CHAPITRE XIX. — LÀ. THÉORIE DES FONCTIONS, ETC

tions de l'analyse à la géométrie. Dans son mémoire classique sur V interprétation de la géométrie non* euclidienne, il arriva à cette conclusion si importante : que les théorèmes de la géométrie non Euclidienne trouvaient leur réalisation sur les surfaces à courbure constante négative. A propos de l'étude qu'il fit des surfaces à courbure constante positive, il démontra que l'espace à courbure constante positive est contenu dans l'espace à courbure constante négative.

M. Hilbert, il est vrai, dans un mémoire postérieur, Ueber Fldchen von Konstanter Gausscher Krummung a démontré qu'il n'existe pas de surfaces à courbures constantes négatives absolument régulières, ce qui limite singulièrement l'interprétation de la géométrie non-Euclidienne imaginée par Beltrami.

Beltrami publia aussi plusieurs mémoires sur diverses questions de physique mathématique.

Comme plusieurs mathématiciens, il était musicien distingué *.

Mécanique. — Nous terminerons ce chapitre par quelques notes, plus ou moins décousues, sur les branches des mathématiques d'un caractère moins abstrait, qui traitent les problèmes se présentant dans la nature. Nous commencerons par la mécanique, qui peut être étudiée graphiquement ou analytiquement.

Méthodes graphiques. — Dans la science graphique, on a établi des règles pour résoudre les divers problèmes au moyen d'épurés : les procédés utilisés sont étudiés dans la géométrie projeclive et le sujet est étroitement lié à la géométrie moderne. Cette façon d'aborder les questions, mise en œuvre déjà par Newton (l), a été jusqu'ici appliquée principalement à des problèmes concernant la mécanique, l'élasticité et l'électricité. Elle est particulièrement utile dans l'art de l'ingénieur et, dans cette partie, un bon dessinateur doit être capable d'obtenir approximativement les solutions de la plupart des équations, différentielles ou autres, qu'il pourrait vraisemblablement rencontrer, cela sans faire des erreurs dépassant celles qui proviennent de notre connaissance imparfaite de la structure des matériaux employés.

. On peut dire que celte théorie a pris naissance avec les travaux

(l) Cf. pp. .a 2 -23 de cq Tolume.

de Poncelet, mais nous pensons que c'est seulement au cours de ces vingt dernières années que des exposés systématiques du sujet ont élé publiés. Parmi les traités les mieux connus nous pouvons citer : la Graphische Stalik, par C. Culmann, Zurich, 1870, récemment éditée par W. Ritter ; les Lezioni di Statica grafica, par .4 . Favaro, Padoue, 1877 (une traduction française annotée par P. Terrier, a été publiée en deux volumes, 1879-1885) ; le Calcolo grajico par L. Cremona, Milan, 1879 (une traduction anglaise par T. H. Beare, a été publiée à Oxford, en 1889}, qui est fondé en grande partie sur l'ouvrage de Mobius; la statique graphique, par M. Lévy, Paris, 4 volumes, 1 886-1 888 (') ; la statica graphica, par C. Sai~ rotti. Milan, 1888 ; * la Nomographie par M. dOcagne, Paris *.

La note suivante, résumant le travail de Gulmann, donnera une idée suffisante du caractère général de ces ouvrages. Culmann commence par la description des procédés donnant la représentation géométrique des quatre opérations fondamentales : addition, soustraction, multiplication et division ; il passe ensuite à l'extraction des racines et à l'élévation aux puissances, cette dernière operation étant effectuée ait moyen de la spirale logarithmique. Il montre alors comment des quantités, telles que les volumes, les moments et les moments d'inertie, peuvent être représentées par des lignes droites ; il en déduit les règles pour combiner les forces, les couples, etc. Puis il explique la construction et l'usage de l'ellipsoïde d'inertie, et de ses éléments. Le reste de l'ouvrage, c'est-à-dire sa majeure partie, montre comment les tracés géométriques, faits d'après les principes exposés, donnent les solutions de nombreux problèmes pratiques relatifs aux cintres, ponts, charpentes, à la pression des terres sur les murs et sur les voûtes, etc.

Le sujet a été traité durant ces vingt dernières années par de nombreux mathématiciens surtout en Italie et en Allemagne, et a été appliqué à un grand nombre de questions. Mais comme nous avons déclaré au commencement de ce chapitre que nous éviterions, autant que possible, de discuter les ouvrages des auteurs vivants, nous n'en dirons pas plus long sur ce sujet.

* Poinsot. — Louis Poinsot naquit en 1777 h Clermont-en- Beauvaisis, où son père était épicier, et mourut à Paris en 1859.

(*) * Une 3me édition est en cours de publication*.