CHAPITRE XIX* — LA THÉORIE DBS FONCTIONS, ETC. 21 g

en chaque point de l'espace ou de la surface est constant, et seulement dans ce cas, on le peut. Trois sortes de surfaces jouissent de cette propriété, ce sont : i° les surfaces sphériques pour lesquelles le produit est positif; 2° les surfaces planes, qui nous conduisent à la géométrie euclidienne, et pour lesquelles le produit est zéro ; et ce que Beltrami a appelé surfaces pseudo-sphériques, pour lesquelles le produit est négatif. De plus, si une quelconque de ces surfaces est déformée sans déchirure ni duplicature, la mesure de sa courbure demeure constante. Ainsi, ces trois sortes de surfaces représentent trois types distincts sur lesquels on peut construire des figures congruentes. Par exemple, une surface plane peut être enroulée de façon à former un cône, ou un cylindre, et le système de géométrie correspondant à une surface conique, ou cylindrique, sera identique à celui correspondant à un plan.

Une simple particularité distingue les unes des autres ces trois espaces à deux dimensions. D'un point d'un espace sphérique, ou d'une autre surface quelconque à une courbure positive constante, on ne peut mener aucune ligne géodésique parallèle à une ligne géodésique donnée, la ligne géodésique étant définie comme « la plus courte distance entre deux points ». Par un point de l'espace euclidien, ou d'un plan, on peut mener une ligne géodésique, c'est-à-dire une ligne droite, et une seulement, parallèle à une ligne droite donnée. Par un point de l'espace pseudosphérique, on peut mener plusieurs lignes géodes iques parallèles à une ligne géodésique donnée.

On pourrait croire que nous sommes en mesure de démontrer que notre espace est plan, puisque par un point donné nous ne pouvons mener qu'une seule ligne parallèle à une droite donnée. Mais cela n'est pas, car on conçoit fort bien que nos moyens d'observation ne nous permettent pas d'avancer avec une certitude absolue que deux lignes sont parallèles ou non ; par suite, il ne nous est pas possible d'utiliser cette proposition pour affirmer que notre espace est ou n'est pas plan. Une meilleure preuve pourrait être basée sur cette proposition que, dans tout espace à deux dimensions de courbure constante, si la somme des angles d'un triangle diffère de deux angles droits, la différence est une quantité proportionnelle h l'aire du triangle. 11 est dès lors possible que, bien que cette différence soit imperceptible pour les triangles que nous pouvons me-

surer, * même les plus grands, les triangles géodésiques, par exemple*, elle puisse être sensible pour les triangles présentant des dimensions un million de fois plus grandes.

Si l'espace considéré est sphérique ou pseudo -sphérîque, son étendue est limitée ; si l'espace est plan, il s'étend à l'infini, * géométriquement et non philosophiquement parlant *. Pour ce qui regarde l'espace pseudo-sphérique, nous ajouterons que, s'il est construit dans l'espace à quatre dimensions, son étendue peut être infinie.

Dans l'aperçu que nous venons de présenter des fondements de la géométrie non-euclidienne, nous avons admis tacitement que la mesure d'un même segment était indépendante de sa situation. M. Klein a montré qu'il n'en est pas ainsi ; on peut, sous condition de choisir de façon convenable la loi suivant laquelle varie la mesure d'une dislance, obtenir trois systèmes de géométrie plane analogues aux trois systèmes mentionnés ci- dessus et qui sont respectivement : la géométrie elliptique, la géométrie parabolique et la géométrie hyperbolique.

Ce qui précède s'applique seulement à 1 hyperespace à deux dimensions. La question de savoir s'il n'y a pas plusieurs sortes d'hyperespace à trois ou plus de trois dimensions, se présente alors naturellement ici. Biemann a montré qu'il existe trois sortes, d'hyperespacc à trois dimensions ayant des propriétés analogues à celles des trois sortes d'hyperespace à deux dimensions déjà étudiées. Ces espaces se distinguent les uns des autres par ce fait que, par un point donné on ne peut mener aucune surface géodésique parallèle à une surface donnée, ou qu'on en peut faire passer une seule, ou encore qu'on en peut mener un faisceau ; une surface géodésique étant telle que toute ligne géodésique joignant deux de ses points est tout entière sur la surface.

* Beltrami. — Eugène Bellrami naquit à Crémone le 16 novembre 1 835 et mourut à Rome le 18 février 1900. Divers travaux lui valurent d'être nommé en 1862, professeur d'algèbre et de géométrie analytique à l'université de Bologne. C'est à Rome qu'il acheva sa carrière, membre de la plupart des académies savantes et comblé d'honneurs.

L'ouvrage qui le mit en vue est ses Recherches sur les appîica-