CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. ig

Mais passons à un autre genre d'études qui eussent suffi à immortaliser le nom d'Hermite : les fractions continues algébriques.

Déjà la théorie des fractions continues arithmétiques, c'est-àdire la représentation approchée d'un nombre incommensurable par un nombre rationnel, avait été étendue aux fonctions d'une variable. Etant donnée une fonction d'une variable x développée en série de Taylor suivant les puissances entières, positives ou négatives, de x, on avait étudié les fractions rationnelles dont le développement suivant les puissances de x restituait, aux termes de degrés supérieurs près, le développement de la fonction, étude qui devait former plus tard le sujet de beaux mémoires contemporains. Ce mode de représentation conduisit Hermite à l'une de ses plus belles découvertes : la transcendance du nombre e, base des logarithmes népériens. Son point de départ, dans ce mémoire célèbre Sur la fonction exponentielle, publié en 1873, est l'approximation simultanée d'un certain nombre d'exponentielles de la forme e"* au moyen de fractions rationnelles. Les différences entre ces exponentielles et les fractions rationnelles, ou fractions continues, qui les représentent approximativement, sont évaluées à l'aide d'intégrales définies ; faisant x = t dans les formules, puis supposant que a est un nombre entier, il en résulte cette conclusion : que e ne peut satisfaire à aucune équation algébrique à coefficients entiers. L'intérêt qui s'attache à un nombre aussi fondamental que e, donnait un prix immense à cette découverte. Neuf ans plus tard, M. Lindemann, s' inspirant des études d'Hermite, faisait à son tour, et dans le même ordre d'idées, une découverte capitale : il démontrait la transcendance du nombre n. Ainsi était établie rigoureusement et définitivement l'impossibilité de la quadrature du cercle, l'impossibilité de construire avec la règle et le compas un carré ou rectangle d'aire équivalente à celle d'un cercle donné : problème qui tenta les plus grands mathématiciens d'autrefois, et que, dit-on, s'entêtent encore à résoudre de vains chercheurs.

Weierstrass a donné en 1890 une démonstration directe de la transcendance de ces deux nombres e et n, qu'Hilbert, en 1893, réduisit encore, si bien que cette belle question est devenue classique.

Après son mémoire sur la fonction exponentielle, Hermite con-

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tinua ses recherches sur les fractions continues algébriques. On connaissait depuis Gauss le rôle des polynômes de Legendre dans le développement de log x ' en fraction continue, et les recherches

de MM. Heine et Christoftel avaient montré les rapports qui existent entre la théorie des fractions continues et certaines équations différentielles linéaires du second ordre. Hermite étend tous ces résultats en montrant comment une certaine équation d'ordre n -+- 1, généralisant l'équation de Gauss, se lie aux modes d'approximations simultanées dont il avait donné une application dans son mémoire Sur la fonction exponentielle.

La théorie des fractions continues algébriques, qui semble devoir réserver tant de surprises aux géomètres est encore à peine ébauchée. Elle comprend deux problèmes distincts : développer une fonction donnée en fraction continue, étudier la convergence do développement.

Il n'existe pas encore de méthode générale, analogue au théorème de Taylor, pour le développement en série, permettant de développer une fonction en fraction continue. Seules quelqnes fonctions fort simples ont été jusqu'ici développées et les mémoires que Laguerre a publiés à ce sujet font autorité.

Le problème de la convergence, étudié incidemment par Laguerre et Rieraann, repris dans un cas étendu par Stieltjes, élève d'Hermûe enlevé prématurément à la science, mis au concours en 1906 comme sujet du Grand Prix des Sciences mathématiques par l'Académie des Sciences de Paris, est loin d'avoir livré tous ses secrets. Une conclusion semble cependant se dégager de l'ensemble des travaux récemment publiés sur ce sujet, travaux tout particulièrement encouragés par MM. Appell et Mittag-Leffler : les fractions continues permettent de représenter les fonctions dans tout le plan de la variable, sauf sur certains arcs do lignes qui sont parmi les coupures voulues par la théorie des fonctions analytiques.

Les fractions continues seraient ainsi un instrument d étude des plus puissants, dépassant comme valeur les séries de puissances et même les séries de polynômes, étudiées récemment par MM. Mittag- Lefïïcr et Painlevé.

Hermite s'est aussi occupé de généraliser les fractions continues algébriques, mais bien qu'il en ait tiré des conclusions intéressantes, il semble que ce genre d'études doive attendre pour pro-