CHAPITRE IV. LE 111° SIECLE AVANT JÉSUS- CHRIST

des lignes incommensurables. 11 en existe vingt-cinq espèces, et le fait qu'Euclidc a pu les découvrir et les classer toutes est, suivant l'opinion d'une autorité aussi compétente que celle de Xesselmann, la preuve la plus remarquable de son talent. Il semble tout d'abord presque impossible qu'il ait pu obtenir un pareil résultat sans le secours de l'Algèbre, mais il est à peu près certain qu'il y est arrivé réellement par un raisonnement abstrait. La théorie des grandeurs incommensurables ne reçut depuis lors aucun développement jusqu'à Léonard et Cardan, c'est-à-dire pendant un intervalle de plus de mille ans.

Dans la dernière proposition du dixième livre (prop. 117), Euclide établit que la diagonale d'un carré est incommensurable avec le côté du carré. Sa démonstration est si courte et si simple que nous pouvons la donner ici.

S'il était possible que le côté d'un carré lut commensurable avec sa diagonale, le rapport de ces deux lignes pourrait être représenté par j-, a et 6 étant des nombres entiers. On peut toujours supposer

ce rapport réduit à sa plus simple expression et les nombres a et & n'ayant alors d'autre diviseur commun que l'unité, sont premiers entre eux. D'après la proposition /17 du livre I, 62 = 2a', par suite fc8 est un nombre pair et il en est de même de 6. Mais puisque a est premier avec fe, ce nombre a doit être impair.

Or b pouvant se mettre sous la forme 2/1, on a, en remplaçant fc* par 4n* dans l'égalité précédente

2a* = 4«2 ou a2 = 2/1*.

Dès lors a2 et, par suite, a, sont des nombres pairs.

Ainsi, le même nombre a devrait être à la fois pair et impair, ce qui est absurde. Donc le côté et la diagonale du carré ne peuvent être des longueurs commensurables entre elles.

Hankel pense que cette démonstration est due à Pythagore, et qu'elle fut insérée dans les Eléments à cause de son intérêt historique.

La même proposition se trouve démontrée d'une autre façondans le livre X (proposition 9).

En dehors des Eléments et des deux collections d'exercices mentionnées ci-dessus (que l'on possède encore), Euclide écrivit les ouvrages suivants sur la géométrie :

Un traité élémentaire sur les sections coniques, en quatre livres ;

Un ouvrage sur les surfaces courbes (probablement et principalement le cône et le cylindre) ;

Une collection de Sophismes géométriques qui devaient être proposés comme exercices pour faire découvrir les erreurs ;

Et un traité sur les Porismes en trois livres. Tous ces ouvrages «ont perdus, mais l'ouvrage sur les Porismes a été discuté si longuement par Pappus que quelques savants ont pensé qu'il serait peut-être possible de le reconstituer. En particulier, Chasles publia, en 1860, une restitution des Porismes. On y trouve les conceptions de la division harmonique et des propriétés projectives, c'est-àdire les fondements de la géométrie moderne, que Chasles et d'autres écrivains de son siècle ont si largement développés. Le recueil est remarquable et ingénieux ; personne, bien entendu, ne peut prouver qu'il n'est pas la reproduction exacte de l'ouvrage écrit par Euclide, mais les explications de Pappus au sujet des Porismes ne nous sont parvenues que mutilées et De Morgan avoue franchement avoir trouvé ces fragments inintelligibles ; c'est là une opinion partagée, croyons-nous, par beaucoup de ceux- qui les ont étudiés.

Euclide écrivit un Traité sur Y Optique qu'il exposa géométriquement. L'ouvrage contient 61 propositions reposant sur 12 hypothèses ; il débute par cette supposition : que les objets sont rendus visibles parce qu'ils sont frappés par des rayons lumineux émis par l'œil, en ligne droite « attendu que, si la lumière nous venait de l'objet, nous ne pourrions faire autrement que d'apercevoir une aiguille sur le sol, bien que le contraire arrive souvent. » Quelques-uns des plus anciens auteurs lui attribuent également un ■ouvrage appelé Catoptrique, mais cela est douteux, car le texte est incorrect.. Ce livre contient 3i propositions relatives à la réflexion jsur les miroirs plans, convexes et concaves. La partie géométrique de ces deux ouvrages est traitée d'après la méthode Euclidienne.

On attribue à Euclide une ingénieuse démonstration (J) du principe du levier, mais son authenticité est douteuse.

Il écrivit aussi les Phœnomena, traité d'astronomie géométrique

(â) Elle est donnée (d'après l'arabe) par F. Wcepcke, dans le Journal Asiatique, série 4» >ol. XVIII, octobre i85i, pp. aa5-23a.