CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

des surfaces, les fonctions abéliennes et leurs applications géométriques, les invariants. Il sut faciliter l'accès de l'œuvre de Riemann et y ajouter un intérêt concret par ses considérations géométriques. La manière dont il a généralisé toute la théorie des fonctions abéliennes a une grande valeur et a donné lieu à de remarquables travaux de Nother, de MM. Picard, Poincaré et Appell.

Dans le dernier mémoire que Clebsch a écrit, il est question de l'application des fonctions abéliennes aux équations différentielles, aux transcendantes que définissent de telles équations. De même que les intégrales abéliennes peuvent être classées d'après les propriétés de la courbe fondamentale qui reste inaltérée pour une transformation rationnelle, de même Clebsch classe les transcendantes définies par les équations différentielles, d'après les propriélés invariantes des surfaces correspondantes pour des transformations rationnelles bi-uniformes. Ce point de vue a été repris, et de très-pénétrante façon, par M. Painlevé.

L'œuvre de Clebsch se relie surtout à celles de Gordan, Salmon, Cremona, Steiner et Riemann. On peut dire de lui qu'il a introduit dans la science des idées vraiment nouvelles et fécondes, en généralisant comme il l'a fait la théorie des fonctions abéliennes, et que le manque de rigueur dont il a parfois fait preuve tient plutôt aux usages de son temps qu'à sa propre tournure d'esprit.

Il montra, le premier, dans une longue série de travaux, toute l'importance de la notion de genre d'une courbe, en développant une foule de résultats et de solutions élégantes que l'emploi des intégrales abéliennes paraissait, tant il était simple, rattacher à leur véritable point de départ. L'étude des points d'inflexion des courbes •du 3° ordre, celle des tangentes doubles des courbes du 4° ordre ^t, en général, la théorie de l'osculation, sur laquelle s'étaient si souvent exercés les anciens et les modernes, furent rattachées au beau problème de la division des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes. Dans un de ses mémoires, Clebsch avait étudié les courbes rationnelles ou de genre zéro ; cela le conduisit, vers la fin de sa vie trop courte, à envisager ce qu'on peut appeler aussi les surfaces rationnelles (*) *.

(l) * Cf. F. Klein, Conférences sur les mathématiques, Hermann, à Paris, 1898*.

Analyse. — * Nous sommes loin aujourd'hui sur la route qu'oïl ouverte Leibnitz et Newton, ces deux inventeurs du Calcul infinitésimal, si loin que non seulement on embrasse avec peine le chemin parcouru, mais encore qu'on distingue malaisément les nombreux embranchements créés dans la dernière moitié du xixe siècle.

Même il est de simples mots, tels que celui de fonction, auxquels nous n'attachons plus du tout le même sens que les mathématiciens d'il y a cent ans.

Pour eux, une fonction était ce qu'est aujourd'hui une fonction pour les débutants. Si nous devons laisser ceux-ci à leur illosion, de crainte de décourager leur bonne volonté, il n'empêche que le vocable a profondément changé de sens.

Quel en est le sens actuel ? L'expliquer ici sera résumer l'histoire des mathématiques récentes et donner un aperçu, en son lieu, de ce qu'elle est. Les développements qui viendront dans la suite ea seront singulièrement éclaircis.

Nous n'admettons plus qu'une fonction d'une variable soit simplement l'entité qu'on peut représenter par une courbe formait un trait continu.

Aux fonctions continues sans dérivées, découvertes par Riemana et Weierstrass, ne correspond en effet aucune courbe ; à certaines fonctions x =f(t)9 y = <p(/), correspondent des aires et non plus des courbes, comme l'a montré M. Peano : quand / varie de a ai, le point x, y peut prendre des positions quelconques dans un certain rectangle. Si F(x, y) est continue par rapport à x et par rapport à y 9 F(x, y), nous apprend M. Dini, peut ne pas être continue par rapport à l'ensemble de x et de y. M. Lebesgue montre à son tour que les surfaces développables ne sont pas seules applicables sur un plan, car on peut, à l'aide de fonctions continues, obtenir des suriaces correspondant à un plan, de telle sorte que toute lignerez ti fiable du plan ait pour correspondante une ligne rectifiaUe de même longueur de la surface, la surface n'étant pas réglée.

Le concept de fonction est donc quelque chose de plus complexe qu'on ne se l'imaginait autrefois.

On tend de plus en plus à définir, en général, les fonctions p«r une collection de fonctions simples : séries de monômes, séries de polynômes, séries trigonométriques ; et c'est l'étude approfondie de ces collections qui a changé l'idée qu'avaient nos ancêtres du mot