CHAPITRE XIX- LA. THEORIE DES FONCTIONS, ETC

fuchsiens et hyperabélîens, aux fonctions abéliennes singulières, mais nous sortirions peut-être du cadre de cet ouvrage.

Nous ne saurions trop insister cependant sur la théorie des groupes, fondamentale aujourd'hui, car les groupes sont à la base de l'algèbre toute entière, théorie des formes, des invariants, etc-, et de l'analyse. Ils définissent des transcendantes, telles que les fonctions fuchsiennes de M. Poincaré, nommées automorphes par MM. Klein et Fricke : ici se placent de remarquables travaux de MM. Humbert, Lerch, Picard, Stouff, Alezais.

Avec MM. Klein, Jordan, Poincaré, Painlevé, Boulanger, les groupes discontinus finis interviennent dans la théorie des équations différentielles linéaires. Les groupes continus sont à la base de la théorie généralisée de l'intégration des équations aux dérivées partielles, de S. Lie.

M. Picard, suivi par MM. Drach et Vessiot, a inauguré la classification générale des transcendantes par les groupes. La considéra* tion des groupes de transformation à un nombre fini de paramètres a conduit enfin M. Vessiot à une théorie complète de l'irréductibilité des systèmes différentiels, couronnée par l'Académie des Sciences.

C'est dire quelle place Galois et Lie tiennent dans la science actuelle. De ce dernier savant, dont le rôle n'a pas été complètement mis en lumière par M. Rouse-Bali, citons encore la Géométrie des sphères, développée par M. Darboux, et qui fait correspondre les lignes de courbure d'une surface aux lignes asymptotiques d'une autre surface, ses travaux sur les transformations de contact, dont bien des cas particuliers avaient déjà attiré l'attention des géomètres, telle la variation du paramètre, exposée par Lagrange dans le problème des trois corps ; une des plus importantes applications des transformations de contact se rencontre dans la théorie des équations aux dérivées partielles qui, à ce nouveau point de vue, acquiert un degré de profondeur jusqu'alors inconnu ; la véritable signification des mots solution, solution générale, complète, singulière, introduits par Lagrange et Monge, devient tout-à-fait claire. Nous aurons à revenir sur ces questions et il apparaîtra alors que Lie tient l'une des premières places dans la science actuelle.

Peut-être est-il bon de rappeler ici qu'avec MM. Fuchs et Poin-

«g? -. -. ^? W@lJ-5fcES MATHÉMATIQUES

iHëWg^Vtquel grand rôle jouait dans l'intérn- •VSR (S différentielles non linéaires la céltbr

4*f| J|J^ de réduction.

^w.^K'ei^'E^â^S^A^ déterminant les intégrales des ému-

M^lfiSW lent de nos jours des formes tr«

, £ <^eHbfl^{|i«^i'Hi)§ Humées peuvent remplacer les conditions

•=if I

lÉolS^fe des intégrales. Après Euler, Lagrang? I^ffl Iftl SiSjiux travaux sur des questions de minitll#W*l| repris par M. Appell, Monge, cete

^m*^~^8»SW^Fii^e dont, croyons-nous, M. Rouse-Bali ffflfiy ^flll fil le mérite, qui ne connaît son adrai-

11 f S'^ *©?— ^U" &Tlons de l'analyse à la Géométrie'. aprô>

^çlî|Pl^JlJ[fcèt a publié un mémoire fondamenlai5izr âïfergnîËîr^J. M. Goursat a rassemblé dans on ones proposées, en y ajoutant ses belles

**gk 00 "^" *S*p a4£» «^Ir» -a

»3^!!âÎQlt,^ipÊt^Ë3^i, Goursat ont étudié aussi les séries hy-

.ISîÇlr^iï^Bi*13!^^1^^2^8 circulaires et Eulériennes, ledévelop*

'importantes équamécanique, mathématiciens conlem- Ili^^pllteSDÎIt'Sfons de citer surtout, ont ouvert cette ■*^ar*^^jgS^^j^t|Siotion d'intégrale abélienne.

^!^^^*II^Ë^S rationnelles attachées à une courbe ^^^&^^S^^»^!*5^?'^^S essentielles de cette courbe ou, si «J^*S^É^fe^^^^'^brîcIue * un Paramelre- L'étude des «P^^|^rir||»|gaï^î^Û^»algébriques à deux paramètres parles ^lp^^f^^i^il^îË?ïpcs attachées à la surface est non moins Slïllilrp^^ abordée par M. Vicârè.

||*-4^^Q9P4S'^ * V^natysis «fa*, où viennent se n^**BW#&$:M. Poincaré.

39Ç«StK^^felM^tfe?Pir!3S?s ce dernier paragraphe les non» &ll^#I^5i^||€StBovo, Humbert, Séveri, Lacaze, Tray-

«w» «ffi» *i£» «Œ