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seconde> c'est-à-d^e supposant un cerde dont le rayon fut au ni<Hns de 4 9^o ooo ooo d^mi* diamètres de la terre , on ne se tromperait pas d^ Vépaisseur d'un obeyeu aur cette immense circonférence ^'^ Mais que dis-je ? le rapport donné par Ludolph Van Ceulen, rapport compose seulement de trente-cinq cbifires, est déjà plus que suffisant pour préyemr cette eirtnr. Néanmoins^ quelle disproportion de.reiactïtude de l'un avec celle de l'autre I Les plus communes notions de l'Arithmétique suffisent pour en donner une idée.

Si Vbistoire des efforts que le problème de la quadrature du cerclie a occ^sionéa, n'était que celle des pjgmées en Géométrie qui Tont entrepris i elle mériterait bien peu la curiosité des lecteurs; mais les tentatives des géomètres anciens et modernes^ pour qui cette recherche a été quelquefois le motif d'autres découvertes très intéressantes , ou qui , d&espérant d'atteindre précisément au but, se sont boitiés à en approcher de plus en plus , à l'aide de certaines méthodes fort ingénieuses; ces tenta-

(0 Le deim-diainètre de la terre est de i633 lieues de 20OO toises ou 6366 kilomètres.

tives, clrH^> nous présentent des traits dignes d'attention : ce sont proprement les seules dont il sera question ici. Le temps m'est trop précieux pour avoir donné un seul instant à déterrer Cfuelque ridicule auteur de quadrature; si j'ai parlé de quelques-uns d'eux dans un chapitre à part^ c'est uniquement de ceux qui se sont présentés à moi dans le cours d'autres recherches.

Quelque peu dignes que soient ces hommes singuliers d'occuper le loisir d'un écrivain judicieux^ je ne puis résister à l'envie d'en tracer un portrait^ qui sera avoué de tous ceux qui ont eu occasion de traiter avec eux.

Trois sortes de personnes travaillent à quarrer le cercle avec une pleine confiance en leurs succès. Je comprends dans la première classe ces gens qui^ sans avoir la moindre connaissance de la Géométrie^ ni des moyens qu'elle emploie dans ses recherches^ s'enga*gent dans celle de la quadrature , sans savoir presque en quoi consiste l'état de la question. On les voit proposer^ avec une assurance qui excite la pitié ^ de grossiers mécanismes^ incapables même , quand on les admettrait^ de conduire à des à peu près de quelque exactitude. Celui-ci entoure le cercle d'un fil délié,

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et pense avoir par ce moyen la circonférence arec la dernière précision. U y en a qui^ après cette belle opération ^ partagent ce fil en quatre parties égales^ pour faire d'une d'elles le côté d'un quarré qu'ils prétendent égal au cercle. Us ignorent cette vérité, que la Géométrie démontrait presque encore au berceau , savoir, que, de toutes les figures d'égal contour, le cercle est celle qui renferme le plus d'étendue. On en trouvera qui proposeront de faire rouler un cercle sur un plan bien uni, ou d'en peser un, formé d'une matière bien égale et uniformément épaisse, contre un quarré de même matière; et j'ai vu souvent de ces gens, dont toute la Géométrie consistait à mener mécaniquement une perpendiculaire ou une parallèle, faire, après bien des mystères, l'ouverture de quelqu'un de ces ridicules moyens de quarrer le cercle , et insulter ensuite, par un souris moqueur, aux géomètres qui n'avaient pas su les imaginer.

Il y a d'autres chercheurs de quadrature qui , un peu plus instruits dans la Géométrie, semblent ne s^en servir que pour s'égarer dans un labyrinthe de paralogismes. Les premiers dont j'ai parlé , gens du moins peu incom* modes, se contentent avec une espèce de sa-^

lO PRÉFACE

tiafactioa philosophique d'être en possession du secret; mais ceux de la seconde classe ne manquent guère de £sitiguer les géomètres^ et surtout les académies^ par leur importunîté à solliciter l'examen et le jugement de leur prétendue découverte ; ils la portent de tribunal en tribunal^ c'est-à-dire d'académie en académie; de celles de la province^ car elles ont souvent des quadratures à examiner en premier ressort, à celle de la capitale. Ils se plaignent avec amertume d'une espèce de déni de justice, quand on refuse de les écouter, et ils manquent rarement de récuser leurs juges, ou de les prendre à partie s'ils en sont con* damnés ^'^. Vainement viendra^-t-on quelquefois à bout de leur montrer la faiblesse de leurs raisonnemens : bientôt l'édifice est réparé ;,bien« tôt engagé dans un dédale aussi tortueux que le premier, notre pauvre quadrateur vient de nouveau harceler son juge : heureux celui-ci, quand il peut promptement l'obliger à le récuser et à le citer devant le public, en lui

