DB L AUTEUR. • I

loppe dans ce jugement précipité, qui n avait aacun fondement, si ce n'est que Fun et l'autre de ces académiciens n'étaient point connus de Leibnitz. Mais comment le dernier Faurait-il été, puisqu'il ne Ësiisait alors que d'entrer dans la carrière de la Géométrie? Les sayans mémoires qu'il a donnés bientôt après dans les recueils de l'Académie, et qui prouvent qu'il était dès lors également versé dans l'une et l'autre analyse , auraient non-seulement calmé les craintes de Leibnitz, mais lui auraient attiré son estime.

Je n'ai rien dit, dans le cours de cetOu*vrage, de l'auteur de l'étrange prospectus et de quelques autres pièces de la même nature , qui nous annoncèrent l'été passé la quadrature du cercle. Far égard pour son nom et ses autres qualités qui le rendent estimable à ceux qui le connaissent, en même temps qu'ils le plaignent de sa manière de penser, qui n'a peut-être jamais eu d'exemple, je voulais me taire sur la singularité de ses prétentions, malgré le bruit qu'elles faisaient dans le monde. J'espérais que quelques amis ou versés , ou du moins plus instruits dans la Géométrie, le remettraient sur la voie de la vérité; mais la publication de sa prétendue quadrature, dans un

l52 HISTOIRE OE LA QUADRATURE

il n'y avait qu'à en extraire la racine quarrée par le procédé ordinaire : seulement, de même que dans les extractions de racines des nombres . qui ne sont pas des puissances exactes y l'opération ne se terminera pas. Par cette méthode , la plus simple de toutes , du moins dans ce cas particulier, on trouve*. • Vi — a:% comme ci-devant, égal à

i—~ — g- — ^—^-^~etc-,ce qui, suivant

la méthode de fFalliSj donne pour l'aire du

cercle la même suite x — -^ — 7- — — — etc.

Ces trois méthodes différentes, et qui conduisent précisément à la même valeur de Taire du cercle, doivent se servir de confirmation mutuelle auprès de ceux pour qui cette analyse serait trop relevée : elles n'ont pas besoin de ce secours auprès des géomètres, pour qui elles auront chacune en particulier assez d évidence. Je remets à tirer plus bas quelques conséquences et à donner quelques détails en faveur de ceux que ces vérités générales ne satisferaient pas.

L'invention des calculs différentiel et intégral, ou, comme on les nomme en Angle-

DU CERCLE. l53

terre, des fluxions etdesfluentès, succéda bientôt à ces premières découvertes sur la mesure du cercle, et en fournit de nouyelles. L'illustre Newton en était déjà possesseur en 1668. ilfercator puMiait alors sa Logarithmotechnie^ ouvrage dans lequel, comme on sait, il quarrait Thyperbole par une suite infinie, 6t en tirait la construction des logarithmes. C'est une découverte qui, dès les années i665, 1666, était familière à Newton ^ inconnu encore et ne cherchant point à se faire connaître j car il raconte qu'il s'amusa alors à calculer les logarithmes par la quadrature des aires hj^perboliques. Pudet dicere^ écrivait-il à Oldenburgh^ en 1676, ad quot Jlguranan loca has computatianes otiosus eo tempore perduxL Nom tune sane mmis delectabar inventis hisce.

La publication de Touvrage de Mercator^ qui aurait excité un autre à divulguer tant de découvertes, faillit au contraire à déterminer Newton à supprimer toutes les siennes. U se persuada que Mercator, après avoir trouvé la quadrature de l'hyperbole, 1^ tarderait pas à rencontrer celle du cercle, ou que, si elle lui échappait, d'autres étendraient sa découverte et l'appliqueraient à cette courbe. Il n'y avait en effet qu'un pas à faire, et y,n pas en appa-

lS4 HISTOIRE BE Lk QUADRATURE)

rence peu difficile ; mais ce n'est pas \k le seul exemple dans l'histoire des sciences, où l'on voit une découverte manquée par celui -«là même qui l'avait amenée à sa maturité. Newton enfin ne croyait pas ^re encore d'un âge assez mûr pour écrire : trait admirable et unique de modestie dans un génie si supérieur I Qu'il de* vrait être gravé dans l'esprit de ces hommes dont les ouvrages prématurés annoncent la té" méraire entreprise d'instruire le public de ce dont ils ont à peine une légère teinture I

Ce ne fut que sur les instances de Barrow que Newton se détermina à communiquer ses découvertes analytiques. Bavrow était venu à connaître sur ces entrefaites cet homm^ rare, et il en avait senti tout le mérite ; car il était luî^ même homme de génie et grand géomètre.

Newton lui remit, aussitôt après la publication de la Logaritkmotechnie de Mercator^ un écrit intitulé jénaljrsis per (Bquationes numéro terminorum infinitaSj qui fut euToyé à CoUins, le Mersenne de l'Angleterre^'^ Dans ce traité, inaprimé dans le Commercium epistolicum^ sur la copie de ColUns^ collationnée au manuscrit de

^') On sait que celui-ci était en correspondance avec presque tous les sa vans de son temps.

DU GfCRGLB* l35

Newton j on UtmT6 presque tdut le «tdcul ttioderne : les quadratures et les rectifications des courbes, soit de celles qui ett sont susceptibles en termes finis, soit de celles qui ne les ad-mettent qu'en suite infinie ; la formation de cift suites, leur retour, l'extraction des racines, la résolution approchée des équations de tous les degrés; le principe enfin du calcul des fluxions et des fluentes, qui j est clairement énoncé et déduit du mouvement ^t i4 du Comm. episi.f pu Newtoni Opuscula, 1. 1, p. 18). Une exposition plus détaillée de toutes ces découvertes appartient à une histoire particulière de l'Analyse. On se bornera ici à ce qui regarde spécialement la metoredu cercle^ que Newton, dans cet écrit, perfectionne de bien des manières^ 11 j enseigne à trouver indéfiniment la grandeur de Tare, soit par la connaissance du sinus verse, c'est-h-dire de l'abscisse commençant à l'extrémité du diamètre, comme AD (Jig. 19), soit par celle du sinus droit ou de l'abscisse prenant son origine au centre. II en hh de même de l'aire; ainsi, supposant le rayon du cercle égal à I, Taire du segment BCDE, qui rép4>nd à rabscisee;r ou CD, est égade à l'expression x^ âfi a^

l36 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

et l'arc BE est égal à la suivante,

JC+7f+-r-+ h etc.

^^ 6 ^^ 40 ' lia '

Au reste , les coefficiens 5,7-, — f etc. sont ' 6' 4^' 112'

équivalens à ±^, ^, ^|^, etc. , ce

qui donne le moyen de continuer la progrès-sion. Mais si Ton yeut la grandeur du segment ADE , nommant AD=a:^ et le rayon i, sa valeur est

j/xp4 o£^ x^ 3x^

qui, à partir du troisième terme ^ présente une loi facile à saisir^ si Ton observe que le dernier facteur du diviseur va toujours en doublant.

Les dénominations restant les mêmes, ta valeur de Tare AE est

On peut enfin ^ par la méthode du retour des suites^ trouver la grandeur du sinus » soit verse^ soit droite étant donné Tare ou Taire. Newton en offre quelques exemples : lare AE étant z^

DU CERCLE. l5j

le rajron i^ le sinus verse AD est égal à la

suite

JS' z* , z^ z*

ou — — -.-1 ■ "/ o +etc>y

et le sinus DE à celle-ci :

H est aisé d'apercevoir que les diviseurs numériques sont ici les produits successifs à. 5, a.5.4*^> 2.5.4.5.6^7, etc.

