayon la distance de b k a ; on conçoit que certains points de ce second cercle seront extérieurs au premier cercle, que le second développement sera valable pour des points, pour des valeurs de z, où le premier ne Tétait pas. On dit que Ton a prolongé la fonction analytique en dehors du premier cercle. D'importants résultats concernant ce sujet sont dus à> Weierstrass et à M. Méray, notamment que parfois les cercles ne peuvent s'étendre indéfiniment dans tout le plan. Alors, par une série de cercles se recoupant mutuellement, on définit dans le plan* une certaine aire, dont la frontière, la courbe enveloppe des circonférences extrêmes, limite le domaine d'existence de la fonction»

Dans le domaine d'existence, l'on peut avoir des points singuliers isolés qui sont des pôles si autour de ces points a la fonctions est de la forme :

A ÀM< A —. 7« — — N- -h ; ~<m-\ "+" ••• H [ H série indéfinie en z — a

et des points essentiels si, dans le développement précédent, m est