^0 En 1778, un quadrateur fit assigner VAcadémie des Sciences devant un tribunal de justice : celui du Châtelet de Paris.

DE l« AUTEUR. II

dévoiiant sa découverte. Une espèce de fyiàr* lit e semble avoir ordonné que tous ceux qui se persuadent une fois d'être ' en possession de la quadrature du cercle , vivront et mourront dans cette persuasion intime. C'est une manie qui y pire que celle du héros dé la Manche , ne les quitte pas même dans leurs derniers mpmens ; il n'en est aucun qui manque d'en appeler au jugement dune postérité plus équi-^ table^ à moins que^ de mauvaise humeur contre leur siècle , ils n'aiment mieux s'en venger en cachant leur secret. « Ingrats contemporains , j) siècle barbare ! s'écriait un d'eux dans ses » damiers instadd , je toulais vous enseignés » la plus belle découverte qui ait jamais été » faite.,, je Y.Qulais.vous désabuser des erreurs » grossières dont vous portez le joug I vous » m'avez rebuté : hé. bien^ je sortirai de ce j» monde sans l'éclairer. » Effectivement , il mourut sans faire part de son précieux secret, et les géomèitres n'ont pas eu la complaisance de le f egrètter.

Il y. a une troisième espèce de'quadratéurs, plus singuliers encore, mais moins inconw modes, en ce que leur manière de penser a bientôt terminé l'examen de leur découverte.

Ce sont ces esprits dune trempe, ce me sem-*

ble^ inconnue aux siècles passés, qui savent se jouer des principes les plus évidens de la Géométrie , qui ont le courage de heurter de front les axiomes du sens commun. M. Liger^ je ne le nomme que parce qu'il s'est nommé si souvent dans les Mercures et ailleurs; M. Liger TOUS dira, avec une grande assurance, que le tout n'est pas plus gi^and que la partie ; que la racine quarrée de 288 est exactement la même que celle de 289 ; que 5o a la même racine que 49? ©te. Il fera plus, il entreprendra de vous le prouver par un mécanisme à peine capable d'en imposer à l'artisan grossier qui le pratique. Il établit enfin une Géométrie toute nouvelle sur les débris de l'ancienne. Prétendre désabuser des esprits de cette espèce , c'est vouloir perdre son temps : quand on est venu à un pareil excès de rêverie , on a perdu le droit d'être frappé de l'évidence.

J'ai souvent remarqué avec surprise combien peu ceux qui se livrent à rechercher la quadrature du cercle , ou qui croient la posséder, sont instruits de ce que les géomètres ont trouvé sur ce sujet ; à peine connaissent-ils les plus simples approximations ; et , à coup sûr, la manière dont on y est parvenu leur

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est absolument inconnue; car il est mëtaphysiquement impossible que , les connaissant ^ on se fasse illusion : aussi leur ignorance à cet égard est extrême; j'en appelle au témoignage intérieur des quadrateurs ^ sans doute en grand nombre , qui liront ceci.

Cette remarque m'a porté à croire qu'un moyeu peut-être ejfficace de diminuer le nombre de ceux qui s'adonnent à cette recherche, était de rassembler, sous un même point de vue, les décou^vertes réelles de la Géométrie sur ce problème fameux. U est, en effet, à présumer que , si les vérités qu'on a exposées plus haut et plusieurs autres qu'on développe dans le cours de cet ouvrage, étaient plus universellement connues, on verrait moins de ces malheureuses victimes d'une entreprise mal réfléchie. A la vérité, j'espère peu de ceux qui ont déjà résolu le problème; la plupart sont dans la disposition prochaine de nier les vérités les mieux établies, dès que la contradicdiction les y conduira. Le coup est porté , et l'on peut leur appliquer ce vers d'fforace^

Et tribus Anticyris caput insanabile. . .