Les découvertes de Newton ayant été publiées et communiquées à divers géomètres, par l'entremise de ColUnSj celui qui se hâta le plus d'y ajouter, et qui le fit le plus heureusement, fut Jacques Gregorjr/ c'était un géomètre de grande espérance, un homme à( seconder Neivton, si la mort ne l'eût enlevé à U fleur de son âge. Il l'avait précédé dans l'invention du télescope catadioptrique , et il marché de près sur ses traces dans quelques-unes de s^s découvertes analytiques.

l58 HiSTOniE OB IiA QUADRATURE

A petiprès dans le loéme temps que J^îm^ton se disposait à répondre aux instances àeBarroWy Gregorjr puUiait dans ses Exercitationes Geometricm, une suite infinie pour exprimer Taire du cercle : cet ouvrage parut peu après celui de Metcator. La suite de Gregor/ est celle-ci r

^^~3 ""g^^TSêJ*"" i"T34S55î""74844oo^/*""®^^'

Le rayon est désigné dans cette expression par r; €2 est k moitié du côté du cpiarré inscrit, et à la différence du rayon ayec œ c6té ^'\ Cette suite converge asses rapidement ; elle n'a que le désavantage d'être formée de termes un peu compliqués, et dont on n'aperçoit pas la loi.

Gregorjr fut bientôt informé par Collinsj de la découverte de Netvton^ sur l'aire des courbes, et eirt coœmtuyîcation de quelqu«s«-unes àed suites de; ce dernier; mais préoccupé de sa mé*tbode et de la smte qu'il avail trouvée , il crut d'tfbcvd que eeUes de Newton devaient avoir la même origine,. ce qui les lui rendit moins re-narquables; Voyant même qu'elles ne se rïip-' portaient point au<x sienne», il conçut quetqn^ doutes s» leixr légitimité ; mais ce ne M

(0 Commercium ^isêtàcum^ p. 3gK4^

mr GBUGLB. tSg

qu'un sentmientpasdager^ aaqoet meeëda bien* tôt celui de la justice que méritaient les iirren*tions de JVewtçn. Non -seulement Gregorjr s'assura de leur vérité ^ mais à l'aide d'une profonde méditation^ il parvint à découvrir la méthode que Newton s'était fiMtnée. On lui rend ce témoignage dans jJn^eurs endrcnts du Commereîum epist. ^\ Il t^nvoya bientôt après à Collms la suite pour exprimer l'arc par la tan-»

gente, savoir, a^t-^ ^ + ^^^^+eic.,

où ^ est la tangente 9 r le rayon » et a Faxc cherché. Cette suite ^ l'une des pkis élégantes par sa simplicité et la régularité de la loi de ses termes ;r est^ tout compensé, celle qui, maniée avec adresse ^ fournit les approxima* tions les plus commodes. Gregarj donna, aussi des suites pour exprimer, par lare, la tangente et la sécante , et même pour en tirer ioimé-* diatement leurs logarithmes* La rectification de Tellipse et de l'hyperbole, en suites infinies^ que Collins ne lui avait point communiquée, était aussi de ce nombre. Je n'ai fait mention de ces dernières découvertes ,, étrangères à mon suj^et, que pour justifier les éloges que j'ai

l4o HISTOIRE DE Là QU^ADRATURE

donnés à ce grand géomètre : j.e reprends le fil de mon histoire^

On doit reconnaître^ et c'est une vérité dont le Commercium epistoUcum fournit des preuves, que toutes ces nouveautés brillantes d'analyse prirent naissance en Angleterre^ et que les géomètres du continent y eurent alors peu de part : ce fut seulement quelques années après (en 1674) que Leibnitz trouva sa suite pour le cercle, savoir, i — f + j -— -^H- etc. , le diamètre étant l'unité. On ne peut disconvenir que cette suite soit la même au fond que celle de Gregorjr^ qui trouvait (faisant le rajon = 1 et la tangente aussi = 1) la même expression pour le demi-quart de cercle, ou Tare de 45* j cependant plusieurs circonstances doivent écarter l'imputation de plagiat intentée à ce sujet contre Leibnitz.

i*. Cette découverte est chez lui une suite de la méthode de transformation qu'il avait imaginée pour débarrasser l'expression de l'ordonnée du cercle de l'irratîonnalité qui l'accompagne, afin d'y appliquer le développement de Mercator. Cette méthode, exposée au long

DU GEBGLE. l4l

dans le cours SOzanam^ avait été comnrani*qaée aux géomètres vers Fan 1674* Leibnitz s'est plaint plusieurs fois du silence de cet écri-» vain sur l'auteur de cette ingénieuse invention^ dont on serait ainsi tenté de (aire honneur à Ozanamj si l'on ne savait que ce mathématicien était d'une classe bien inférieure à celle des analystes dont il est question ici.

a^. La bonne foi de Leibnitz parait évidem* ment dans les lettres qu^l écrivait sur cela à Oldenburghj en 1674^ ^t dans lesquelles il lui faisait part de sa découverte avec une sorte de transport ^''^ Croira-t-on qu'il eût été si peu fin que de tenir un pareil langage s'il l'avait reçue de CoUins ou d'Oldenburgkj comme on l'a prétendu faire soupçonner? Les réponses de Collinsle lui auraient bien rappelé; mais ce secrétaire de la Société royale de Londres se contente, au contraire, d'informer Leibnitz, comme pour la première fois, des progrès que Newton et Gregory avaient faits dans l'analyse. Ces raisons me font penserqu'il y aurait de Tinjustice à dépouiller Leibnitz de cette décou-^ verte, comme ont voulu faire quelques partisans trop zélés de la gloire de la nation anglaise.

<*) Comm, epiêt. , p. 87.

l4t HISTOIRE OS Là QUADRATURE

Newton j plus équitable > et sachant que ce qui s'était pr^nté à Gregotj pouvait aussi avoir élé trouvé par Leibnitz au-^delà des mers, ne fait poiot de difficulté de l'appeler la suite dé Leibmiz^*\ Celuv^ avait eu dessein de la pu-^ blier dans un traité particulier qu'il se pro* posait d'intituler Qmubttiura wUhmetica^ il est souvent parlé de oe projet dans le Com^ mercium epistoUcum. Sans doute , lorsque Leibnitz fut en possession de plus grandes découvertes, celle-ci ne lui parut plus asses remarquable pour en faire la matière d'un ouvrage : il en donna le précis dans les Actes de LeipsiCj année 168^ (p. 4i)> sous le titre de De verà proportione circuU ad quadratum cir^ cumscriptum in nwneris rationaUbus.

Les raisons que je viens de présenter pour disculper Leibnitz de l'accusation de plagiat intentée contre lui, recevront un nouveau poids de la remarque suivante : c'est que la découverte dont il est ici question semble n'avoir pas été d'une difficulté si grande^ qu'elle ne

^•) Comm, epist. , p. 79, et ailleurs.

