CHAPITRE XIX. LA THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

surtout, qui ont jeté un jour si vif sur la théorie des équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur.

M. Darboux a fait la synthèse de la plupart des découvertes précitées dans deux ouvrages justement appréciés, où se retrouvent aussi ses propres travaux : ses Leçons sur la théorie générale dessurfaces et ses Leçons sur les systèmes orthogonaux.

Fort intéressantes sont les courbes définies par une équation différentielle ordinaire. Les points singuliers des courbes correspondant à l'équation très simple <*

,£- = ? (X et Y polynômes en x, y),

se partagent en trois types, que M. Poincaré appelle cols, nœuds et foyers. Les travaux les plus récents sur les points singuliers des courbes intégrales de cette équation sont dus à M. Bendixon ; le savant géomètre suédois a établi en particulier que s'il existe pour cette équation une courbe intégrale allant à l'origine avec une tangente déterminée, toutes les courbes intégrales allant à l'origine y parviendront avec des tangentes déterminées. Les courbes intégrales peuvent êlre fermées ; elles peuvent avoir un foyer comme point asymptote, elles peuvent être asymptotes à une courbe fermée, solution elle-même de l'équation différentielle, courbes fermées que M. Poincaré appelle cycles limites et qui jouent un rôle capital dans cette étude.

Nous avons jusqu'ici parlé des courbes intégrales des seules équations linéaires et du premier ordre.

Les difficultés s'accroissent quand on passe aux équations du premier ordre et de degré supérieur.

Là, l'étude des points singuliers a été poussée fort loin, mais ce fait qu'une courbe intégrale recouvre parfois une aire, complique fort l'étude des courbes dans l'ensemble du plan. Il arrive aussi que certains développements en série, utilisables pour le premier ordre, ne donnent rien qui vaille quand on passe aux ordres supérieurs.

M. Hadamard a étudié les lignes géodésiques de surfaces à courbures opposées. Il a établi que là existent des lignes géodésiques» se rapprochant d'une géodésique fermée déterminée, puis l'aban-

donnant pour se rapprocher d'une autre, puis passant à une troisième, et ainsi de suite indéfiniment.

C'est à l'aide de faits particuliers de ce genre qu'on établit les bases des théories générales. Nous l'ayons déjà dit et nous le répétons à dessein *.

La Géométrie non-euclidienne. — Les études relatives aux fondements de la géométrie ont donné lieu récemment à des travaux très remarquables.

La question de l'exactitude des hypothèses généralement faites en géométrie avait déjà été examinée par J. Saccheri, vers 1733 ; et elle a été discutée à des époques plus récentes par N.-I. Lobatschewsky (1793-1856,) de Kasan, en 1826 et encore en i84o ; par Gauss, peut-être en 1792, mais certainement en 1 83 1 et en 18 46 ; «t par J. Bolyai (i3o2-i86o), en i83a, dans l'appendice, au premier volume de son père, Tes tome n ; mais le mémoire présenté, en i854, par Riemann, attira l'attention générale sur la question d'une geométric non-euclidienne et, depuis» la théorie a été développée et simplifiée par divers écrivains, notamment par A. Cayley, de Cambridge, E. Beltrami (*) (1 835- 1900), de Pavie; H.-L.-F. von Helmhollz (1821-189/4), de Berlin; F.-C. Klein, de Gottingue, et A.-N. Whitehead, de Cambridge, dans son Universal Algebra. Le sujet est si technique que nous nous contenterons de présenter un simple aperçu du concept (2) d'où l'idée est dérivée.

Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. Lorsque le produit des rayons principaux de courbure

(') Une liste des écrits de Beltra.ui est donnée dans les Annali di matemalica, mars 1900.

{*) Comme références voir nos Mathematical Récréations and Problems, Londres, 1896, ebap. x. Uno histoire sommaire de la géométrie non-ouclidienno est donnée dans los ouvrages de F. Ejgel et P. Stackel, Leipzig, 1895, 1899, e*c- » v0*r aussi J« Frischauf, Elfments tlcr absoluten Géométrie, Leipzig, 1876; et un rapport de G.-B. Halsted, sur les progrès de la question, a été inséré dans le journal Science, N. S., vol. X, New-York, 1899, PP* 54 5-5 ^7.