C-t- --^ — h -^ — ^— = B , c est- à-dire la

valeur de QR. Qu'on fasse a:=— n ou FA, on aura j=m — ap-^nq — r+\sy où, mettant au lieu de m, p, 9, r, s, leurs valeurs en A, B, C, D, E, tout se réduit à^=E, ou hi. Il en sera de même si l'on donne à x les autres valeurs Fç ou F&, c'est-à-dire qu'il en résultera les ordonnées çr, hi; ainsi la courbe passe par les sommets de toutes ces ordonnées.

DU CERCLE. l8l

Il n'a encore été question que du cas où les ordonnées sont en nombre impair; quand leur nombre sera pair, par exemple, A, B, C, D, on prendra, comme à l'ordinaire, leurs premières, secondes, troisièmes différences, jusqu'à la dernière {Jig* aS); on nommera m la moyenne arithmétique entre les deux du milieu, /^ la différence b ou B — C, q la moyenne entre a', h\ enfin d^ sera appelée r. On multipliera ensuite, comme ci-dessus, les termes sui- 4r'*«— ï X 4^* — 9 ^ 4^^ — ^5

vans : I, J?, -j-^ , 3 , -j^y 5, 4 6a: ' ^^^"^

et leurs produits successifs étant affectés des coeffîciens m^p^q^ryS^ etc. , donneront

pour l'expresssion cherchée de^, qui ne comprend ici que ces quatre premiers termes, parce que tous ceux au-delà de r sont supposés nuls. Ici l'origine des abscisses est toujoui^ le point qui partage en deux également l'intervalle des deux ordonnées moyennes, et elles s'étendent positivement vers H, et négativement dans le sens contraire.

Rien à présent n'est plus aisé que de trouver l'aire entière de la courbe qui passe par les points i, r. G, R, I {Jig. 22); il suffit d'être initié dans

l82l HISTOIRE DE LA QUADRATURE

le cakol intégral , pour voir qu'il faut multiplier la somme des ordonnées PO^ po par dœ, et intégrer comme k lordinaire ; car^ en multijjiant PO par iùcy cela est visible à l'égard du segment FGOP ; mais il semble qu'on devrait multiplier /lo par — iir, car F/7c=:— x; cependant comme par ce moyen l'aire FGop paraîtrait sous une forme négative, et que néanmoins elle doit être ajoutée positivement à la première , il faudrait (Ranger ses signes avant l'addition. Or la multiplication depo par dx, et non par — dx, produit précisément cet effet; aîasî il n'y a qu'à prendre la somme de PO et de po, et la multiplier par dx : son intégrale sera l'aire OFpo; et quand FP sera faite = FH, l'intégrale sera Faire entière BlGih ^*^. Prenons d'abord le cas de cinq ordonnées; en changeant les signes des termes où sont les puissances impaires de x, dans la valeur PO, ce qui donne la valeur de pOj et les ajoutant ensemble, nous aurons

P0+po=2m + ça:* + j — — — •

On peut remarquer ici que tous les termes

CO On dirait aujourdliui qu'il faut prendre l'intégrale fjrdx depuis xistFh ou — FH, just[u*à x±=i¥E.

DU CERCLE. l8?

aïïec\és des difTçr^Dces premières ^ troisièiD»^, cinquièmes^ etc., s'évanouissent, et qu'il ne s'agit que de doubler les autres^ ce qui facilitera beaucoup l'opération ; cela aura égale^ ment Heu dans le cas des ordonnées en nombre pair. Enfin, l'expression qui convient à ce cas étant multipliée par dx et intégrée , devient

Il ne reste donc qu a faire a: =2, et l'on aura pour Taire cherchée , ^rn -^--^q-^^s '—^s

On trouvera, par un moyen semblable, que dans le cas de quatre ordonnées, l'intégrale est 5(m+^9-.^î)=3(m + iî)- ^

Présenté sous cette forme, le théorème de Newton serait déjà d'une grande utilité pour calculer assez commodément les aires approchées des courbes, et surtout.de celles qui se résolvent en suites peu convergentes, dont l'approximation est extrêmement pénible ; mais ce théorème fournit encore une pratique plus commode , que je vais exposer. Neivton s'étant CQïitc»té de l'indiquer dans le dernier scholie de son traité, ce que je vais ajouter en sera une espèce de commentaire, de méjne que le

l84 HISTOIRE DE LÀ QUADRATURE

discours précédent a pu servir à jeter quelque jour sur le reste de cet excellent traité.