B|} GBRCIiB* l4^

se soit présentée en même temps à divers géomètres. Elle n'a point échappé à de Lagny, si nous l'en croyons lui-même : il nous assure, dans les Mémoires de tAcad. de 17 19 (p. 144) qu'il avait trouvé, dès l'année 1683, la même suite, nullement informé encore de ce que Gre^^ gory et Leibnîtz avaient fait à ce sujet; et l'on n'en sera point surpris , car cette année-*Ià est la première où fut publiée la suite en question dans les Actes de Leipsic. DeLagnjr^ alors à Toulouse, ne pouvait que difficilement avoir connaissance, soit des lettres de Leibnîtz et de Newton^ toujours restées entre des mains privées, soit de ces journaux que l'Allemagne voyait tout nouvellement paraître. Ajoutons à cela que la méthode de de Lagny^ de même que celle de Leibnitz^ dont elle diffère cependant, donne du poids à ce qu'il dit; car elle parait avoir été imaginée dans les mêmes vnes, je veux dire pour éviter llrrationnalité, qui seule empêchait d'appliquer au cercle la méthode de division de Mercator^ la seule encore connue pour quarrer les figures. Si de Lagrtjr a pu faire cette découverte, ne sera-t-il pas vraisemblable que LeibnitZj qui a donné des preuves d'un génie fort supérieur. Tait aussi faite dans les mêmes circonstances ?

l44 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Depuis que le calcul intégral a fait des progrès parmi les géomètres , rien n'est plus connu que les différentes expressions qu'on vient de donner du cercle et de ses parties : il ne ùluI qu'être initié dans ce calcul pour les trouver. On ne s'attachera donc point à les développer ici par son moyen ; ceux qui l'ignorent peuvent consulter les ouvrages qui en ont traité : voici seulement quelques expressions du cercle, qu'on n a pas pu faire connaître dans le cours de la narration précédente.

Si la corde d'un arc est x, le diamètre i. Je segment est égal à

Cela est aisé k démontrer, soit en le tirant immédiatement de l'expression du petit triangle

ABC (Jig. 20), qui est —7= soit en le

dérivant de la suite qui exprime le demi-segment ADE^ la demi-corde A£ étant =: ^x.

On a donné précédemment, d'après Leibnitz et^negon, la suite i — i-^-j— i^-etc^pour l'expression de Tare de 45% ou de l'aire du quart

de cercle, le rayon étant i. Newton a teonvé que la suite i + j — i--i+i+ i— etc., exprimait aussi l'arc de 90% la corde étant l'unité, et le rayon étant conséquemment U--

Voici encore une autre manière d'exprimer l'aire du cercle. Que le diamètre soit 1, et la tangente «==i, l'aire de tout le cercle sera la somme de ces trois suites:

'—3 + 5— 7-»- 9— etc.,

* + 3 — 5 —T + g^-etc., <*-3-f-j-etc.co

Je passe à présent a montrer l'usage de ces expressions^ qu'on n'a encore envisagées que d'une manière générale.

. B est d'abord évident que chacune de ces suites fournit un moyen commode pour trouver la grandeur approchée de tout segment, de tout secteur, de tout arc de cercle , lorsque la valeur de l'indéterminée qui lui convient

^*) Commercium epùtolicuTn, p. 77 et 79.

l46 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Mra aisez petite pour faire converger la suite rapidement : je vais m^expliquer par un exemple. Que Ton demande Taire du segment BCDE C%- ^9)^ ^^ Tabcisse n'est qu une petite partie, par exemple un tiers du rayon ; alors la suite qui convient à ce cas ^ savoir,

h'^-TX'5'^~^^-

se réduira à I I

ou f-.i-^-«*'^-

Or il est visible que les deux premiers termes seuls donnent la grandeur de ce segment à moins d'un 9000* près. Ainsi, le plus souvent, un très le'ger calcul approche extrêmement de la vérité ; et dans d'autres cas moins avantageux, l'emploi de 4» ^ ou 6 termes suffira. Je ne m'arrête pas davantage à ceci ; dans d'autres cas où la suite ne serait paâ fort convergente, oa pourra même éviter la peine de sommer Un nombre médiocre de termes : 11 y a des méthodes que l'on indiquera, et par lesquelles on convertit une suite peu convergente en une autre qui Test beaucoup.

DU GEBGLE. \fyj

Lorsque Ton a voulu obtenir par ces suites, de grandes approximations de la valeur entière du cercle, on a cherché, pour diminuer le travail , les cas les plus avantageux pour les faire converger* Si voulant , par exemple , exprimer l'aire du quart de cercle , on s'était contenté de donner à l'abscisse x la valeur t qui lui convient alors, dans la suite •

oc — ^3(? — 7-ar*— — jc'— etc. , on aurait eu 64^ 112

I — g — 7- — — — etCi , qui est en eflFet la

vraie grandeur du quart de cercle. Mais comme cette suite converge peu , il faudrait sommer • un grand nombre de termes , peut être trente ou quarante, pour en tirer une approximation seulement en dix décimales; au lieu qu'en faisant x égal à ■^, le travail est considérablement abrégé ; car alors Tare BE étant le \ du quart de cercle, si de la valeur de BCDË on ôte le triangle CDE connu, le reste, savoir, le secteur BCE, triplé, sera le quart de cercle. Or la valeur de BCDE converge assez rapidement pour la trouver sans beaucoup de peine;

car la suite x — —5 — ^ , fC ^ \ a ^ — etc. ,

l48 mSTOlRB DE LA QUADRATURE

lorsqu'on fait jp= -^ se convertît en -— — 5-^

, ^ ^ ■ — r-â Q— etc., qui estcom-

posée de fractions assez sensiblement dëcrcns^

santés.

On s'engagerait au reste dans d'étranges calculs , si l'on entreprenait de sommer ces fractions à la manière ordinaire : la méthode des fractions décimales en diminuera considérablement la fatigue.

Cependant cette méthode elle-même ne suffirait pas^ si l'on n'usait encore de quelque adresse pour s'épargner quantité d'opérations superflues. En effet , en calculant chaque terme de la manière qui se présente d'abord , il fau- . drait, après avoir trouvé le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, augmenter le numérateur d'un certain nombre de zéros, et puis diviser par le dénominateur, qui bientôt serait composé d'une multitude de chiffres. Or, on voit aisément combien ce procédé serait laborieux et incommode; au lieu qu'avec un peu d'attention, il se pré^ sente un moyen de l'abréger considérableçient. Ce moyen consiste à mettre la suite proposée sous une autre forme, dans laquelle

chaque terme se déduit du précédent^ en Taffectant d'un coeiBcient dont la progression est facile à apercevoir. Ayant, par exen^ple, nommé le premier terme négatif A, le second

est = , ^ , , comme il est aisé de le vérifier 4.5.4'

en mettant au lieu de A sa valeur; nommant ensuite fi ce second terme, le troisième

devient C= -^—jf et le quatrième D = g^^»

de manière que la suite entière parait sous cette formé :

2 2.6.4 4-54 6.7.4 8.9.4 io,u.4 — • etc. ,

où il suffit de la plus légère inspection pour la continuer à rinfîni.

