CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

différentielles et les groupes. Les travaux de Sophus Lie sur les groupes continus sont fort importants. Il en est de même des travaux de M. H. Poincaré sur ces groupes discontinus qu'il appelle Fuchsiens et qui engendrent les fonctions fuchsiennes. Ces fonctions donnent l'intégrale de toutes les équations linéaires à coefficients algébriques, c'est-à-dire des équations différentielles linéaires à coefficients irrationnels en x. On sait que les fonctions fuchsiennes généralisent les fondions elliptiques, en ce sens que si celles-ci permettent la représentation paramétrique des courbes de genre un (dans les courbes de genre zéro les coordonnées sont fonctions rationnelles d'un paramètre) les fonctions fuchsiennes donnent la représentation paramétrique de courbes de genre quelconque, comme l'a encore montré M. Poincaré.

La découverte de pareilles fonctions, dont le rôle est capital dans toutes les branches de l'analyse, est un des titres de gloire de M. Poincaré.

Enfin, sous l'influence des écrits de M. Poincaré, l'étude au point de vue réel des équations différentielles a fait récemment de grands progrès.

Dès l'apparition dans la ooionco-du concept de dérivée, les équations différentielles s'introduisaient dans la science.

Aussitôt après se présentaient les équations aux dérivées partielles, qui posaient ce problème : d'une relation|ionnée )(/Lr4t^LM

/fv * bu m d*u ônu \

(I) ? [xt y, u. — » -» — ■» •••» — - — qi ••• ) =0,

tirer, si possible, une relation U^U.

(II) u=f(Xty)u

Dès le début du xixe siècle, Cauchy, suivi par Jacobi, a ramené aux équations différentielles les équations (I) du premier ordre,

c'est-à-dire celles de la forme simple © f #> J% «» — » ~ ) = o.

* \ <*x oy 1

Pour les équations d'ordre quelconque, Cauchy se proposa l'étude des conditions d'existence de la fonction u et démontra ce théorème : on peut trouver un développement de a en série de x, y ayant, sur une courbe gauche donnée, des valeurs données, cela pour le cas de deux variables x, y. Le théorème s'étend au cas de n variables.

Le théorème de Cauchy a été repris par Mme de Kowaleski, par M. Darboux, par M. H. Poincaré qui en a examiné les cas d'exception.

L'équation - — = o, qui admet pour intégrale la fonction

n = ¥(x) -h G(y), où F et G sont arbitraires, montre combien l'intégrale d'une équation donnée est indéterminée. . . Citons sur le sujet Monge, Ampère, Laplace, MM. Moatard,

( yr^i^i Darboux, Mayer, Sopbus Lie, von WeberJ/Riquier, Délassas, Beudon, Cosserat, Kônig, Backlund, Hamburger, Sonine.

Dans tous ces travaux se retrouvent les transformations de contact, déjà employées par Ampère, et des applications d'un haut Gm^v**'" intérêt intéressa»* les surfaces.

En même temps que se développait la théorie analytique des équations aux dérivées partielles, le point de vue réel, avec conditions aux limites faisait l'objet de travaux d'autant plus remarquables que la physique mathématique y avait une part importante. La plus célèbre des équations ainsi étudiées est celle de Laplace :

a ayant des valeurs données sur une courbe fermée. Cette étude, capitale en mécanique, en électricité, en thermodynamique, porte le nom de problème de Dirichlet. Au point de vue analytique, aucune distinction n'est à faire entre l'équation de Laplace (type

elliptique) et l'équation —-, — -s = o (type hyperbolique) et

cependant, au point de vue réel, ces deux équations, affectées d'un second membre, présentent les différences les plus essentielles.

M. Picard a complètement intégré ces équations par sa belle méthode des approximations successives. Il a montré que, pour les équations de Laplace, on peut donner les valeurs de u sur une courbe fermée du plan et que pour les autres on peut donner u et Tune de ses dérivées sur un certain arc de courbe seulement.

Les belles méthodes de Laplace, de M. Darboux, de M. Goursat, 'h I de M Coulood», de M. d'Adhémar, on doit à ce dernier l'impor-

tante notion de conormale, permettent d'atteindre des catégories plus générales d'équations, mais non point d'obtenir des résultats aussi précis, aussi achevés.

Les travaux de M. Schwartz, la célèbre méthode du balayage