CHAPITRE XIX. — LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC

On a alors affaire au problème de Cauchy, sauf que les données ne sont pas forcément analytiques, comme le suppose la démonstration de Mmo de Kowalewski.

Riemann avait donné une méthode célèbre pour l'intégration de la plus simple des équations hyberboliques, à deux variables indépendantes. Pour l'équation des ondes sphériques, à quatre variables indépendantes, on avait les beaux travaux de Poisson et de Kirchhoff: on pourra consulter à ce sujettes belles leçons de M. P. Duhem. Récemment, M. Vito Volterra a renouvelé la question, par son étude de l'équation des ondes cylindriques, à trois variables indépendantes.

Ses travaux ont été suivis de ceux de M. 0. Tedone, de M. J. Coulon, quia donné d'intéressantes interprétations physiques de ses résultats, de M. R. d'Adhémar, qui a introduit la notion très objective de conormale et qui, en môme temps que M. Hadamard, a fait usage des parties finies d'intégrales infinies. M. Hadamard publie, en ce moment, d'importants travaux sur ces questions, dont on commence à apercevoir la solution générale.

On possède ainsi de beaux ensembles de résultats sur les problèmes elliptiques et hyperboliques et, suivant l'expression de M. Hadamard, des problèmes nouveaux, qu'on peut qualifier de mixtes, se poseront : en des régions différentes de la frontière donnée, les données seront de nature différente.

Nous ne saurions oublier ici que M. Delassus, qui a étendu les résultats de MM. Méray, Riquier, Bourlet, sur le théorème de Cauchy-Kowalewski, a aussi fait l'extension de la méthode de Riemann aux équations hyperboliques à deux variables. M. Le Roux a apporté une contribution importante à l'étude de ces questions, ainsi que MM. Bianchi, Nicoletti ('). Nous devons encore citer, au sujet des équations différentielles, les études de M. Appell sur certaines équations spéciales, celles de M. Cotton sur les formes associées, de M. Hedrick sur la nature analytique des solutions, les théorèmes d'existence de M. Holmgren, les travaux de MM. Bôcher, Levi-Civita, Lauricella, Arn. Sommerfeld. On voit assez combien l'étude des équations différentielles peut

(*) • Cf. Hadamakd, Leçons sur la théorie des ondes, Paris, 190a, et R. (TAdhémar, Les équations aux dérivées partielles, Paris, 1907 *.

se faire à des points de vue différents, et quel a été» là comme ailleurs, le grand rôle de Caucby.

Il faut dire, cependant, que Caucby et ses disciples français noat

point étudié les points singuliers dénommés essentiels, dont le

t point z = o pour la fonction e* donne l'exemple le plus simple.

C'est Weierstrass qui montra, par la considération des facteurs

primaires, que dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé,

une fonction uniforme peut se représenter par le quotient de detn

fonctions uniformes n'ayant pas de pôle de ce point singulier et qne,

•dans le voisinage d'un tel point, la fonction s'approche autant quoi

veut de toute valeur donnée.

M. Picard et, longtemps après lui, M. Schottky, a établi cetrès important résultat ; que dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé, la fonction prend rigoureusement une infinité <fc fois toute valeur donnée, sauf pour deux valeurs particulières, m plus. Après M. Picard, M. Borel a approfondi et généralisé ce théorème.

Signalons maintenant les travaux de M. Hadamard sur le genre des fonctions entières et l'application qu'il en a faite à l'étude de la distribution des racines d'une fonction qui se rencontre dans l'état des nombres premiers, ceux de M. Borel sur les zéros des fonctions entières, ceux de M. Darboux sur l'approximation des fonctions de grands nombres, ceux enfin de M. Lindelof sur le prolongement analytique, renvoyant pour cette dernière question à ce que nous avons dit précédemment, mais nous ne saurions oublier ia -que M. Appell, M. Picard aussi, a fait une magistrale étude <fe fonctions généralisant certaines intégrales abéliennes, qui se présentent dans la recherche des coefficients des fonctions abéliennes de deux variables, quand on les développe en séries trigonometriques.

Nous aurions encore à énumérer diverses découvertes importantes concernant les fonctions de deux variables et à parler à ce propos des travaux d'IIermite, de M. Picard (,), de M. Bourgrf. de M. Humbert, qui ont attache leurs noms aux groupes hyper-

f1) * Nous nous sommes largement inspirés dans cette noie et dans plusieurs -autres des Conférences faites par M. Picard en Amérique (Gauthier-Vill»** Paris, 190DJ *.