CHAPITRE XIX. LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC. I9I

Hermite (*)*. — Charles Hermite naquit à Dîeuze, en Lorraine, le a4 décembre 1822 et mourut le i4 janvier 1901 à Paris. 11 fit ses études au collège de Nancy, puis à Paris, au collège Henri IV et au collège Louis-le- Grand, où sa vocation de mathématicien s'affirma : déjà il lisait à la Bibliothèque Sainte-Geneviève le Traité de la résolution des équations numériques de Lagrangc et achetait avec ses économies la traduction française des Recherches arithmétiques de Gauss.

Ses premières recherches, concernant l'impossibilité de résoudre algébriquement l'équation du cinquième degré, furent publiées en 18/42 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques. 11 donne une démonstration fort simple de la proposition découverte par Abel. La même année, il entrait à l'Ecole polytechnique et menait de front les études classiques qui lui étaient imposées et ses recherches personnelles. Dès le mois de janvier i843, il écrit à Jacobi pour lui faire part de ses recherches sur les fonctions abéliennes. Il étendait aux fonctions abéliennes un théorème important des fonctions elliptiques, découvert par Abel.JËn août i844, il écrit de nouveau à Jacobi, cette fois au sujet de la transformation des fonctions elliptiques : il énonce alors les principes de la théorie des fonctions Ô. Jacobi s'intéressa vivement à ces recherches, au point d'insérer les deux notes d'Hermile dans l'édition complète de ses œuvres.

Plus tard, en i855, Hermite étend aux fonctions abéliennes le problème de la transformation, résolu pour les fonctions elliptiques par Abel et Jacobi. Etant données les deux équations différentielles, qui pour un radical portant sur un polynôme arbitraire du cinquième ou du sixième degré, définissent les fonctions abéliennes, Hermite considère simultanément les quinze fonctions uniformes quadruplement périodiques introduites par Gopel et Rosenhaïn, et qui sont les analogues de snx, cnx, dnx. Le problème de la transformation est dès lors ainsi posé : Pour un polynôme donné, déterminer un nouveau polynôme tel qu'en formant des combinaisons linéaires convenables des équations différentielles relatives à ce polynôme, les quinze fonctions abéliennes cor-

(*) Cf. L'œuvre scientifique de Charles Hermite par E. Picard, « Acte mathematica» , tome XXV.

respondantes s'expriment rationnellement à l'aide des quinze premières.

Pour résoudre ce problème algébrique, Hermite se place au point de vue transcendant et cherche d'abord à étendre aux fonctions 6 de deux variables l'analyse qu'il indiquait jadis à Jacobi au sujet des fonctions Q d'une variable. De grandes difficultés se présentaient aussitôt, difficultés qui furent plus tard l'occasion de remarquables travaux de MM. Clebsch, Nôther, Enriques, Castel— nuovo, Humbert, Picard. Notons en passant que si les courbes algébriques possèdent un seul invariant, le genre, les surfaces en possèdent plusieurs. MM. Picard et Simart ont résumé les questions de cette nature dans un beau traité, actuellement en cours de publication.

Les difficultés qui se présentaient à Hermite étaient surtout de nature arithmétique et n'avaient pas leur analogue dans la théorie des fonctions elliptiques. De là, la nécessité de fonder en quelque sorte une branche d'analyse nouvelle, ce que sut faire Hermite en un admirable travail, bien souvent commenté, et qui a ouvert la voie à d'importants mémoires de Laguerre et de M. Jordan.

Hermite n'abandonnait point pour cela la théorie des fonctions elliptiques, dont les belles formules, disait-il, remplissaient de joie son âme d'algébriste. En i858, il reprend l'étude de leur transformation et y rencontre entr'autres une solution de l'équation du cinquième degré, solution non-algébrique, cela va sans dire, et analogue à la solution trigonométrique de l'équation du troisième degré. Cette solution s'effectue à l'aide des fonctions modulaires, -dont le rôle important en arithmétique et en géométrie s'accentue en ce sens qu'elles ont conduit aux célèbres fonctions fuchsiennes découvertes par M. Poincaré.

Dès sa jeunesse, Hermite fut séduit par la théorie des nombres. La lecture d'un théorème de Jacobi, démontrant l'impossibilité d'une fonction d'une variable à trois périodes, des Recherches arithmétiques de Gauss, l'amenèrent à étudier les formes quadratiques, c'est-à-dire les polynômes homogènes du second degré, et à introduire dans cette théorie la considération de variables continues ; il en devait tirer nombre de résultats intéressants, ceux notamment qui concerne; leur réduction. Citons encore ses beaux travaux relatifs à leurs invariants, où il devait se rencontrer avec Cayley et Sylvester.