Reprenons encore ici le cas de cinq ordonnées , pour lequel nous ayons trouyé. • • 4('» + -39 + s'y — Ts^)i l'on a fait yoîr plus haut quelles étaient les yaleurs de q et de s, en expressions où il n'entre que des ordonnées : on a trouvé q s= B — aC + D, et. . • • ^=A— 4B+6C-r-4l^H-E. On pourra donc substituer k m, q, s, ces valeurs^ et Topération &ite , la formule ci-dessus deviendra |(7A+32B+ i!2C + 52D+7E), ce qui est «galà^[7(A+E)+32(B+D)+i2C], ....

multiplié par 4> ou plus généralement par Tintervalle entre la première et la dernière ordonnée^ intervalle que nous nommerons dorénavant R. On s'assurera par un semblable procédé que , lorsqu'on n'emploiera que trois ordonnéesy l'aire approchée sera ^ (A-f- C -f- 4^) R; pour sept, elle seragi^[4i (A+G)+2i6(B+F) -f-27(C+E)4- 272D] R. Nous ne pousserons pas plus loin cette table pour les nombres impairs d'ordonnées, parce qu'il est rare qu'on ait besoin d'en employer plus de sept; d'ailleurs il est aisé d'y suppléer dans le besoin.

La méthode n'est pas différente pour les or-

DU CERCLE. l85

données en nombre pair. On a vu plus haat que , pour 4> la formule devenait 5 (^+ ^q)} un peu auparavant on a remarqué que q était la moyenne entre les deux différences:,..

A~!2B + C et B — aC+D, c'est-a-dire

= — , et que m était la moyenne

entre B, C, c'est-à-dire -; conséquemment

la formule se réduira à |[ A + D + 5 (B + C)] ; on bien^ en nommant encore R la portion de Taxe comprise entre la première et la dernière ordonnée, ^[A+DH-3(B+C)]R : pour six ordonnées, on aura^[i9(A+F)+ 76(B+E) + 5o(C+Dj]R0\

Nous allons enfin ranger toutes ces expressions en forme de table, pour la commodité des lecteurs qui en auraient besoin ; mais, pour abréger, nous y nommerons simplement A' la somme de la première et de la dernière ordonnée, B' celle de la seconde et de la pénultième, etc., et dans le cas des ordonnées en nombre impair, la dernière lettre sera l'ordonnée du milieu. Nous avons négligé les cas où

(0 Ces formules se trouvent dans VHarmonîa men-' surarum de Cotes, p. 33 , deuxième pagination.

l86 HISTOIBE DE LA. QUADRATUHE

Ton n'emploierait cp'une ou deux ordonnées^ parce qu'on ne doit en attendre aucune exactitude. La première colonne contient le nombre des ordonnées, à côté duquel est exprimée l'aire.

ig(i9A'4-75B'+5oC0R.

4(4iA'+ai6B'4-37C'-f-a7jD0R.

Newton ajoute^ ce qui peut servir à simplifier beaucoup ces calculs^ que si Ton prend le double de Fordonnée du milieu^ et que Ton joigne enseïiabk les ordonuées qui en sont égsr lement distantes^ comme QR avec çr, HI avec lu 9 qu'enfin l'on substitue ces sommes à chacune des premières ordonnées QR, HI^ il se formera une nouvelle courbe ypqi* , dont Taim sera égale à celle de la première. Cela revient à ce qui a été démontré }Jus haut^ que, fiour avoir Faire des deux parties POGF^ pcGF de la courbe par une même et unique intégration^ il fallait ajouter les à^nx ordonnées fO, po, multiplier leur somme par dœ^ et intégrer ensuite. Newton propose encore quelques moyens propres à transformer ces courbes^ mais mon dessein n'est pas de faire un com-

DU GEHCLE. 187

xnentaire de son traite entier; ainsi je reviens à mon objet principal ^ en appliquant cette mé* thode a la mesure du cercle.

Nous supposerons pour cet effets que le rayon est 8 , et qu'il est divisé en huit parties égales p afin d'avoir cinq ordonnées dans le segment AEea (Jîg. a4) qui répond au demirayon; mais ces ordonnées auront, en fractions décimales, les valeurs suivantes : Âa=:8,ooooo09 B6= \/€5 =7,957255, Cc=v/6^7, 745966, Jid— V55 = 7,416198^ enfin Eô = V/48 2^6,928205. Ainsi Â', somme de la première Aa et delà dernière Ee, sera 14,928205 ; B', somme de la deuxième Bb et de la quatrième Dd, sera 1 5, 55545 ï ; on aura enfin C ou Ce =7,745966. Par conséquent les 7A'-f-52B'-f- 12C' de la formule qui convient au cas de cinq ordonnées, seront €88,759445, ce qui doit être multiplié par 4 et divisé par 90. Ces opérations donneront 3o,6ii55o pour Taire du segment AaèE; et si Ton en retranche le triangle AEe=:i5,8564o6, le reste 16,755124 exprimera le secteur A^e dont le triple ou 50,265572 sera le quart de

