XVJ TABLE DES MATIERES

Additions à la page 58 , sur quelques approximations numériques dont l'auteur n'a point parlé , 26g.

*-^ à lapagc ']'], Constructions approxinuitives , 271.

•* à la page 1 10 , sur Timpossibilité de la quadrature du cercle, 277.

— à la page 161. Développement en série par la méthode de Machin, rapport à i4oet à i54 décimales, 279.

— à la page 168. Calcul omis par l'auteur, 284*

— à la page 228 , sur les solutions du problème des deux moyennes proportionnelles , par Platon et Eratosthènes; vers de ce dernier et sa solution , 285.

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES

Fautes à corriger.

Page 67, ligne i4, c*est AF qui est le côte da dodécagone, AG est celui du polygoue de 24 côte's.

85, lîgn€S î5, 16, i8, ao, ai, les lettres^, h, i, *, /, o, p

doiyent êtn marquées d'an accent.

191, ligne a en remontant, JQH(Hl-f-4QR)-f-GF, /«e«

JQH(HI + 4QR + GF) a3o, ai, GIF, lisez GMF

a3a, 6, après une ligne droite, ajoutez àb

^'^'^^'^A'^'WV^WVM^M/M^^^Ml^AWMfVWVW^WM

^^>»»^»»WW>%%V»%W<»W»»»W»v»\ - »»^»^^V»^^^

DE L'ADTEUK.

n est dans les scienœs certaines recherches qu'on pourrait à juste titre appeler les ecueils de l'esprit humain. Parmi celles à qui mille efforts inutiles ont acquis ce nom^ la. quadrature du cercle est des plus célèbres; ce n'est pas, on se hâte de le dire, que la Géométrie ne présente des questions plus utiles , plus intéressantes, et, à certains égards, plus difficiles; mais trop relevées pour ceux qui n'ont pas fait de grands progrès dans cette science, elles ne sont guère connues que du petit nombre de ceux qui se sont rendu familières les nouvelles méthodes et les découvertes que nous devons au dernier siècle ^*\

A l'égard de la quadrature du cercle, il s'en

^*> Ceci ët«it^rit en 1754.

faut beaucoup que sa célébrité soit renfermée dans des bornes si étroites. Plus fameuse et de bien plus grande importance aux yeux de ceux à qui la Gréométrie n'est connue que de nom , ou qui y sont à peine initiés^ qu'auprès des géomètres habiles ou intelligens^ elle ne cesse d'exciter des efforts infructueux ; aucun problème n*a été tenté à plus de reprises , avec des forces plus inégales et plus disproportionnées à sa difficulté. La plupart de ceux qui se liyrént à cette recherche ont à peine une idée claire de la question et des moyens qui y conduisent , et qui sont les seuls qu'admet l'esprit géométrique; c'est cependant de là que partent ces fréquens et pompeux programmes, qui annoncent àù public cette découverte brillante et inespérée, qui félicttentleur isiècle dé voir enfin éclore ce chef-d'oeuvre de nntéllîgènce humaine. La classe la' plus éléni'entàîrè de la Géométrie test depuis !ong-femps tellclmerit en possession ' de fournir seule ces heureux Œdipes, que s'arinonder âùjbtird'liui conime éteint eh possession, ou btcupé 'i la recherche de ce problème; c'est élever contre soi le prejugé lé |)lus légitime d'ignorance ou de faiblesse d'esprit.

Malgré l'étendue que semblent, acquérir de

DE l'auteur. 5

plus en pltis les connaissances mathématiques, il est si peu de personnes , hors les mathéma« ticiens deprofession, qui conçoivent ayec netteté ce doiiit il: s'agit dao^ la quadrature du cercle, que nous avons jugé à propos de Vex* pliquer avant que d'aller plus Ipin. Nous avons eu aussi en vue cette classe de lecteurs à qi^ila niultitude ^^s livres, ou le temps que leur enlèvent leui^ occupations, ne permet guère d'all^V: au-delà d'une préface, et qui dé;îreQjt i^éanmoins d'acquérir, quelque^ connaissance en tout genre* On a tâché de rendre celle-ci insti:uc<ive. pour eux; c^ qu'on v^ dii^ servira a leur fair0^ concevoir distinctement I^ nature du problèqi.e, et à les met;tœ en étsit d'apprécier avec ji^stesse de raison ceux qui en ajQnoncent la solution.