Supposons donc à présent qu'il s'agisse de déterminer avec 9 décimales , Taire du quart de cercle , comparée au quarré du rayon ; nous emploierons pour cela la suite préparée comme l'on vient de voir, où l'abscisse % a été faite = \y afin de trouver le segment BCDE. J'ai calculé en particulier chaque terme jusqu'à 13 décimales, afin d'être assuré que la neuvième du résultat est exacte. Nous aurons donc d'abord ^=so,5oooo 00000 00 et ^

l5o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

:s o,03o83 33333 33 ; ensuite multipliant ce nomlnre par 3 , et le divisant par le produit de

4*5, 4f ou 8o, on a pour quotient

0,000781249999» ^c même, multipliant celui-ci par i5 et divisant par 168, on trouve le terme C=: o, 00006 97544 64 > et ainsi à Tégard des autres; on range enfin tous ces termes, affectés du même signe, dans une colonne, comme on le voit ici

B=z Cs D = E = F =

igaS 68

Otons la somme de ces termes, 002169 etc.

DU CERCLE. l5l

4e ^f pu o^5ooo etc., le reste sera

0,4785057587 54; mais il faut retrancher de là le triangle CDE, dont Taire est e'gale à

Wl ^^ 4V5 = o,2i65o655o946. La soustraction faite, on trouve 0,261799387808, pour la valeur du secteur BCDE, qui, multipliée par 5 , donne pour le quart de cercle 0,785598165424, le quarré du rayon étant 1,000000000000. Or, cette expression, qui excède un peu la vérité , parce que dans tous les termes négatifs le dernier chiffre est moindre que le véritable , quoique de moins d'une unité; cette expression , dis-je, coïncide avec celle de Ludolph jusqu'au dixième chiffre inclusivement : car la raison du quart de cercle au quarré du rayon est la même que celle de l'arc de 45** au rayon; par conséquent l'arc de 45® est exprimé par le nombre ci-dessus; donc en le quadruplant on aura la demi-circonférence comparée au rayon, ou la raison de la circonférence entière au diamètre. Or ce nombre multiplié par 4 est 5,i4i59 26556 96, ce qui convient avec le nombre de Ludolph jusqu'au onzième chiffre , qui est un peu trop grand dans cette expression , par la raison que nous en avons donnée plus haut.

iSs HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Mais si Ton voulait avoir une eicpression certainement au-dessous de la vérité y pour la comparer à la première, et être plus assuré des vraies limites de la circonférence, on l'aurait aisément en supposant les onze derniers termes de la suite ci-dessus augmentés d'une unité; à Tégard des deux premiers , le peu dont iis s'écartent de l'exactitude , par défaut , ne saurait contre-balancer l'excès qu'on donne à tous les autres. On aura par ce moyen la somme 0,021694^61257, surpassant celle de tous les termes négatifs ; lorsqu'elle sera ôtée de \ ou o,5ooooetc.9 elle laissera nécessairement tm reste plus petit que le véritable; et achevant cette opération comme la première , on trouvera la fraction 0,785598163591, qui, multipliée par 4 9 donne pour valeur approchée de la circonférence 5, 141 59 26555 64 f qui ne pèche par défaut que dans le douzième chiffre*

On procéderait de même avec la plupart des autres suites proposées plus haut; mais en considérant les moyens d'approximation qu'elles présentent, il est aisé d'apercevoir qu'elles n'ont pas toutes le même avantage , et que la

BU CERGLB. j55

plupart sont peu propres à donner ces immenses approximations de Taire du cercle qu'on connaît aujourd'hui ; aussi ne s'en est-^ii point servi indifféremment : on a donné la préférence à celle où t étant la tangente^. Tare est

exprimé par t — ^"^"5-**""^* ®*^' ^ ^^ s'agît pour cela que d'assigner à t une valeur moindre que Tunité, en la choisissant telle, qu'elle appartienne en même temps à un arc commensurable avec la circonférence entière ; car il est visible que si l'on supposait t= i, dans lequel cas l'arc correspondant serait de 4^°, la suite se réduirait à i — j -j-^ — etc.; mais il faudrait une somme immense de ses termes pour en tirer une approximation avec dix chiffres : ainsi^ quoique remarquable dans la théorie par scm élégance, elle ne serait ici d'aucun usage. Pour l'y rendre propre, il faut faire «= v/^; l'arc correspondant sera alors de 3o**, ou la doH«zième partie de la circonférence , et la suite se transformera en celle-ci :

OÙ chaque ternie est moindre que le tiers du précédent; on pourrait même la rendre plus

l54 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

convergente en ajoutant les termes deux à deux y le second avec le troisième, le qua*trième avec le cinquième, etc. et divisant ensuite par 4 f ce qui donnerait la quarante*huitième partie de la circonférence exprimée de cette manière :

wi:

3 5 2__ctc"l

C'est ainsi que quelques géomètres Tout employée pour en tirer des approximations ; mais en comparant ses avantages et ses désavantages, on remarquera bientôt que la préparation précédente ne fait que la rendre moins commode : en effet, dans ces sortes de calculs, on doit bien moins chercher à sommer un petit nombre de termes qu'à le faire très facilementi dûton en employer beaucoup plus. Aussi cette raison a-t-elle fait donner la préférence à la première suite , quoiqu'il y faille prendre le double de termes que dans la dernière pour arriver au même degré d'exactitude , car cela est abondamment compensé par la facilité des opérations. On voit en effet qu'ayant une fois la valeur de V^, avec autant de décimales ou quelque peu plus qu'on n'en veut employer dans l'approximation que l'on cherche, il n'y a

DU CERCLE. l55

qu'à diviser cette valeur par 5, et le quotient qui en résulte par 5, et puis le nouveau quotient encore par 3 ^ et ainsi de suite; après quoi reprenant chacun de ces quotiens^ à commencer au premier qu'a donné la division de V^ > par 5, le diviser encore par 5, ensuite le second quotient trouvé ci-devant, par 5 , le suivant par 7, etc. , ainsi jusqu'à ce que dans le nombre de chiflFres auquel on s'est fixé, il n'y ait plus que des zéros. Alors prenant la somme de tous les termes positifs et celle de tous les termes négatifs, pour ôter celle-ci de la première, le reste est la douzième partie de la circonférence. Nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire de donner un exemple de ce procédé, qui doit paraître assez clair après ce qu'on vient de dire.

Ces moyens d'approximation, incomparablement plus abrégés que l'emploi des polygones inscrits et circonscrits , ont mis les modernes en état de laisser bien loin derrière eux, à cet égard, les anciens. Le nombre obtenu par Ludolphj et si renommé ayant la naissance de la nouvelle analyse , n'est plus qu'une petite partie de celui dont nous sommes aujourd'hui

l56 HISTOIRE DE Li. QUADRATURE

en possession. Voici par quels degrés on s'est élevé à rimmense nombre trouvé psLvdeLagnj^.

Le géomètre anglais, j4. Sharp j en employant la méthode précédente , la poussa jusqu'à 78 chiffres; il a communiqué son travail dans ses Tables mathématiques^*^. Machin^ de la Société royale de Londres , a prolongé l'approximation jusqu a 100 chiffres; j'ignore, à la vérité, dans quel ouvrage , mais c'est Euler qui nous l'apprend ^*\ De Lagnj enfin , enchérissant sur eux, l'a continuée jusqu'à 128; il a fait plus, il l'a vérifiée en calculant la même suite par deux voies différentes^*^, et elles lui ont donné le même résultat. Nous savons par là que

<0 Je ne connais point , sous ce titre > d'ouvrage publié par Sharp; mais ses calculs se trouvent dans les Maihematical Tables de Sherwin, les premières où l'on ait disposé les logarithmes comme ils le sont maintenant dans toutes les tables un peu étendues (celles de Callet, par exemple.) Fojr. p. 56 et suiv. de l'introduction de ces tables, 4*" ^^^^* ^ la page 64 > on trouve le rapport calculé à 100 décimales, par Machin, et dont il est question plus bas» Ce géomètre fit connaître sa méthode dans le Sjrnopsis palmariorum Ma^ iheseos, publié par William Jones.

