CHAPITRE V. — LE IV* SIECLE APRÈS JÉSUS-CHRIST IO

que les conditions imposées ne sont pas remplies, on lui fait subir une correction proportionnelle comme dans une règle de trois.

Prenons, par exemple, la seconde question et supposons que Tâge de Democharès soit de t\o ans ; en appliquant les diverses conditions spécifiées on trouve finalement qu'il aurait passé

8 ans j (et non ï3 ans) comme vieillard ; on peut par suite écrire

que le rapport de 8 * à i3 est le même que celui de l\o à l'âge

cherché, d'où on déduit pour Tâge cherché 60 ans.

Mais les critiques les plus récents pensent que ces problèmes se résolvaient par ce qu'on appelle Y Algèbre de rhétorique, c'està-dire à l'aide de raisonnements algébriques traduits par des phrases sans aucune intervention de symboles. C'est ainsi, d'après Nesselmann, que commença l'Algèbre et nous trouvons ce procédé employé à la fois par Ahmès et par les plus anciens algébristes Arabes, Persans et Italiens. Nous donnons un peu plus loin (!) des exemples de l'emploi de cette méthode à la solution d'un problème de géométrie et l'établissement de la règle pour résoudre une équation du second degré. Cette façon de voir conduirait à celte conséquence, qu'une algèbre non symbolique avait pris naissance et s'était progressivement développée chez les Grecs, ou était alors en pleine période de développement, développement bien imparfait du reste. Hankel, qui n'est pas un critique malveillant, constate que les résultats obtenus en ce qui concerne la théorie des nombres, sont, après un travail de six siècles, sans importance et même enfantins, et ne peuvent être en aucune façon considérés comme le commencement d'une science.

Entre cet abandon décroissant de la géométrie et ces faibles tentatives vers une arithmétique algébrique, un seul algébriste d'une originalité vraie se fit soudainement connaître et créa ce qu'on peut pratiquement appeler une science. Ce fut Diophante, qui introduisit un système d'abréviations pour les opérations et les quantités se reproduisant constamment dans le raisonnement, bien qu'il ne se crut pas dispensé en les employant d'observer les règles de la syntaxe grammaticale. Nesselmann donne à cette nouvelle science le nom d'Algèbre syncopée; c'est en réalité une sorte de

(!) Voir plus loin, pp. 209, 216.

IIO HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES

sténographie. Pour nous résumer nous pouvons dire que l'algèbre ne lit aucun progrès en Europe depuis ce premier pas jusqu'à là fin du xvi* siècle.

L'algèbre moderne a été encore plus loin et est devenue entièrement symbolique, c'est-à-dire qu'elle a un langage lui appartenant en propre et un système de notation ne présentant aucune* connexion évidente avec les choses que l'on veut représenter, tandis que ses opérations s'effectuent suivant certaines règles, nullement astreintes aux lois d'une construction grammaticale.

Diophante (!). — Tout ce que nous savons de Diophante, c'est qu'il habitait Alexandrie et que, très vraisemblablement, il n'était pas grec. L'époque même de son existence est incertaine, mais il vivait probablement dans la première moitié du ive siècle, c'est-à-dire peu après la mort de Pappus. Il mourut à l'âge de 8f\ ans.

Dans les quelques lignes qui précèdent, où il était question du développement de l'algèbre, nous avons attribué à Diophante la création de l'algèbre syncopée. C'est là un point sur lequel les opinions sont partagées, et quelques écrivains pensent qu'il ne fit que présenter d'une façon méthodique les connaissances que possédaient ses contemporains. A l'appui de cette dernière opinion, on doit constater que Cantor estime que des traces de l'emploi d'un symbolisme algébrique se trouvent dans Pappus, et Friedlein mentionne un papyrus grec dans lequel les signes / et ^ sont respectivement employés pour l'addition et la soustraction, mais on n'a produit aucune autre preuve directe évidente de la non-originalité de l'œuvre de Diophante, et aucun auteur ancien ne sanctionne cette opinion.

Diophante a écrit un court essai sur les nombres polygonaux, un traité d'algèbre qui nous est parvenu tronqué et un ouvrage sur les porismes qui est perdu.

Les nombres polygonaux contiennent dix propositions et ce fut probablement son premier ouvrage. Il abandonne la méthode em-

(x) Une édition des œuvres réunies de Diophante a été publiée avec des critiques, par S. P.Taiisery, 2 vol Leipzig, 1893.

Voir aussi Diophantos of Alexandria, par T. L. Heath. Cambridge, i885.