, L'objet principal et primitif de la Géométrie est de mesurer les diflférentes espèces d^étendues que l'esprit considère ; mais mesurer n'est autre chose que comparer une certaine étendue à une autre plus simple, et dont pua une idée plus claireet plus , distincte. Fartant de ce principe, les géomètres ont pris la .ligne droite pour la mesure à laquelle ils rapporteraient toutes les longueurs; le quarré pour celle à laquielle ils rappelleraient les surfaces

quelconques ; le cobe enfin pour celle des so-^ lides. Ainsi rectifier une courbe^ quarrer une sur£sice^ cuber un solide ^ ne sont autre chose que déterminer leur grandeur, les mesurer.

Quarrer un cercle n'est donc pas, conime Tîmagine un vulgaire ignorant, faire un cercle quarré, ce qui est absurde; ou, comme semblent le croire certaines gens , faire un quarré d'un cercle; mais mesurer le cercle, le comparer à une figure rectiligne, comme au quarré de son diamètre, et connaître son rapport pré* cis avec ce quarré; ou enfin, parce que l'un dépend de l'autre, déterminer le rapport de la circonférence avec le diamètre ^'^. Lorsqu'on dit un rapport précis, on entend parler de cette exactitude qui est la vérité même, de cette exactitude avec laquelle le triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et même hauteur, et une parabole ses deux tiers. Quant aux mesures qui ne s'écartent que de très peu de la vérité, quelque insensible que soit cet écart, elles satisfont, il est vrai, à la pratique, parce que celle-ci ne peut jamais donner que des à peu près ; mais l'esprit géo-

CO On peut dire aussi qu'il s'agit de construire un quarré dont la superficie soit égale à celle du cercle.

DE l'auteur.

métrique ressent toujoui^ une sorte de peine d jr être réduit j et il s'efforce de la secouer jusqu'à ce qu'il y soit parvenu , ou qu'il ait démontré l'impossibilité de le faire. On chercha sans doute long-temps le rapport numérique de la diagonale du quarré avec son côté^ et quelques ignorans le cherchent encore, ou poussent l'imbécillité jusqu'à l'assigner. Les vrais géomètres ont cessé leurs poursuites depuisqu'ils sont en état de démontrer que cela e^ impossible. H est fort probable que la quadrature du cercle doit être mise dans une classe semblable ; il y a déjà plusieurs siëdes que les 'habiles géomètres l'ont abandonnée, comme un sujet qui n'est propre qu'à les épuiser en efforts inutiles; ils se sont bornés à perfection* ner de plus en plus les moyens d'en approcher. En effet, au défaut d'une exactitude parfaite , ce qu'ils pouvaient lui substituer de mieux était un à peu près indéfiniment voisin. A cet égard , la Géoméfrie semble n'avoir rien à do* sirer. Archimède démontrait autrefois que la circonférence était plus grande que le triple et les — du diamètre, et moindre que le triple et les ^, ou le septième du même diamètre- La différence de ces deux termes n'est qu'un 497*; AÛisi, il est évident qu'elle n'est qu'en-^

Q PBÉFAGE

viron le i5oo' de la circonférence, et qn'en supposant, ce qui approche de ïa vérité, que cette circonférence est voisine du milieu entre les deux polygones, Terreur sera à peine d'un

3ooo%

Mais les modernes , peu satisfaits de cette approximation, quoique commode dans la pratique et dans certains cas. Font considérablement perfectionnée- On sait aujourd'hui que le diamètre étant 1,00000, la circonférence est plus grande que 5,i4i59, et moindre que 5,1 4160. Désire-tK>n une exactitude plus grande, on fait voir que, supposant ce diamètre de 1,0000000000, la circonférence surpasse 5, 141^9 26535, et qu'elle est surpassée par 3,1415926556. L'erreur est déjà ici moindre que i 000000 oooo** du diamètre; elle est cependant encore énorme et grosîsière, en comparaison de celle que le géomètre peut prévenir; l'imagination se refuse a en concevoir la petitesse, je dirai pres(}ue infinie- Si l'on emploie le rapport donné par M. de Lagnjr^ cette erreur sera une moindre partie du diamètre, que Tunité d'un nombre composé de cent-vingt-six chiffres. En supposant les étoiles fixes si éloignées du soleil , que la parallaxe de l'orbite terrestre ne soit que d^une