CHAPITRE XIX. LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC

que d'étendre indéfiniment et superficiellement les frontières de la Science. i

Une autre question de pure géométrie/ étude des points singuliers des courbes algébriques, retint longtemps Halphen. Cette question est aualogue à la précédente et n'offre pas moins d'importance pour l'Analyse que pour la Géométrie. D'une part, en effet, elle touche aux travaux classiques de Puiseux sur la théorie générale des fonctions et, d'autre part, elle se rattache aux transformations birationnelles des courbes algébriques et, par conséquent, aux propriétés fondamentales des transcendantes abéliennes.

C'est à ce dernier point de vue que se plaça Halphen. Il sut montrer entre autres résultats intéressants, qu'une courbe plane quelconque peut être considérée comme la perspective d'une courbe gauche admettant un point singulier unique à tangentes séparées .

Le chef-d'œuvre d'Halphen est son Mémoire sur les courbes gauches algébriques, couronné en 1881 par l'Académie de Berlin.

Les courbes gauches ne peuvent être définies par un nombre unique, comme les courbes planes, qui le sont par leur degré. Le genre des courbes gauches n'est pas non plus lié à leur degré par une relation algébrique, comme il se fait pour les courbes planes. La classification des courbes gauches présentait donc des difficultés spéciales et considérables, que sut vaincre Halphen. A titre d'applications, il donna dans son mémoire la classification des courbes des vingt premiers degrés et des courbes de degré 120.

Rappelons à ce propos les travaux de Nother, bien qu'ils soient d'ordres tout différents, en ce sens surtout qu'ils se rapportent à des problèmes ayant leurs analogies, en géométrie plane.

Les travaux géométriques d'Halphen se rattachent tous à la géométrie énumérative, qui a pour but de déterminer le nombre des points, des droites, des courbes ou des surfaces qui satisfont à certaines conditions données. Cette branche de la géométrie a été fondée par Chastes. Nombre de géomètres s'y sont intéressés dans la suite. Halphen a le mérite d'y avoir introduit la rigueur bien à tort négligée par ses devanciers.

C'est au moyen des invariants de Laguerre, dont nous avons parlé à propos de Galois, qu'Halphen réussit à intégrer une classe très remarquable d'équations différentielles, travail qui lui valut,

Tt)0 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

en 1880, le grand prix des sciences mathématiques proposé fer l'Académie des sciences de Paris.

Deux notes mémorables de cet éminent géomètre que fut Laguerre avaient appelé l'attention des géomètres sur les invarianfe des équations différentielles linéaires. Halphen y trouva de suite on rapport avec ses recherches antérieures et y vit un moyen d édifier une théorie complète des invariants des équations linéaires. Lb nombre des invariants absolus distincts d'une équation linéaire étant inférieur de deux unités à son ordre, et ces invariants pouvart être effectivement obtenus en ramenant l'équation à une forme dite canonique, on peut reconnaître par un procédé déduit de ces données si une équation différentielle linéaire est susceptible d'être ramenée, au moyen d'un changement de variable et de fonction n'altérant pas sa forme, à certains types connus déjà intégrés. Les relations entre invariants absolus jouent dans cette question un rôle capital et c'est de la nature de ces relations qu'Halphen déduisit la solution du beau problème qu'il s'était posé.

C'est ainsi qu'Halphen élargit considérablement le champ des formes intégrables connues à son époque, et qui étaient les équations à coefficients constants, certains cas particuliers de l'équation de Gauss, certaines équations du second ordre à quatre points singuliers et les équations à coefficients doublement périodiques de M. Picard.

Halphen avait entrepris dans ses dernières années une œuvre de longue haleine que la mort ne lui laissa pas le temps d'achever: son Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications. Le but de ce grand ouvrage, dont les trois quarts ont vu le jour, était de mettre au service des astronomes ces belles théories, jusqu'ata» restées dans le domaine de la science pure. Les notations employées sont celles de Weierstrass. Le rôle des fonctions pu, eu y est prépondérant et les fonctions 6. sn, dn, en y sont reléguées au second plan. L'avantage des notations nouvelles est incontestable. Par exemple, il n'est plus nécessaire dans les questions de physique en de mécanique, où interviennent les fonctions elliptiques, de distinguer trois cas : une seule analyse suffit^ *u.. :,^.t> <--

Halphen a été prématurément enlevé à la science ; géomètre éminent alors qu'il était relativement jeune, il se fut classé dans la suite parmi les mathématiciens illustres.