^*) Mémoires de Pétersbourg, t. IX, p. 223.

C^) Mém. de PAcad. , 1719» p* i44*

DU CERCLE. iS'J

si le diamètre est l'unité suivie de 137 zéros, la circonférence est plus grande que lé nombre suivant ; 3 14159265558979325846:26435 85279 50288 4^971 ^599 57510 58209 74944 59250 78164 06286 20899 86280 54825 5421 1 70679 82148 6865i 52825 06647 0958446,...

et qu'elle est moindre que ce même nombre augmenté de Tunîté^'^

Mais quelque commode que soit la méthode expliquée dans l'article XVII, du moins si nous la comparons au procédé laborieux des

(p Le 1 14* chiffre du rapport ci-dessus , tel qae l'a donné de Lagny, était un 7 ; mais Vega a montré qu'il devait être remplacé par un 8 {Voj. à la page 633 de l'édition qu'il a donnée des tables de Vlac), Le même a poussé l'approximation jusqu'à la i4o* décimale , ou à i4i chiffres. On trouve dans le 4* volume de la 2* .édition de VHîstoire des Mathématiques de Montucla (p. 640), la correction dont je viens de parler, et il dit en outre que M. de Zack a vu, dans un manuscrit de la bibliothèque de Eatcliff, à Oxford , le calcul poussé jusqu'à i55 chiffres (ou i54 décimales), et qu'après le dernier chiffre 6 du nombre indiqué cidessus , il faut ajouter

l58 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

anciens, on ne peut cependant se dissimuler qu'elle n'avait pas encore atteint sa perfection lors même qu'on en faisait un si grand usage; car la suite employée par Sharp ^ Machin et de Lagnjr^ a un défaut qui en diminue beaucoup le mérite. Ce défaut consiste dans cette immense extraction de racine qui doit servir de préliminaire au calcul , à cause de l'expression irrationnelle \/^ qui multiplie toute la suite. D'un autre côté, si Ton emploie celle de 45®, elle ne converge pas sensiblement. Néanmoins , il fallait nécessairement opter entre Tune ou l'autre : car ce sont les plus simples de celles qu'on pouvait employer, toutes les tangentes rationnelles qui ne surpassent pas le rayon , n'appartenant point à des arcs commensurables avec la circonférence, et toutes celles qui appartiennent à de petites portions commensurables de cette circonférence étant extrêmement compliquées d'irrationalités. EuUr a cbercbé à donner à cette méthode le degré de perfection qui lui manquait, et il y a réussi des deux manières que je vais exposer.

La première a pour objet de délivret la suite

DU CERCLE. iSg

de Tare par la tangente , de l'irratiotinalitë qui en rend le calcul si incommode; elle est fondée sur une propriété des tangentes au cercle ^ui donne cette analogie : comme la différence du rectangle des deux tangentes a^ec le quàrrédu rayon j est à ce quarré^ ainsi la somme des tangentes est à la tangente de la somme des arcs. D en conclut que l'arc de 45% le seulcommensurable avec la circonférence^ et ayant en même temps une tangente rationnelle, se peut diviser en deux arcs dont les tangentes sont aussi rationnelles; et comme elles seront chacune moindre que Tunîté , elles donneront pour leur arc correspondant, deux suites toutes rationnelles et fort convergentes. Il est bien vrai que Tare que chacune exprimera, considéré à part, sera îùcommensurable avec la circonférence; mais cela n'importe en rien, puisque leur somme sera commensurable avec elle. Nommant ainsi la tangente de 45"* = i, et les deux

tangentes cherchées -, t, on a, suivant le théorème précédent, i= ;^if~i> ^* ^^ ^^ ^^^^Zr"> ce qui donne 2 et 3 pour les moindres et les plus simples valeurs de a et 6 : un dé ces deux arcs sera donc

l6o HISTOIRE DE Ll QU/LDBITITRE

et le second sera

3~" 373^**" 6.35~ 7.37 ^"iTSî ^^^-^

et conséquemment l'arc entier de 45* sera égal à la somme de ces deux suites.

On pourrait 9 parle même artifice^ substituer à chacune^ ou à celle qu'on voudrait^ de ces deux suites, deux autres qui seraient encore plus convergentes. Ainsi l'arc dont la tangente est 4 se partage de nouveau en deux autres , dont les tangentes sont ^ et^ ; mais cela est inutile , et deviendrait même plus nuisible qu'avantageux : car^ dans le calcul de la seconde suite^ on aurait à diviser continuellement par ^g, ce qui est moins facile que deux divisions par un nombre simple. Les deux premières suites remplissent presque tout l'objet qu'on peut se pro-* poser : car je remarque, ce qui est essentiel, que le calcul de chacun de leurs termes est peu laborieux, à quelque nombre de décimales qu'on veuille les pousser; la raison en est qu'on rencontrera le plus souvent des nombres dont les chifires seront ou. continuelle-' ment les mêmes, comme ^ = o, 35553 etc.,.

DU GEHGLE. l6l

i =: Oy âSoooo etc. , OU qui reviendront après certaines périodes; ainsi le seul travail consistera presque à ajouter les termes corres-

pondans des deux suites , — 33+35 — 37 + ®*^'>

i— A; 4- -T — etc. , et à les diviser ensuite suc-

cessivement par 3, 5, 7, 9, ii, etc. Il faudra de ces termes environ autant qu'on aura dessein d'employer de chiffres dans l'approximation.. Si quelqu'un la voulait pousser à i5o décimales , il y parviendrait avec beaucoup moix^s de peine qu'il n'en a coûté à de Lcignjr pour le faire jusqu'à 127^*^

Le second désavantage, non-seulement de la suite I — \ + \ — etc. et des autres qui appartiennent au cercle , mais encore de la plupart de celles qu'on emploie dans l'analyse moderne, est d'être assez souvent trop peu convei^entes. Elles ne sont plus dès lors d'un usage commode, et cet inconvénient les ren*

(0 Le procédé imaginé par Machin, antérieurengient à celui à*Euler, a été repris avec succès par F'ega et d'autres. On le trouve dans TAddition à la page 161.

l6a HISTOIRE DE LA QUADRATURE

drait inatiles dans un grand nombre de cas^ si Ton n'était parvenu à j remédier. Quelques géomètres se sont appliqués à donner à la méthode des suites cette perfection essentielle. Je n'ai point encore pu voir le traité De Summatione et interpolatione serierum de Stinlin^^'^; il doit contenir d'excellentes choses à cet égard. Ce que j'en vais dire est tiré des savans Mémoires d'Euler^''^, et du livre que Thomas Simpson a publié sous le titre de T%e doctrine and application ofjluxions^ etc. ^*\

Soit I®. la suite <— ■j+^— etc., ou en faisant <=^,ceUe-ci:ji— p+p— ^+etc.,que l'on a vu désigner l'arc de cercle, dont la tangente est t ou -. Il faut d'abord avoir ajoute un certain nombre de termes du commence-

CO II fietat que ce livre ait toujours ëtë fort T9ût%, car il a paru en 1 730. C'est en e£fet un ouvrage des j4u8 remarquables pour cette époque; on y trouve (pag. 3a, 42, 4^9 56, 60, 64> 68) la sommation approchée de séries qui se rapportent à la quadrature du cercle.

