CHAPITRE IV. — LB IIIe SIÈCLE AVA5T JÉSUS-CHRIST

Il démontre cette proposition : A, À' étant les sommets d'une conique et P un point quelconque de la courbe, si on abaisse de P*

la perpendiculaire PM sur AA', le rapport ™* ■ ~ (avec la notation-

usuelle) est constant dans l'ellipse et l'hyperbole, et le rapport

~L. est constant dans la parabole (Jig. 12).

Cette proposition donne les propriétés caractéristiques sur lesquelles presque tout le restant de l'ouvrage est basé. Il fait voir ensuite, que si

A est le sommet, - le paramètre, AM, MP

l'abscisse et l'ordonnée d'un point quel-

— s conque d'une conique, MP est inférieur,

égal ou supérieur au produit /.AM suivant que la conique est une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

C'est de là que viennent les noms donnés à ces courbes et sous lesquels on les désigne encore de nos jours.

Apollonius n'avait aucune notion de la directrice et ignorait que la parabole eût un foyer, mais si Ton fait exception des proposi— , lions relatives h ces notions, ses trois premiers livres contiennent laplupart des théorèmes que Ton trouve dans les ouvrages classiques modernes. Dans le quatrième livre il développe la théorie des lignescoupées harmoniquement et s'occupe de l'intersection des systèmesde coniques. Le début de son cinquième livre est consacré à la. théorie des maxima et des minima, qu'il applique à la détermination du centre de courbure en un point quelconque de la courbe,, et à celle du développement de la courbe; il détermine aussi le* nombre de normales que Ton peut mener d'un point à une conique.

Dans le sixième. livre il s'occupe des coniques semblables. Les septième et huitième livres étaient consacrés à la discussion despropriétés des diamètres conjugués et Halley dans son édition de 17 10 a reconstitué par conjectures ce dernier livre.

Les explications prolixes et pénibles de l'ouvrage font que sa lecture ne présente de nos jours aucun attrait à beaucoup de lecteurs, mais la disposition est logique et les raisonnements sont irréprochables, et c'est à juste titre qu'il a été considéré comme le*

fleuron de la géométrie grecque. C'est cet ouvrage qui a fait la réputation d'Apollonius et qui Ta fait surnommer « le grand géomètre ».

Outre ce volumineux traité, il écrivit beaucoup d'autres ouvrages d'importance moindre; ils sont, bien entendu, en langue grecque, mais désignés généralement par leurs titres latins. Nous énumérons plus loin quelques-uns d'entre eux.

Il traita également, dans un ouvrage spécial, le problème suivant : « étant données, dans un même plan, deux lignes droites Àa, B6 passant par les points fixes A et B, mener par un point O pris en dehors de ces droites, une nouvelle droite Oab coupant les premières en a et fe, de telle sorte que le rapport de Aa k Bfe soit connu. » Apollonius réduisait la question à soixante dix-sept cas différents et donnait pour chaque cas, avec laide des coniques, une solution appropriée; ce travail fut publié (traduit d'une copie arabe) par E. Halley, en 1706. Il écrivit également un traité De Seclione Spatiï (reconstitué par Halley en iio6), sur le même problème; mais en y introduisant la condition que le produit Aa. B6 devait être connu. Il en composa encore un autre intitulé De Sec-* tione Delerminata (reconstitué par R. Simson en 17^9), sur des questions telles que la suivante : trouver sur une droite donnée AB, un point P tel que le rapport de PA à PB soit connu. Un autre de ses écrits De Tactiombus (rétabli par Viète en 1600) traite delà construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés. Son travail De Inclinalionibus (reconstitué en 1607 par M. Ghetaldi) a pour objet le problème qui consiste à tracer une droite telle que le segment déterminé par deux droites données ou par les circonférences de deux cercles donnés ait une longueur connue.

Il composa aussi un traité en trois livres sur les lieux plans De Locis planis (reconstitué par Fermât en 1637 et Par R- Simson en 1746), et un autre sur les solides réguliers . Enfin il écrivit un traité sur les incommensurables non classés qui était un commentaire du Xe livre d'Euclide. On pense que dans un ou plusieurs des ouvrages perdus il fit usage de la méthode des projections coniques. Outre ces ouvrages sur la géométrie, il écrivit sur les méthodes de calcul arithmétiques ; tout ce que nous savons de cet ouvrage tient à quelques remarques de Pappus. Friedlein pense que ce n'était autre chose qu'une sorte de barème ou comptes-faits. Il