CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. 2o

fonction. Il se trouve, en effet, qu'on ne peut, par exemple, traiter tine série de monômes comme un simple polynôme.

C'est l'idée des séries trigonométriques qui a ouvert la voifr nouvelle.

Daniel Bernoulli montre le premier qu'on peut satisfaire à certaine équation différentielle par une série trigonométrique. Fourier affirme ensuite que toute fonction peut être représentée entre les valeurs o et 27: de l'argument par un développement de cette nature et qu'on même développement peut, entre ces limites, représenter des fonctions correspondant à des arcs de courbes différents. Plus tard, Dirichlet soumet à un examen sévère les séries trigonométriques. Il précise la condition suffisant à ce qu'un développement trigonométrique représente une fonction donnée dans l'intervalle de o à 27iy Du Bois ReymondetM. Jordan montrent qu'une fonction continue n'est pas toujours développable en série trigonométrique. Par contre, Riemann cherche les conditions nécessaires au développement; M. Lerch aussi, apporte une importante contribution à ce chapitre de l'analyse.

Fourier a ainsi posé le problème des séries trigonométriques,. élément analytique aussi capital que la série de Taylor en relation étroite avec Jui (*).

Tout particulièrement, les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de Fourier, ont, à bien des points de vue, une grande importance en Analyse et dans ses applications à la Physique, à l'Astronomie, à la théorie des nombres. Dans un mémoire justement célèbre Sur les intégrales des fonctions à multiplicateur, M. Àppell a donné des développements analogues des fonctions quadruplement périodiques de deux variables inverses des intégrales hyperellip tiques de première classe.

Nous aurions beaucoup à dire encore sur ce sujet. Nous devons nous borner et passer à d'autres ordres d'idées.

La classification des équations aux dérivées partielles, intégrées au point de vue de la Physique mathématique, dépend de la théorie des caractéristiques, avec Monge, Cauchy, Backlund^ MM. Goursat, Beudon.

(!) Cf. Les ouvrages et mémoires récents de MM. Lebescue et Fatou.

. Tenons-nous en au second ordre. Avec les caractéristiques imaginaires, on a affaire au type elliptique et au problème de Dirichlet: l'on donne, sur un contour fermé, une donnée, soit la fonction, soit la dérivée normale. C'est ici que se placent les admirables travaux de Riemann, Lamé, C. et F. Neumann, Schwartz, Robin, MM. Poincaré, Liapounof, Stecklof, Korn, Zaremba, Harnai, Pockels.

Tout récemment, M. Fredholm a obtenu une forme, à peu près définitive, de la solution, par sa magnifique résolution des équations fonctionnelles contenant une fonction inconnue, au premier degré, sous le signe de quadratures. Il y a là un progrès éminent, qui n'en laisse pas moins subsister l'essentiel des travaux plus anciens. Déjà, MM. Hilbert, Picard, Schmidt ont ajouté d'importants résultats à ceux de M. Fredholm. En particulier, M. Hilbert part du problème fini, discontinu, pour retrouver les transcendantes de M. Fredholm. ce qui est très intéressant. Et toutes les fonctions fondamentales de Laplace, Lamé, Poincaré, etc., sont retrouvées, aves ces fonctions intégrales, d'une manière naturelle.

D'autre part, à la suite de M. Hilbert, plusieurs auteurs ont étudié les problèmes de Dirichlet, comme le faisait Riemann, c'està-dire au point de vue du calcul des variations, et avec les précisions que Ton apporte ici depuis Weierstrass.

M. Picard, par la méthode des approximations successives, a d'ailleurs intégré des équations plus compliquées encore ; il a apporté des résultats fondamentaux au sujet de la nature analytique des solutions, suivi, en tout cela, par MM. Zaremba, Le Roj, Bernstein, etc. Ces approximations successives ont été appliquées, avec un égal bonheur, par M. Picard, aux équations hyperboliques, aux équations fonctionnelles (et ici se place un travail intéressant de M. Leau) aux équations différentielles ordinaires. Enfin, M. Goursat les a appliquées à la recherche des fonctions implicites. Il y a là une méthode des plus fécondes, et dont l'importance a été reconnue à l'occasion des équations de la Physique, traitées constamment, il est vrai, à un point de vue qui dépasse en généralité •celui de la Physique mathématique, et qui diffère du point de vue Cauchy-Kowalewski.

Passons au type hyperbolique, c'est-à-dire aux équations qui ont leurs caractéristiques réelles.