0») Camm. Acad. Petrop., t. IX, p. 127 ; et t. VIII,. p. i53.

C*3 Part; Il , «cJct. 7, p. 4o3.

BU GfiRGLE. l65

ment de cette suite ; plus on en aura pris , plus exacte sera Tapproximatioa qu'on tirera da Texpressîon suivante. Nommons , pour abréger^ S la somme de ces premiers termes^ n leur nombre, et posons lin —- 1 = r, i + /?*== w»; on aura alors, suivant les principes d'Euler^ la somme entière de la suite égale à

Àip3i rpa réduit la soroixiation d'mne suite ^ui ne converge presque pas ^eiisiblem^int, à ce))0 4'xinç autre qai conv^erge fort vite, ^ Ton trans£prme une suite qui esl déjà convergente, en une autre qui l'est beaucoup plus : <m abrège donc par là considérablement le calcul dans tous les c^. Pour en donner vm exemple, je vais cboi^r le plus désavantageux , œlui où la tangente ét^nt Tunité, la suite est I -r*- 1 4--^ — ~ H- etc. Suivant k méthode iiEulerj les six premiers termes suffiront pour prévenir une erreur d'un looooo*; or, OBS six premiers termes ajoutés ensemble fo«t 0,7440^ 2 > ^^ ^^ employant la formule, on a />s=si, et i'^ffi=s2, a» — isîsiij de raa-

l64 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

nière que le coinpiément qull faut ajouter à

cette somme , est — 7 — - •{- o + —^

' £.11 4''* ïï*

+ o — — g , c'est-à-dire ce que deyienuent les

six premiers termes de la seconde suite^ multiplîe's par -7 ou i. Ces termes^ réduits en fractions décimales et réunis^ font 0,041 386 ^ qui, ajoutés à 0,744^1 2^ donnent 0,786398 pour la grandeur de Tare de 4^^, ou pour celle du quart de cercle , comparé au quarré du rayon. On en tire 3,141592, pour le rapport delà circonférence au 'diamètre, ce qui s'accorde avec les sept premiers chiffres du nombre de Ludolph. U aurait fallu environ 1 000000 termes de la suite i — | + f — etc., pour trouver une approximation aussi exacte : on doit juger par là de la précision de celles que donnera la même méthode appliquée à des suites déjà médiocrement convergentes.

La série suivante, qui a le même objet que celle qu'on vient de voir, est due à Simpson; elle a quelque avantage sur l'autre, en ce qu'elle est plus aisée à continuer, la loi de la progression des coefficiens étant plus apparente. Je conserve ici les mêmes dénominations que dans la première foi*mule que j'ai

BU GEBGLE. l65

déjà donnée y à cela près que r= 2/»+ i, €t /?i=i4-r»; alors on a, suivant Simpson^ pour la valeur très convergente de la suite

t — T + €*c* 9 cette formule :

^^rmV "^ ('•+a)m"*"(r+a)(r + 4)m»

"t-Cr+a) (r+4) (r+6)m3 j 2.4,6 8f^

^(r+2) (r + 4) (r + 6) (r + 8)m* + etc.\

Le signe =b signifie qu'il faut ajouter^ si le premier terme qui suit ceux qu'on a renfermes dans la somme S est positif^ et soustraire, s'il est négatif. Cette méthode égale la précédente en exactitude. En l'appliquant

^ I — î + f — '^^c* > *^^ termes seulement de cette suite, joints aux six premiers de la seconde, donnent, comme ci-devant, l'expression 0,785398 pour la valeur du quart de cercle, le quarré du rayon étant i.

La plupart des autres suites qu'on peut employer pour trouver l'aire du cercle sont susceptibles d'abréviations semblablables; mais il serait trop long d'en exposer ici la théorie générale, qui dépend de celle de la sommation

l66 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

des suites. Le simple historique auquel on s'est borné ne permet pas d'entrer dans ces détails^ et l'on se contentera d'avoir indiqué les livres où l'on peut les trouver.

Les suites infinies fournissent enfin des moyens commodes pour obtenir des constructions géométriques ou des expressions analytiques^ qui représentent, à très peu de chose près, des espaces ou des arcs circulaires; car on peut combiner de telle manière deux grandeurs, que la suite dans laquelle elles se ré* soudront coïncide dans ses premiers termes avec celle qui représente la valeur de l'arc, ou de l'espace circulaire qu'on veut réduire en ligne droite ou en figure rectiligne. En prenant donc cette première suite, ou la grandeur finie qu'elle exprime , pour la dernière , on approche beaucoup de la valeur de celle-ci, puisque ce moyen en donne non-seulement les premiers termes, mais encore une partie de tous les autres. Les exemples suivans, dont quelques-uns sont tirés des Lettres de New^ torij et de son Traité des fluxions ^^^^ vont

C«) Voyez Comm, epist,, p, 56 et suiv., et Newiorif Opu9cuîa„ t. ly p. 420,

écl4ircir qela. Ce qu'op y exécute sur le cercle, peut commodément se pratiquer dans une infinité d'autres cas et sur d'autres courbes dont oq a quelquefois besoin de calculer l'aire approchée, avec plus de promptitude que de pré*

cision.

Qu'on yeuille donc trouver Farc^ la corde étant donnée j on sait que celui-là étant e,

la corde est % — -ç^^ + -çç^^s — ^'^^' ' nous la nommerons A ; soit B la corde de la moitié de cet arc } elle est - — ^ g.e.ij ^ etc. Si l'on combine ces

^^ 4.4.32. i2or»

deux grandeurs en ôtont la première de huit fois la seconde, le reste sera très prochainement égal à trois fois l'arc; car de

ôtant A, le reste est 3a- ^,- etc. Or, comme son second terme et les suivans, pour peu que z soit moindre que l'unité, sont très petits, il s'ensuit qu'on peut les négliger entièrement, et que 8B— A=3z. Il est donc vrai, ainsi qa'Hufgens l'a démontré , que huit fois la corde de la moitié d'un arc moins la corde de Varc entier, égalent trois fois l'arc, ou que huit

l68 HISTOIRE DE LÀ QUADRATURE

fois la corde d'un arc moins celle de l'arc double^ diffèrent très peu du sextuple de cet arc. On peut encore dire que quatre fois la corde moins le sinus d'un arc sont égales , à une très petite dififérence près^ à cet arc triplé.

