CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

infini. La frontière contient un ensemble de points singuliers autres que des pôles.

Weierstrass a exclu de son étude les frontières, tandis que MM. Hadamard, Painlevé, Borel étudient les frontières ; M. Borei (A 1(U*<i*l les franchi^jnême et dans les espaces lacunaires, aires dont tous les points seraient singuliers d'après la définition de Weierstrass, il définit, dans certains cas, un prolongement de la fonction.

De là, le rôle immense de la série de Taylor, des travaux de Cauchy et de ses continuateurs dans l'analyse moderne.

Autre point de vue nouveau, dû encore à Cauchy. Entre deux points donnés,l'intégrale d'une fonction analytique à points critiques situéej entre les deux chemins prend des valeurs qui diffèrent entre elles de quantités constantes, dites périodes de l'intégrale et qui ne dépendent pas de la position des deux points primitifs : la fonction inverse de l'intégrale est donc une fonction périodique. Ainsi se retrouvent et s'expliquent cette propriété des fonctions circulaires et elliptiques d'être périodiques et certaines particularités des. fonctions abéliennes.

Rappelons encore à ce propos que dans toute fonction algébrique it de z, c'est-à-dire dans toute fonction définie par une relation f(u> z) = o où /est un polynôme entier en u et z9 certaines des valeurs de u s'échangent les unes dans les autres, suivant des lois déterminées, lorsque le point z tourne autour des points critiques a de la fonction, et sont développables autour de a en séries convergentes ordonnées suivant certaines puissances fractionnaires de z- — a.

C'est de ces principes que découlent, entre autres conséquences remarquables, le calcul des résidus, la détermination du nombre des racines situées k l'intérieur d'un contour, étendue au cas de plusieurs variables par Kronecker et M. Picard, la recherche de la valeur d'intégrales définies, etc...

A Cauchy encore, on doit des théorèmes très généraux concernant l'existence des solutions d'une équation différentielle donnée. Soit donnée une relation :

en peut-on déduire une relation/équivalente y =f(x) ?

l68 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Les géomètres du xvhi8 siècle avaient intégré un grand nombre d'équations différentielles. Cauchy a scindé la question, et sous son influence, Ton cherche d'abord des théorèmes d'existence, c'està-dire des conditions auxquelles ç doit satisfaire pour que Ton puisse avoir une véritable fonction y.

Après Cauchy, MM. Lipschitz et Picard ont donné des théorèmes d'existence sous des conditions plus larges. /%t+*~

Briot et Bouquet, MM. Poincaré et Picard, Bendixson et Horn ont publié de remarquables mémoires concernant des formes particulières de y.

Plus récemment, M. Painlevé, dans ses leçons faites h Stoctyfilafn, a fait une étude profonde des équations différentielles, envisagées au point de vue fonctionnel. Il se propose de reconnaître les singularités de l'intégrale, de savoir si elle est uniforme, algébrique, ce qui est au sens moderne du mot intégrer l'équation.

Pour les équations linéaires, où y et ses dérivées n'entrent qu'au premier degré, Ton trouve immédiatement les points singuliers de l'intégrale et la forme de l'intégrale autour de ces points, comme l'ont montré MM. Fuchs, Poincaré, Darboux, Autonne, Thomé, dans le cas des équations du premier ordre. Au contraire, pour les équations d'ordre supérieur à an, les points singuliers essentiels de la fonctions y peuvent varier avec les constantes arbitraires qu'introduit l'intégration. Il y a là un fait capital, analogue à l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations algébriques de degré supérieur à l\, fait mis en évidence d'abord par M. Picard, puis par M. Painlevé.

M. Painlevé a su de plus déterminer toutes les équations du deuxième ordre à points critiques fixes, indépendantes des constantes arbitraires. Il a entrepris la même recherche pour les équations du troisième ordre, et a été conduit ainsi à la découverte de transcendantes nouvelles.

Nous parlerons plus loin, à propos de Galois, de la théorie des groupes. Disons simplement ici, au sujet des équations différentielles, que cette notion intervient dans les méthodes de Sophus Lie et de Jacobi concernant la recherche effective des intégrales. Sophus Lie a su donner l'unité et la cohésion à ces théories et mettre en évidence les relations étroites qui existent entre les équations