{Ars poét* p T. 3oo.)

Mais je ne doute point que cette histoire ne

soît propre à préserver du même travers ceuit qui n'ont point encore l'esprit préoccupé* Elle pourra aussi servir à rendre le repos à quelques personnes de bcmne foi j qui^ privées des moyens de s^înformer de œ qu'on a déjà jfàit, s'épuisent en efforts inutiles. Les gens sensés à qui la* Géométrie est peu connue , pourront prendre ici une connais^oice exacte de la question , et porter un jugement sain et équitable sur les prétentions de ceux dont la vaine confiance pourrait peut -être leur en imposer.

Pour écarter enfin cette foule de quadratevrs qmi 4^bsèdent '^s académies ^ ne pourrait-*op pas les o!bliger,k s'instruire ici,» comme par un préliminaiire ^ des vérités reçues, de l'aveu unanime des géomètres-, sur la grandeur du cercle ? Les réduisant par ce moyen ou à les contester ou à lefi admettre, ils seront, dans le premier cas , indigna d'être «contés; et, dans le second, la conviction intime de leur erreur sera peut-être bien prochaine : je dis peutêtre, car je n'oserais l'assurei' : l'ignorant, de même que l'homme de mauvaise foi , sait se ménager mille ressources que tout autre n'aurait jamais imaginées.

J'ai enfin pensé que cette suite de découvertes sur la mesure du cercle, rassemblées

DE l'aCT£UR. l5

SOUS le même point de vue y pouvait former un spectacle propre à flatter la curiosité des géomètres. Plusieurs d'entre elles méritent l'attention des plus habiles^ comme tenant de près au développement et à la perfection que la Géométrie a reçue dans le dernier siècle.

Cest ce que l'on verra dairement dans le cba^ pitre ÏV, ou j'expose les inventions successives àe fVàUiSj Brouncher, Newton; inventions toutes liées ensemble et aboutissant au calcul intégral et a plusieurs autres méthodes analytiques de grande importance.

L'utilité qui parait devoir résulter d'un ou<^

yrage de cette nature^ et l'agrément qu'il pré-

sente pour ceux qui sont un' peu curieux de

comiâltre ^les pas de l'écrit humain , avaient,

cesemble> friq)pé avant moi un analyste habile

ÇAé^de Lagnj) t\e Oommerciumphilosophicum

eimathemaiicùm^^f^ entre Leibnitz et 5er-

noûUiy nous apprend qu^i} l'avait projeté. 'Ce

géomètre, leiléau dés quadratêurs de son temps,

était' eix état dé remplir parfaitëmient cet objet,

et y ai été surpris de. voir que M. Leibnitz, dans

le même recueil de lettres, semble se défier de

C«) Pages 3oo, 3o2, II* voL

$a capacité y et craindre qu'il ne donnât qu'un ouvrage imparfait^ à moins qu'il ne le lui communiquât ou à M. BemouUL J'ai recherché quelle pouvait être la cause d'une défiance si mal fondée > et je pense l'avoir trou-» vée. Leibnitz craignait apparemment que M. de iMgnjr n'ajoutât trop de foi à ce qu'il appelait les calomnies des Anglais ^ au sujet de ses découvertes dans les nouveaux calculs, dont l'une est la quadrature du cercle exprimée par une suite infinie de nombres; découverte dont il fut pendant long-temps fort jaloux^ et que les Anglais l'ont accusé d'avoir empruntée de Gregorjr. D'un autre côté, M. de Lagnjr^ quoi-* que connaissant les calculs de l'infini, fut tou« jours un de ceux qui négligèrent avec affectation d'en fedre usage ; et peut-être , à cet égard, était-il à craindre en effet qu'il ne leur rendit pas toute la justice qui leur était due. Je saisis cette occasion de. justifier un autre acadé-^ micien encore vivant , qu'on voit traité dans le même endroit avec autant d'injustice ^')* Celui-ci méritait encore moins d'être enve--

CO C'est Nicole : il était né en i683 et mourut en