Cercle entièf , le quarré du rayon étant

64^000000 : eft enfin réduisant ce rapport au dénoffîinatew t>oôoboo, on trouvera le pretnîer nombre =ô,7855g(6, ce qui ne diffère

l88 HISTOIRE DE Là QUADRÀTUaS

T^« ^^ 7= OU 1^^ du nombre 0,785598, lequel pèche bien peu par défaut, puisque le chiffre suivant n'est que l'unité. Enfin si , partant du nombre 0,7853981, on remonte au segment AaeE, on trouvera 3o,6ii566, valeur qui coïncide dans les six premiers chifîres avec celle qui a été .trouvée ci-dessus.

Nous donnerons encore un exemple de l'application de ces formules à la mesure d'un espace circulaire. Ici nous ne prendrons que quatre ordonnées également distantes , dans le même segment dont il vient d'être question.

Pour cela, il faudra supposer le rayon divisé en six parties égales; et alors ces quatre ordonnées seront en fractions décimales, 6,00000, 5,91607, 5,65685, 5,ig6i5; par conséquent A'+5B', formule des quatre ordonnées, aura pour valeur 45,91 49^9 <iu'il faudra multiplier par 3 et diviser par 8, ce qui donnera 1 7, 2 1 809. Afin de voir jusqu'à quel point ce nombre approche de lexactitude , il n'y a qu'à en retrancher le triangle AEe, qui est ici 7,79422, et le reste 9,4^587 étant triplé, donnera pour le quart de cercle , 28,37161; ce qui, comparé au quarré du rayon 36ooo, est la même chose que 0,78532 à 1,00000 : l'erreur est ^^ ou à peu près un 14000*, ce qu'on doit regarder

comme peu considérable , eu égard à ^a facilité de Topération.

Mais si Ton faisait usage de la remarque de Newton y et qu'on doublât, dans le cas dés cinq oixlonnées, celle du milieu Ce ^ que l'on prit ensuite les sommes des ordonnées QR et^r^ HI et hi, pour en faire les nouvelles ordonnées Qfy Hi de la courbe yfcai^ il faudrait seule-

ment employer la formule (A'-f-4^)'6f <>^

5 (A' + 4JB')^ puîsqu'ici R=2 : on aurait alors

A' ^-4^' = 91,835959. Or ce nombre divisé par 3 donnerait 5o,6 1 1 5 1 5, qui approche considérablement encore de la vraie valeur; car, en retranchant le triangle AEe=i5,8564o6, et triplant le reste 16,754907, on a pour le rapport du quart du cercle au quarré du rayon , celui de 50,264721 à 64,000000; ce qui est la même chose que celui de 0,785586 à i,oooooo. On voit que le premier nombre s'accorde dans ses quatre premiers chiffres ; avec le nombre de Ludolph ; les deux derniers chiffres devraient être 98 au lieu de 86 , de sorte que Terreur n'est que d'un 85ooo*. Il y a donc quelque avantage^ comme le remarquait Newton^ à réduire le cas de cinq ordonnées à celui de trois, puisque l'erreur est encore presque in-

igO HISTOIRE DB LA QUADRATURE

sensible^ et que Topération est considérable* ment abrégée. Cest pourquoi, afin de faire cette réduction commodément, il faudra substituer, à la formule ^(A'-|«4B')R, celle-^ci: 3L(A' + 4B' + 2C')R , en prenant, comme à Tordinaire, A' pour la somme de la première et la cinquième, B' pour la seconde et la quatrième, et C pour la moyenne; car cette formule équivaudra à la réduction qu on vient de faire des cinq ordonnées à trois.

