LE IV SIÈCLE APRÈS JÉSUS-CHRIST

Pendant le second et le troisième siècles, c'est-à-dire depuis Nicomaque, l'intérêt qui s'attachait à la géométrie avait diminué d une façon persistante et l'attention s'était de plus en plus portée vers la théorie des nombres, bien que les résultats obtenus ne fussent nullement en rapport avec le temps qu'on avait consacré à cette étude. U faut se rappeler qu'Euclide employait des droites pour représenter les grapdeurs de toute nature et qu'il étudia d'une manière rigoureusement scientifique tous ses théorèmes sur les nombres, mais en se limitant aux cas où une représentation géométrique était possible.

Les œuvres df Archimède contiennent certaines indications, d'où il résulterait qu'il avait l'intention de poursuivre l'étude de la théorie des nombres : il introduisait les nombres dans ses discussions géométriques et il effectuait la division d'une ligne par une ligne, mais trop absorbé par d'autres recherches, il n'eut pas le temps de se consacrer à l'arithmétique. Héron abandonna la représentation géométrique des nombres, mais il ne réussit pas à créer un autre symbolisme pour les nombres en général ; il en fut de même de Nicomaque et des autres arithméticiens qui vécurent après lui, et par suite chaque fois qu'ils énonçaient un théorème, ils se contentaient de le vérifier en l'appliquant à un grand nombre d'exemples numériques. Us savaient sans doute résoudre une équation du second degré à coefficients numériques, car — • ainsi que nous l'avons déjà fait observer — on trouve dans Euclide (propositions 28 et 29 du livre VI) les solutions géométriques des équations

ax* — bx -+- c = o et axl -h bx — c = o

- (!) Il a été édité par C. Heurt. Halle, 1879 et présente un certain intérêt comme exemple de l'arithmétique pratique chez les Grées.

108 niSTOIRE DES MATHÉMATIQUES

mais c'est ce qui constituait, probablement, le summum de leurs connaissances.

Il semble donc que, malgré le temps consacré à l'étude de l'arithmétique et de la géométrie, ces deux branches des mathématiques n'aient pas progressé d'une façon sensible depuis l'époque d'Archimède. On trouve des exemples du genre de problèmes qui, dans le troisième siècle, excitaient le plus d'intérêt dans une collection de questions faisant partie de l'anthologie Palatine composée par Mélrodore au commencement du siècle suivant, vers 3io. Quelques unes d'entre elles appartiennent à Métrodore, mais beaucoup sont d'une date antérieure et elles expliquent bien la façon dont l'arithmétique conduisit aux méthodes algébriques. En voici quelques exemples typiques :

« Quatre tuyaux amènent de l'eau dans une citerne ; l'un la remplit en un jour, un autre en deux jours, le troisième en trois jours et le quatrième en quatre jours ; si les quatre tuyaux coulaient ensemble, combien mettraient-ils de temps pour remplir la citerne. »

« Demochares a passé le quart de sa vie comme enfant, le cinquième comme jeune homme, le tiers comme homme, et il est demeuré treize ans vieillard en enfance. Quel était son âge quand il mourut?

« On demande de composer une couronne pesant 60 mines avec de l'or, du cuivre, de l'étain et du fer, sachant que l'or et le cuivre doivent y entrer pour les deux tiers, l'or et l'étain pour les trois quarts et l'or et le fer pour les trois cinquièmes. Déterminer les poids respectifs de l'or, du cuivre, de l'étain et du fer. »

Celte dernière question est une application numérique du théorème de Thymaridas cité plus haut. Les commentateurs allemands ont fait remarquer que ces problèmes, bien que faciles à résoudre au moyen d'équations simples, peuvent également être traités par les méthodes géométriques en représentant par une droite la quantité inconnue. Dean Peacock fait aussi observer qu'on peut les résoudre en appliquant une méthode employée par les Arabes et par plusieurs auteurs du Moyen-Age pour des questions semblables. Cette méthode généralement connue sous le nom de règle de fausse supposition, consiste à prendre un nombre quelconque pour la quantité inconnue, et si en l'essayant on constate