CHAPITRE I. — LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES ÉGYPTIENS

cerne l'arithmétique pratique ou l'art du calcul, et peut-être aussi, apprirent-ils par eux quelques propriétés des nombres. 11 est bon de faire remarquer ici que Pythagore était phénicien ; et, suivant Hérodote, Thaïes appartenait à la même race, mais ceci est plus douteux.

Mentionnons aussi que l'usage presque universel de l'abaque ou suan-pan permettait aux anciens d'effectuer aisément l'addition et la soustraction sans aucune connaissance d'arithmétique théorique. Ces instruments seront décrits plus loin dans le chapitre va, il nous suffira de dire ici qu'ils donnaient un moyen concret de représenter un nombre dans le système décimal et qu'ils fournissaient les résultats d'une addition et d'une soustraction par un procédé purement mécanique. En y joignant un procédé permettant d'écrire le résultat, on avait tout ce qui était nécessaire pour les besoins de la pratique.

Nous sommes en mesure de parler avec plus de certitude de l'arithmétique des Egyptiens. On est parvenu à déchiffrer il y a environ trente ans un papyrus (') hiératique faisant partie de la collection Rhind conservée au British Muséum, et sa lecture a jeté une grande lumière sur leurs connaissances mathématiques. Le manuscrit a été écrit par un prêtre du nom de Ahmes à une époque qui, suivant les Egyptologistes remonterait à bien plus de mille ans avant J.-C. et Ton croit que c'est la copie corrigée d'un traité qui lui serait antérieur de plus d'un millier d'années. L'ouvrage est intitulé « Instructions pour connaître toutes les choses secrètes » et consiste en une collection de problèmes d'arithmétique et de géométrie ; les réponses sont données mais généralement sans l'indication des procédés au moyen desquels elles ont été obtenues. Il semble être un sommaire de règles et de questions familières aux prêtres.

La première partie traite de la réduction des fractions de la forme

— -— en somme de fractions ayant toute l'unité pour numéra-

(') Consulter Eux mathemastisches Handbuch der nlten tàgypler par A. Eisen- LonA, seconde édition, Leipzig, 1891 ; ainsi que Gawtor, chap. 1, et « A short History oj Greek Matkematics », par J. Gow, Cambridge, i884, art. ia-i4.

En dehors de ces autorités le papyrus a été discuté dans divers mémoires par L. Rodet, A. Favaro, V. Bobyiu*, et E. Weyr.

teur : par exemple Ahmes établit que - - est la somme de -j , rg ♦

Tjk et ^ : *» ^ e8t la sommc de 5S' S^ et 7^5-

Dans tous les exemples n est inférieur & 5o. Il n'avait probablement aucune règle pour former les fractions composantes et les réponses données représentent les résultats réunis des expériences des auteurs qui le précédèrent ; il a cependant indiqué sa méthode

dans un seul cas particulier car, après avoir avancé que « est la

somme de - et de g il ajoute que, par suite, les deux tiers d'un

cinquième sont égaux à la somme de la moitié d'un cinquième et

du sixième d'un cinquième, c'est-à-dire à - - -t- «- .

On peut expliquer qu'on ait attaché une telle importance aux fractions par ce fait que dans les temps anciens, leur application présentait de grandes difficultés. Les Egyptiens et les Grecs simplifiaient le problème en réduisant chaque fraction en une somme de plusieurs autres ayant toutes l'unité pour numérateur, de telle sorte qu'ils n'avaient à considérer que les divers dénominateurs :

2 3 les fractions g et t faisaient seules exception à cette règle. Cette

façon de procéder fut pratiquée chez les Grecs jusqu'au sixième siècle de notre ère. Les Romains de leur côté, conservaient généralement le dénominateur constant et égal k 12, et traduisaient (approximativement) chaque fraction en un certain nombre de douzièmes. Les Babyloniens firent la même chose en astronomie mais en employant soixante comme dénominateur constant, et c'est d'eux, avec les Grecs comme intermédiaires, que nous vient la division moderne du degré en soixante parties égales. Ainsi, soit d'une manière, soit d'une autre, on évitait la difficulté provenant du changement simultané du numérateur et du dénominateur. Après avoir considéré les fractions, Ahmes continue par quelques exemples ayant trait aux opérations fondamentales de l'arithmé- . tique. Pour la multiplication il semble avoir procédé par additions répétées. Ainsi dans un exemple numérique où il se propose de multiplier un certain nombre, soit a, par i3, il multiplie d'abord par 2, ce qui lui donne 2 a, puis il double le résultat et obtient ainsi 4#> il double encore ce dernier résultat ce qui lui donne 8 a,