Thomas Simpson^ un des plus profonds géomètres qui illustrent aujourd'hui l'Angleterre, a donné pour mesurer les aires des courbes, une nouvelle méthode que nous croyons devoir joindre ici aux précédentes^''^ Il suppose, de même qu'on Ta fait dans l'article ci-dessus, nn certain nombre d'ordonnées à égales distances; et, par une opération fort simple, il trouve l'aire de la courbe avec une exactitude qui approche beaucoup de la vérité : cette méthode est fondée sur la considération suivante» Soit la courbe IRGrî {Jig. 22) , et que

J ■ ■ « *l ■ ■ I P ■ I - ■ ■■ -■! ■■ Il ■ t I » ■ « f il I ■ . ■ , ,f « t ■ I II I L ^

^"0 JUoAematical DissertaUom, p* 1^*

Ton conçoive les sommets des deux oidonnees FG, hif joints par une ligne droite; on peut imaginer, dans le petit segment G/i> un seg-» ment parabolique inscrit qui aura son sommet en Vy et son axe ou diamètre dans la position rq. Lors donc que les ordonnées ëquidistantes s^ ront suffisamment voisines^ on pourra regar«* der cet arc parabolique comme coïncidant avec là courbe proposée. Or, ayant tiré une parallèle a G/ par le sommet r, ce segment est égal aux deux tiers du parallélogramme Grî =^ FA X «r : Faire FGnA est donc égale au trapèze FGiA, plus aux deux tiers de ce petit parallélogramme. Mais ur est la diffé-*rence de qr à qu^ moyenne arithmétique entre

GF et hi; c'est par conséquent gr—- ^ — ^î^

011 12. ^ ce qui , étant multiplie par

\Yhy donne \ qh(4qr — 2GF — 2hi). D'un autre c6té le trapèze ¥Gihs=zqh{GF+hi) ; d'où, en ajoutant ces deux grandeurs et réduisant au même dénominateur, on tirera l'aire. * • . mrih^rqk (hi + 4qr+ GF). Par la môm« méthode^ on trouvera l'aire .... FGR.IH'sss f QH(H14.4QR)+GF, et l'aire entière sera k somme Ai+49r+aGF+4QR+HI mul--

iÇa HISTOIRE DE LA QUADRàTURE

tîpliëe paryQHoa^?^- De là il suit que si Ton prend quatre fois les ordonnées deuxième^ quatrième^ sixième^ etc. , une fois la première et la dernière, et le double de toutes les autres, qu'on multiplie ensuite ces sommes par le tiers de la distance commune QH, désordonnées^ on arrivera fort près de Taire de la courbe.

Donnons-en un exemple.

Nous reprendrons pour cela les cinq ordonnées du segment de cercle AaéE (Jig. 24)^ dont l'abscisse ÂE est égale au demi-rayon ; l'intervalle BA. est l'unité; ainsi Taire ÀaeE sera Y(Aa+Ee4-4B6+4D^+^Cc), ce qui, en mettant à la place de ces. ordonnées leurs valeurs , deviendra 3o,6i 1646; d'où Ton tirera, comme on a fait plus haut, le rapport du quart de cercle au quarré du rayon, comme . 0,785401 à 1,000000. Or ce rapport ne diffère de 0,785598 que de -^^^ ou un 35oooo*. Je ne croîs pas qu'on puisse rien trouver de plus simple, et en même temps de plus approchant de la précision.

Au reste, il est aisé d'apercevoir que cette règle exige nécessairement que le nombre des ordonnées soit impair; mais c'est une sujétion légère qui diminue très peu ses avantages. Il est aussi à propos, afin qu'eUe ait son effet

«ntier^ que la courbe soit ou toute' convexe, ou toute concave vers son axe, à moins que les ordonnées ne soient extrêmement voisines; autrement il faudrait tirer une ordonnée du point d'inflexion, qui la partagerait en deux segmens , l'un concave > l'autre convexe , vers Taxe , et on les mesurerait à part.

J'ajouterai qu^on pourrait , dans certains cas,, rendre cette règle beaucoup plus parfaite, eni déterminant quelle espèce de parabole conviendrait le mieux avec le petit segment curviligne. Il faudrait pour cela examiner quel rapport les distances de l'arc Gri à sa tangente en r, prises dans le sens des ordonnées, ont avec les portions correspondantes de l'axe des abscisses. Si celles-là, par exemple , étaient comme les cubes de celles-ci, il est visible que le* segment parabolique le plus voisin de celui^ de la courbe appartiendrait à une parabole dont l'équation esij^=za:; alors la règle changerait un peu, ce petit segment étant au parallélogramme circonscrit comme 3 à 4; mais je me contenterai d'indiquer cette addition à l'ingénieuse règle de Simpson^ parce que ce n'est pas ici le lieu d'en approfondir davantage la théorie. Les géomètres me comprendront du premier coup, et il faudrait

ig4 HISTOIRE Dfi LA QUADRATURE

pour les aatres des expUcations assez I<m-

gués ^'^

Je terminerai ce chapitre en donnant une i^^de l'ingénieux moyen dont JeanBemoulU a fait usage pour déterminer des limites de plus en plus rapprochées du rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. On s'est borné à un court extrait de l'écrit de Semoulli^ parce que la nature du sujet ne permet guère de l'analyser avec plus de détail, sans tomber dans une prolixité que nous cherchons à éviter. Les lecteurs dont nous aurons excité la curio* silé pouiTont consulter les œuvres de ce grand homme (tome IV, p. 98), qui sont ou qui doivent être entre les mains de tous ceux qui aspirent à des connaissances profondes dans la Géométrie et l'Analyse.

