A II B

Fig. 8.

Si nous représentons la longueur AB par /et les segments 'AH, HB par a et 6, les théorèmes démontrés par Eudoxe se traduisent par les identités algébriques suivantes :

(i) (a + I A1 = 5 (1 îY. [Euclide, prop. i du livre XIII].

{2) § Réciproquement, si l'égalité ( 1 ) est vraie et si nous faisons AH = a, la droite AB se trouve divisée en H en une section d'or. [Euclide, prop. 2 du livre XIII].

(3) (6 + I a\* = 5 (i aV. [Euclide, prop. 3 du livre XIII].

<4) l* -+- 62 = 3a2. [Euclide, prop. l\ du livre XIII].

« ! + a / ce qui donne une autre section d'or

<°' ~~T~~ — à ' [Euclide, prop. 5 du livre XIII].

Ces propositions ont été successivement énoncées par Euclide, au commencement de son XIIIe livre, mais elles auraient pu tout

aussi bien être placées à la fin du second livre. Toutes sont algébriquement évidentes, puisque

! = o + 6 et a2 = 6. /.

Eudoxe créa plus tard la méthode « d'exhaustion » qui repose sur cette proposition que « si à la plus grande de deux grandeurs inégales, on enlève plus que sa moitié, et à ce qui resté encore, plus que sa moitié, et ainsi de suite, on finira par obtenir un reste moindre que la plus petite des deux grandeurs proposées ». Eu— clide avait classé cette proposition comme la première du Xe livre de ses Eléments, mais dans la plupart des éditions scolaires modernes, elle est placée au commencement du XII0 livre. A l'aide de ce théorème, les géomètres anciens pouvaient éviter l'emploi des infini m en ts petits : la méthode est rigoureuse mais d'une application pénible. On en trouve un bon exemple dans la démonstration de la proposition 2 du livre XII d'Euclide, à savoir que : le carré du rayon d'un cercle est au carré du rayon d'un autre cercle comme Taire du premier cercle est à une aire qui n'étant, ni plus petite, ni plus grande que celle du second cercle, représente nécessairement celle de ce second cercle.

La démonstration qu'en donne Euclide est (suivant l'usage) complétée par une rédaction à F absurde.

Eudoxe utilisait ce principe pour démontrer que le volume d'une pyramide (ou d'un cône) est le tiers de celui d'un prisme (ou d'un cylindre) de même base et de même hauteur (Euclide, prop. 7 et 10 du livre XII). On pense aussi qu'il s'en servait pour établir que les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes de leurs rayons. Quelques écrivains estiment que c'est à lui, et non à Hippocrate, qu'on doit attribuer la proposition 2 du livre XII d'Euclide.

Eudoxe considéra également certaines courbes autres que le cercle.

Eudoxe imagina un système planétaire et écrivit un traité d'astronome pratique dans lequel, adoptant une hypothèse déjà mise en avant par Philolatis, il supposait un certain nombre de sphères mobiles auxquelles le soleil, la lune et les étoiles étaient fixés et qui, par leur rotation, produisaient les effets observés. Son système