CHAPITRE III. LES ÉCOLES D* ATHENES ET DE GNIDE

Enlevons la partie commune et il vient : aire du trapèze ABCD = 3 lunules AEBF -+- - cercle sur OA.

Si donc on connaissait Taire de la lunule AEBF, on pourrait déduire de cette relation Taire du demi-cercle décrit sur OA comme diamètre.

D'après Simplicius, Hippocrate supposait que Taire de cette lunule était la même que celle de la lunule déterminée précédemment. Il aurait alors commis une erreur, puisque dans le dernier cas la lunule est formée par un arc égal au sixième de la circonférence et par la demi-circonférence décrite sur la corde du premier arc comme diamètre ; mais il semble plus probable que Simplicius n'a pas exactement compris le texte d'Hippocrate.

Fig. 7.

Hippocrate énonça également divers autres théorèmes relatif* aux lunules (ils ont été réunis par Bretschncider et par Allman). Ce sont là, croyons-nous, les exemples les plus anciens d'aires limitées par des courbes qui aient été déterminées géométriquement.

Hippocrate s'est également occupé du problème de la duplication du cube dont nous avons déjà parlé.

Cette question était connue dans l'antiquité sous le nom de problème déliaque parce que, d'après la légende, les Déliens auraient consulté Platon à son sujet. Philoponus raconte, en effet, qu'en — 43o, les Athéniens éprouvés par la peste, consultèrent TOracle de Delphes pour savoir comment ils pourraient arrêter le fléau.

1\l\ HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Apollon leur répondit qu'ils devaient doubler Fautel qui lui était consacré, dont la forme était cubique. Au premier abord rien ne parut plus simple : suivant les uns, ils construisirent un nouvel -autel dont l'arête était double de celle de l'ancien (d'où il résultait un cube huit fois plus grand et non double) ; suivant les autres, ils placèrent à côté de 1 autel existant un second cube ayant exactement les mêmes dimensions. Quoi qu'il en soit, et toujours d'après la légende, la divinité se montrant encore plus courroucée et le fléau augmentant d'intensité, une nouvelle députation lui fut envoyée. L'oracle leur répondit qu'il était inutile d'essayer de tromper les Dieux et que le nouvel autel devait être un cube parfait de volume double du premier. Soupçonnant que celte réponse cachait quelque chose de mystérieux, les Athéniens eurent recours à Platon qui les renvoya aux géomètres et principalement à Euclide qui s'était spécialement occupé du problème. L'introduction des noms •de Platon et d'Euclide est un anachronisme évident.

Eratosthène donne un récit à peu près semblable mais avec le roi Minos comme auteur du problème.

Hippocrate ramenait le problème de la duplication du cube à la ^détermination de deux moyennes proportionnelles entre une ligne ♦droite, a, et son double 2a.

En désignant ces moyennes par x et y, nous avons

x y aa

d'où il résulte

"C'est sous cette forme que le problème est généralement présente aujourd'hui. Hippocrate ne réussit pas à trouver la construction de ces moyennes.

Platon. — Un autre philosophe de l'école athénienne dont nous devons parler ici est Platon. 11 naquit à Athènes vers — /129 et fut, comme on sait, pendant huit ans élève de Socrate ; Ton doit en grande partie à ses dialogues la connaissance de l'enseignement donné par ce philosophe. Après la mort de son maître en — 399, Platon quitta Athènes, et se trouvant à la tête d'une fortune considérable, il passa plusieurs années à voyager. Ce fut pendant cette pé-