On trouve de même que si Ton prolonge le

diamètre BA {Jig. m) de la quantité

AE=CB— ^BF, Tare BG excède très peu le segment de la tangente BH , coupé par la ligne EGH. Cette proposition démontre la vérité de celle de Snellius^ qui, faisant Ae = au rayon, disait que BA était moindre que l'arc BG {voyez ci-dessus, p. 64). Cette dernière est vraie à plus forte raison , car la ligne Ae étant toujours plus grande que AE, la ligne BA est nécessairement moindre que BH. Mais de cela même il est aisé de conclure que BH approche bien plus près de la légitime valeur de BG que BA, qui cependant, comme nous l'avons fait voir, en est très peu éloignée ^*\

Quand on a la grandeur d'un arc, il est fort facile de trouver l'aire du secteur ou du segment : ainsi les méthodes précédentes pourraient suffire à cet objet. Cependant comme on

(0 Montucla n'a point fait ce qu'il dit ici ; mais ypyez Tàddition à la page 168.

peut le faire immédiateinent^ en voici quel* ques moyens que nous fournit Newton dans les endroits cités^*\ Le segment BGF étant proposé, on pourra prendre pour sa valeur l'expression

|BF(|BG + GF). Mais si l'on veut une

plus grande exactitude, qu'on divise BF en deux également au point I, alors le rectangle

-gBF(4GI + BG) approchera tellement de

la valeur exacte du segment BFG, que lors même que ce segment deviendra le quart de cercle, le rectangle s'éloignera à peine de la vérité d'une i5oo* partie de Taire totale.

LeïbnitZy dans une de ses lettres à Newton^ a donné, pour trouver l'arc, par le cosinus,

l'expression v/6 — V'24c+ 12, dans laquelle c désigne le cosinus, le rayon étant i. Ici l'erreur, selon la remarque de Newton, sera

— + —, + etc. , la lettre v désignant le

sinus verse , ou i -^ c : cette erreur sera donc fort petite quand s^ sera moindre que le tiers du rayon. Cette condition est nécessaire pour employer avec quelque sûreté la formule précédente; mais il vaudra encore mieux se servir

^0 Commercium epistolicum, p. 67, 62 , 80,

de la suivante, due à Newton : s^ étant toujours le sinus yerse , qu'on fasse comme « . * •

lao—- 37P est à 120— -lyp, ainsi la corde \/2p est à une quatrième proportionnelle j elle appro-> chera si près de l'arc correspondant, que l'er-

reur sera seulement d environ -775^" f c® ^^

égalera & peine cinq secondes lorsque l'arc ne surpassera pas 4^''| et serait même moindre qu'une seconde s'il n'était que de 3o*.

Après avoir exposé les découvertes de ces grands hommes , qui semblent ne rien laisser à désirer sur ce sujet, me sera-t-îl permis de faire part d'une méthode qui m'a paru commode pour déterminer par approximation la valeur de ces différens espaces, ou arcs circulaires? Elle est fondée sur un certain moyen de trouver la somme approchée des suites qui les expriment; moyen que j'ai autrefois appliqué, avec quelques changemens^ à former des règles commodes et exactes pour toiser les surfaces des voûtes en dd-^e-^four^ surhaussées ou surbaissées, c'est-à-dire, pour m'énoncer en termes plus intelligibles aux géomètres, des sphéroïdes allongés ou aplatis; car on sait, pour peu qu'on ait passé les bornes de la Géométrie ordinaire, que les surfaces de ces corps sui^

DU C£RGLfi. 171

vent le mêine rapport que des espaces elliptiques ou hyperboliques. Soit donc un segment circulaire BFG (j%. 21) dont l'abscisse est Xy le diamètre l'unité; on a vu qu'il se rédoit à la suite, V^(f^ — 1^' — a^^'— ^x* — —y? — etc.)^'^. Pour en trouver la somme 2^prochée, je cherche une expression qui se résolve en une suite à peu de chose près égale à celle-là; c'est ce qu'on obtient de j x Vx — nx^^ dont le développement est \Jx{^x — \nx^ — \^ n^a? — ^ n^yfi — -5^ n^'yf' — etc.)- Je remarque enfin que si je donne à n une valeur telle que les seconds termes de chaque suite soient égaux, ce qui suffira si x n'est qu^une petite partie du diamètre, alors on aura les deux premiers termes avec une partie de chacun des suivans, et par conséquent, à peu de chose près, la somme de la suite. Afin donc de déterminer n , j^égale les seconds termes \x^ et \nv(^y d'où je tire n:=^\\ ainsi l'expression \x \x — I x^j sera la valeur approchée du segment circulaire, quand son abscisse ne pas-

CO Sur la page i36, l'auteur a en efifet rapporté une expression du segment circulaire ; mais pour l'approprier au cas ci-dessus , il faut en prendre le quArt et y pbanger x en 2x.

sera pas le quart ou les ^ du diamètre. En effet, dans la suite donnée ci-^dessus, mettant à la place de n et de ses puissances, leurs valeurs , elle se réduit à y/x (^x — j x^ — ^x^ — j^x^ — etc.), dont la différence avec la première, n'est que s/xi^s^^ + ^X^ + etc.).

Lors donc que x sera seulement ~, cette différence ne montera qua ^ + ^^4.etc., ce qui sera une très petite valeur.

Mais quand il s'agira d'évaluer un segment dont l'abscisse sera plus grande qu'un quart du diamètre, alors il faudra faire en sorte que les troisièmes termes des deux suites soient égaux entre eux, ce qui rendra la dernière beaucoup plus approchante de la première, pourvu qu'on ait l'attention de ne pas négliger la différence qui se trouvera alors entre les deux seconds termes. Égalons donc ^^ n*x^ à ^^^x:'; nous tirerons de là 7i=v/i; et cette valeur, substi* tuée dans la seconde suite, la transformera en celle-ci : \/x(^ x — jy/^ x^ — ^x^ — î:^\/f^* — 4:^^'— etc.), dont la différence avec celle qui exprime l'aire du segment, est V/^[(\/|^— f)x* + o-^x* — 4Îi^*"^etc.] De là il suit qu'en ajoutant

a rexpression fxv/jc— X^V^, la valeur de

or* S/lc ( s/i: — t)» ^"^ aura, à peu de chose près, la somme delà suite qui exprime la grandeur du segment BFG. Et en effet, lorsque x deviendra égale au rayon ou à ^ , puisque le diamètre est I, la différence sera seulement. . . .

-L.-^4 1- etc.; mais tous ces termes et

les suivans ne peuvent faire, comme Ton voit, qu'une très petite quantité. Cette différence serait encore beaucoup moindre si la grandeur de X n'était que de ^^ ou ^ : on pourra donc, pour celle d'un segment circulaire quelconque dont l'abscisse est «?, et le diamètre l'unité , prendre

ou4xv/x — o,654«;*+o,on8:x;*V/^.

On peut traiter de même la suite

^ ^ — ^ etc, , qui exprime

^■~6 4o lia

l'aire du segment circulaire BCED {Ji§. 19), l'abscisse étant prise à compter du centre (p. 1 35); car réduisant en suite l'expression indéterminée X \/i — /2X% puis comparant le troisième terme ^ au troisième de la première suite, ^,

174 fflSTOIRE DE L4 QUADRATURE

OH trouve n^= }, et alors x >/i-— x' y"^* =-:

Or, cette suite et la pre'ce'dente ne diffèrent dans leurs seconds termes, que de (l^^ — -^^x^

(qu'il faut ajouter k x\/i — oc^\/\, ou...

x\/t — o,44jjû*), et, après le troisième

terme, que de la quantité — ^^or' — ^ar» etc.

Conséquemment, lorsque x n'est que la moitié ou les deux tiers du rayon, cette dernière quantité s'évanouît presque, à cause de Vêlévation des puissances as% x^ et suivantes; car^ dans le premier eas , elle se i^uit à^ . . • « . ïè^ + rspîï + ®*c. du qûarré du rayon.