La méthode dont nous venons de parler consiste en ceci : qu'on imagine qu\ine courbe

CO On a depuis beaucoup étendu et yarié les formules de ce genre : pour ne parler que de celles qui se rapportent immédiatement à ce passage, je citerai le» mémoires de MM. Kramp et Berard, dans les tomes Yl, YII j VIII et IX des Annales de Maihématiçues purbliées par M. Gergonne.

BU CERCLE. igS

telle qu ua quart de cerclç (dont les taogentea aux deux extrémités se reiacoutrent l'une l'autre (lerpeudiculairemeut ) se développe eu cornmançaut par une de ses extrémités^ et s'étende en ligne droite ^ cette extrémité décrira une nouvelle courbe qu'on pourra supposer se dé-^ velopper aussi ^ mais en sens contraire^ c'est-* à<*dire eu commençant par le côté qui a été décrit le dernier; de là en naîtra une troisième que l'on concevra développée de la même mar* nière, et ainsi à l'infini. Toutes ces courbes, comme le remarque Bemoullij approchent de plus en plus de l'égalité et de la similitude par-* faite, et elles ne tardent même pas à être senr> siblement égales s on peut encore observer qu'elles deviennent de plifô en plus semblables à des cycloïdes* C'est une conséquence de cette vérité connue , que ces courbes sont les seules à ordonnées parallèles, dont le développement ne Ésiit que les reproduire ^'\

Ayant donc nommé a la première courbe^ c'est-à-dire le quart de circonférence dont

CO dette conséquence n'est pas si simple qu'elle n'ait besoin d'une preuve immédiate ; elle a e'té démpatr^e pour lai première fois par Euler (Novi Comment. Acad^ Petrop,, t. X , p. 179) ; ensuite par Lagrange (M^l^i^sy

igG HISTOIRE DE LA QUADRATURE

le rayon est l'unité, BemouUi détermine la longueur de toutes les autres par une suite d'expressions fort régulières et fort aisées à continuer pour tel nombre de courbes qu'on voudra. Ces expressions ont de plus cet avantage, d'être extrêmement simples ; car, après les réductions convenables, elles ne renferment que la grandeur a élevée à une puissance dont l'exposant est celui du rang de la courbe en comptant la première, et affectée uniquement de quelques coefficiens numériques.

Que l'on suppose donc, ajoute BemoulU^ que deux de ces courbes qui se suivent immédiatement soient égales entre elles, et qu'on égale les deux expressions qui les désignent. Comme elles ont cette forme : Ma% Na'"*"', il en résultera nécessairement une équation simple entre a , ou le quart de la circonférence , et une fraction numérique qui sera sa valeur; or il est évident que cette valeur approchera d'autant plus de Texactitude, que la supposition qui l'a donnée s'en écartera moins.

crits déposés à la bibliothèque de Tlostitut) ; par M. Legendre {Exercices de calcul intégral, t. II, p. 540 ; enfin par M. Poisson (Journal de VÈcole Polytechnique, xviii* cahier, p. 43i).

DU qERGI^Ç. .197

Cette considération conduit à déterminer des limites alternativement plus grandes et moindres qu'il ne Êiut; car en égalant la première et la seconde courbe, on trouve, pour le rapport du quartde cercle au rayon, un nombre qui excède le vrai ; au contraire, la supposition d'égalité entre la seconde et la troisième en donne un trop petit, et ainsi de suite. Au reste, ces limites approchent avec assez de promptitude les unes des autres; en effet, la compa-* raison de la douzième et de la treizième courbe fournit le rapport de 1,0000000 à 5,141^900, et l'égalité supposée entre la treizième et la quatorzième, celui de 1,0000000 à 5,1415955; or ces deux valeurs de la circonférence ,•..•. 3,1415900, 3,1415955, sont, l'une trop petite, l'autre trop grande, et coïncident néanmoins jusqu'au sixième chifire; ainsi elles sont vraies dans les six premiers, comme on le sait d'ail*leurs par les approximations si connues de Viëte^ Ludolph^ etc..