CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

A l'occasion de Cauchy, enfin, nous avons vu combien, aujourd'hui, l'idée de fonction analytique est fondamentale encore que dérivée de son sens primitif, puisque MM. du Bois-Reymond, Pringsheim, Lerch, Borel ont fait connaître des fonctions non analytiques ayant toutes leurs dérivées jusqu'à l'infini. En ces dernières années, et après Weierstrass, toutes les questions de principe ont été élucidées. C'est ainsi que la théorie des Ensembles, fondée par M. Cantor, est venue se placer à la base des plus larges classifications, et a permis d'en faire un corps de doctrine d'une harmonie parfaite. Citons à ce propos les travaux de M. Baire sur les fonctions discontinues, ceux de Riemann, de MM. Jordan, Darboux, Lebesgue, de la Vallée-Poussin, sur les fonctions intégrables et sommables, ceux de M. Osgood sur la convergence des séries, uniformes ou non.

Toujours dans le même ordre d'idées, Weierstrass, MM. Poincaré, Borel, Pringsheim, Lerch, Zoretti ont heureusement étudié les prolongements analytiques, avec ou sans espaces lacunaires, Laguerre, MM. Borel, Lindelof et P. Boutroux ont lié la croissance des fonctions aux notions de genre et d'ordre, M. Painlevé enfin a étudié les équations différentielles à ce même point de vue, fondamental, de la croissance.

M, Appell, dans son mémoire sur les fonctions périodiques de deux variables, ainsi que MM. Picard, Poincaré et kœnigs, ont abordé le problème extrêmement difficile de définir les fonctions par des relations fonctionnelles. Ce problème du plus haut intérêt offre un champ des plus vastes aux mathématiciens de l'avenir.

D'autre part, on a vu combien les travaux concernant les fonctions spéciales, elliptiques, abéliennes, fuchsiennes, hyperabéliennes, hyperfuchsiennes, Zêta et autres ont pris d'importance dans ces dernières années.

Plus haut, nous avons assez longuement parlé de la Théorie des nombres et de T Algèbre. Une mention spéciale doit cependant être accordée aux travaux récents de M. Lerch sur certains théorèmes d'Arithmétique et les formes quadratiques et à P. Tchébychef, qui naquit le 26 mai 182 1 à Borovsk, en Russie, et mourut à Pétersbourg le 8 décembre 189 4. Nommé professeur à l'université de cette ville en i853, il y professa des cours fort estimés sur les intégrales définies, sur les équations différentielles,

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sur la théorie des nombres et sur le calcul des probabilités. En 1874» il fût élu associé de l'Académie des sciences de Paris. Tchébychef est un arithméticien de valeur, bien qu'il se soit surtout occupé de l'application des mathématiques aux sciences expérimentales : questions de maximum et de minimum d'un genre différent de celles qui conduisirent à l'invention du calcul différentiel et du calcul des variations, recherches des valeurs approchées des nombres, des fonctions, des intégrales, recherches sur les fractions continues et, surtout : théorie des probabilités, où il se montre analyste de talent. Peut être pourrait-on regretter qu'il n'ait point poursuivi ses premières recherches sur la théorie des nombres, 00 il étudia avec bonheur la loi de distribution des nombres premiers.

Rappelons en dernier lieu que Fourier a le premier envisagé un système d'équations du premier degré en nombre inGni, les inconnues étant elles-mêmes en nombre infini. De tels systèmes se présentent dans plusieurs systèmes d'analyse, quand on veut développer le quotient de deux séries trigonométriques, quand on veut intégrer une équation différentielle linéaire h coefficients périodiques au moyen d'une fonction périodique ou au moyen du produit d'une telle fonction par une exponentielle, problème qui se pose en m'eanique céleste.

M. Poincaré a fait de ces systèmes d'équations une magistrale étude et a montré que, fait singulier, des égalités en nombre infini peuvent, dans certains cas être remplacées par des inégalités/en nombre infini ^aussi. fc* "~

L'analyse se limiterait donc singulièrement en se bornant à l'étude des systèmes d équations en nombre fini, algébrique ou non, encore que les premières et parmi celles-ci les plus simples seules, soient bien connues.

Ajoutons qu'en ces vingt dernières années, de remarquables traités classiques d'Analyse ont vu le jour, ceux de MM. Jordan, Picard, Humbert, G oursat, de la Vallée-Poussin, Appell, pour ne citer que les auteurs français *.

Géométrie synthétique. — Les écrivains que nous venons de citer se sont, pour la plupart, intéressés à l'analyse. Nous allons maintenant parler de quelques-uns des travaux les