Il est facile d'apercevoir qu'on pourrait sans peine approcher davantage en suivant le même procédé, c'est-à-dire en déterminant n par le moyen d'un terme plus éloigné de la suite, et puis ajoutant ou retranchant la différence des seconds et troisièmes termes de la nouvelle suite avec ceux 4c là preroiwe. En effet, à mesure que la a>ïnciden0c s'établira eatre deux termes plus éloignés , ces suites se rapprocheront dav^ptage l'une de Eautre dans les termes qui viendront après; et .comme les différences des coeffiiciens de ces termes ne

DU GBAGLB. 1^5

peuvent manquer d'être des fractions^ parce qu'eux-mêmes sont nécessairement des fractions , et que de plus, elles affecteront des termes où x est déjà élevé à une haute puissance, cela rendra nécessairement la valeur de toutes ces différences peu considérable, ^% même insensible dans bien des cas.

Ces diverses expressions, comme aussi les suites extrêmement convergentes qni donnent le sinus, la tangente, etc., par l'arc, peuvent être fort utiles dans certaines circonstances. Un astronome qui , dans des pays éloignés, serait privé de ses tables par quelqu!^ açoi^ dent, se verrait absolument déconcerté; iqiûs avec ced formules, il pourrait continuer ^pes calculs, et tirer les résultats de ses obsermtioiiSk Plusieurs auteurs ont traité de ces moyens de se passer des tables ; entre autres, SnelUus^ dans sa Cjrchmétrie^ Hujrgens, dans le traité de CircuU maghitudine inpenta^ Leibnitz, dans un écrit inséré dans les Actes de Leipsic^ sous le titre de Trigonometria canonica à tahuLarwn necessitate Uherata ^"^^ et plusieurs autres.

(O Hugenii Opéra varia, p. 387 , et A et, erud., ann. 1691 , p. 178.

Je ne saurais passer sous silence l'ingénieuse méthode pour la quadrature approchée des courbés^-- dont Newton a donné la première idée dans son traité intitulé Methodus diffe^ rentiaUs^^^ . Elle consiste à déterminer, par le moyen de plusieurs ordonnées de la courbe proposée , également ou inégalement distantes entre elles, l'équation d'une autre courbe de genre parabolique qui passe par toutes leurs extrémités ^*\ On appelle ici courbes de genre parabolique celles qui ont une équation de cette forme : a+ ôx+ cor^ + rfat:* + etc., parce que ce sont en eiSet des paraboles de genre supérieur, comme on le voit dans Vénuméfa" tion des lignes du troisième ordre j donnée par Newton^''^. Or, comme une courbe de cette nature est toujours absolument quarrable, qu'elle serre de très près la courbe proposée, et d'au-

CO Newtoni Opuscula, t. I, p. 2^3.

CO On s'est borné ici au cas où les ordonnées sont également distantes entre elles , la solution étant considérablement compliquée dans celui où leurs distances entre elks sont inégales.

^•) Newtoni Opuscula, t. I, p. 247.

DU CERCLE. inn

tant plus qu'elle passe par les extrémités d'un plus grand nombre d'ordonnées^ il s^^nsuit qu'on aura^ en la quarrant^ l'aire approchée de la première.

L'étendue et l'objet de cet écrit ne me permettent pas de développer ici les propositions fondamentales dont Newton fait usage pour parvenir à la solution de ce problème. Je me contenterai de présenter cette solution ellemême , et j'indiquerai un moyen simple et lumineux de s'assurer de son exactitude.

Soit donc donné le nombre et la grandeur de plusieurs ordonnées également distantes entre elles, A,B, C, D, E (Jig. 2a); nous supposerons ici qu'il y en a cinq; on prendra leurs différences A— B, B — C, C— -D, D — E, qu'on écrira avec les signes qui leur conviennent, suivant qu'elles se trouveront positives ou négatives, le terme à soustraire pouvant être plus petit ou plus grand que celui dont on doit le retrancher. Nous nommerons, pour abréger, ces premières différences a^ b, c, d} on prendra ensuite les différences de cellesci, a — b, b'-^c^ etc., que nous appellerons encore, pour simplifier, a', ô', c', et dont les différences prises dans le même ordre seront représentées par a", ô"; enfin nous pose-

rons pour la dernière différence, cl' — b"i±za'". Cela fâît^ soit toujours m Fordonnëe du milieu^ qui est ici C; que Ton nomme p la

moyenne arithmétique entre les deux

différences moyennes b tX c; que l'on fasse

b* z=q^ ^Llïi — -= p^ a"^:=zs, et ainsi de suite,

si le nombre des ordonnées surpasse 5. Ici ^ est le dernier terme, et quelquefois, suivant la nature de la progression des ordonnées, la suite des différences se terminera plus tôt : mais cela ne jettera aucune difficulté dans la solution; les termes qui manqueront seront simjJement réputés o.

Après cette première préparation , on formera les produits successifs des termes de cette progression :

c'est-à-dire qu on multipliera le premier terme parle second , puis le produit par le troisième terme I etc. ; cela donnera la suite des produits

ï , jc, — , —g — , — 7—f etc., qu on multipliera

respectivement par m,p, q, r, s, etc. Ces produits, ajoutés ensemble, donneront la valeur

DU CERCLE. I^g

de rordonnée correspondante à l'abscisse xf ainsi l'équation de la courbe sera

Il faut remarquer qu'alors les abscisses x prennent leur origine au point F, qu'elles s'étendent positivement de F vers H^^ et négativement de F vers h; c'est-à-dire que la valeur de a: est positive pour la partie FGIH de la ^courbe, et quelle doit être négative pour la partie YGih , suivant les règles si connues aujourd'hui, dans l'analyse des courbes. Ainsi, pour avoir l'ordonnée po, il faudrait, dans l'équation précédente, changer les signes de toutes les puissances impaires de <r.

Il est aisé de s'assurer, par la méthode sui** vante, de la justesse de la solution qu'on vient de voir; il n'y a qu'à examiner si, lorsque les

abscisses deviennent o, FQ, FH, Fy, ¥h,

il en résulte les ordonnées FG, QR, HI, ^r, ht. A l'égard de la première, cela est évident ; car quand ar3=o, il ne reste pour la valeur de l'expression que le premier terme m, qui est égal k l'ordonnée moyenne C ou FG. Pour démontrer les autres cas, il faut développer les difféirences que nous avons désignées par des

l8o HISTOIBE DE LA QUADRATURE

lettres simples; ce procédé dous donnera. • . • A— B, B — C, C— D, D— E, pour les premières^ et ~ ^ pour p^ qui représente la

moyenne entre les deux du milieu. Les secondes diftërences seront. ... A — iiB -f- C , B— iiC + D, C— aD + E, dont la moyenne B— aC-t-D est j. Les troisièmes différences sont A— 5B+5C— D, B— SC + SD— E, et la quatrième A— 4B+6C — 4ï^-f-E. Ici nous remarquerons en passant que les coefficiens de ces expressions sont toujours ceux du binôme â >— 6, élevé à la puissance indiquée par le rang de la différence. Faisons à présent x=i ou FQ;

l'équation se réduit à ^=/7i-|-;?-f- - j et si ,

au lieu àe m^ p^ q, on met leurs valeurs trouvées ci-dessus ^ elle devient