CHAPITRE VII. SYSTÈMES DE NUMÉRATION l

tions et dans les documents officiels jusqu'à une date très avancée.

Ce système, bien que primitif, se comprenait parfaitement, mais les Grecs, à une certaine époque du iiip siècle ayant Jésus-Christ, l'abandonnèrent pour un autre n'offrant aucun avantage spécial pour écrire un nombre donné et présentant l'inconvénient de rendre très difficiles toutes les opérations de l'arithmétique. Dans ce système qui porte le nom d'Alexandrin pour rappeler le lieu où il prit naissance, les nombres de i à 9 étaient représentés par les neuf premières lettres de l'alphabet; les dizaines d?. 10 à 90, par les neuf lettres suivantes; et les centaines de 100 à 900 par les neuf lettres à la suite.

L'application de ce système exigeait donc l'emploi de 27 lettres et comme l'alphabet grec n'en contenait que 2$, on y introduisit à nouveau deux lettres (le digamma et le kappa) qui en avaient déjà fait partie mais dont l'usage s'était perdu, et on plaça à la fin un vingt-septième symbole emprunté à l'alphabet phénicien. Par conséquent les lettres de a à 1 désignaient respectivement les nombres de 1 à 10 ; les huit lettres à la suite représentaient les multiples de 10, de 20 à 90 ; et les neuf dernières lettres s'employaient pour 100, 200, 3oo, ...,etc, jusqu'à 900. Les nombre* intermédiaires, tels que 11, 12, étaient représentés comme les sommes de 10 et de 1, de 10 et de 2, c'est-à-dire par les symboles i*', t£\ On avait donc ainsi une notation permettant d'écrire tous les nombres jusqu'à 999, et, au moyen d'un système de suffixes et d'indices, elle avait été étendue de façon à donner tous les nombres jusqu'à 100 000 000.

Il n'est pas douteux que les résultats étaient obtenus tout d'abord avec l'aide d'un abaque ou de quelque méthode mécanique semblable, et que les signes n'étaient usités que pour conserver trace des résultats ; l'idée d'opérer sur les symboles eux-mêmes est d'origine moins ancienne et les grecs ne s'assimilèrent jamais bien cette façon d'opérer. Le caractère stationnaire de l'arithmétique grecque est peut-être dû en partie à leur malencontreuse adoption du système alexandrin, qui ne leur permettait que l'emploi de l'abaque pour bien des applications pratiques ; ils suppléaient à l'insuffisance de l'appareil par une table de multiplication qui s'apprenait par cœur. Les résultats de la multiplication et de la division des nombres autres que ceux donnés par la table auraient pu s'obtenir avec l'abaque, mais, en fait, ils étaient généralement déterminés par des

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additions et des soustractions répétées. Ainsi, jusqu'en 944, un mathématicien qui avait besoin dans un de ses écrits de multiplier 4oo par 5 employait l'addition pour obtenir le résultat. Le même auteur avait-il besoin de diviser 6i52 par i5, il essayait tous les multiples de i5 jusqu'à ce qu'il eut trouvé 6000, ce qui lui donnait 4oo avec i5a pour reste ; il essayait encore tous les multiples de 1 5 jusqu'à ce qu'il eut ido, il obtenait ainsi 10 avec 2 pour reste. La réponse était donc 4oo plus 10, soit 4 10, avec le reste 2.

Cependant quelques mathématiciens, tels que Héron d'Alexandrie, Théon et Eutocius employaient, pour effectuer la multiplication et la division, une méthode qui peut être considérée comme identique, en substance, à celle en usage de nos jours.

Ainsi, pour multiplier 18 par i3, ils procédaient comme il suit :

tY X iîi = (1 4- i) (1 -H rt) i3 x 18 = (10 -h 3) (10 -4- 8)

= l(l~l-lrl)-+-Y(l-+-ri) = 10(10-4-8) -t- 3(io-t- 8)

= àft = 234

Nous pensons que la dernière opération, dans laquelle il s'agissait d'ajouter quatre nombres, s'effectuait avec l'abaque.

Mais ces hommes étaient exceptionnellement doués et nous devons nous rappeler que pour tous les besoins ordinaires, l'art du calcul consistait uniquement dans l'usage de l'abaque et de la table de multiplication, tandis que le mot arithmétique était réservé aux théories des rapports, des proportions et des nombres.

Tous les systèmes que nous venons d'exposer brièvement étaient plus ou moins grossiers et ils ont été remplacés chez les nations civilisées par le système des Arabes, qui comprend dix signes ou symboles, à savoir neuf pour les neuf premiers nombres et un pour le zéro. Dans ce système tout nombre entier est représenté par une suite de signes, chacun d'eux désignant le produit du nombre spécifié par ce signe par une puissance de 10, et le nombre étant égal à la somme de ces produits. Ainsi à l'aide de neuf symboles auxquels on attribue une valeur locale, c'est-à-dire dépendant de la position de chacun d'eux par rapport aux autres, et d'un dernier symbole pour zéro, on peut représenter un nombre quelconque dans le système de numération décimale. L'histoire des développements de l'arithmétique basée sur ce système de notation sera étudiée plus loin dans le chapitre xi.