CHAPITRE V

ffistoire des Quadrateurs les plus célèbres.

J'ai donné, dans le cours de cet ouvrage , le nom de quadrateurs à ces hommes qui , pour la plupart, à peine initiés dans la Géométrie , entreprennent de quarrer le cercle, ou s'obstinent à maintenir d'absurdes paralogismes pour une solution légitime de ce problème. Ayant à les nommer souvent, il me fallait un terme nouveau pour éviter les circonlocutions , ou ne pas leur prodiguer le titre de géomètres, qu'ils méritent si peu. J'ai fait usage de la liberté qa'Hbrace accorde dans une pareille cîiv constance; le mot de quadrateur m'a paru assez heureux pour mon objet, et je l'ai adopté.

Le même motif qui m'a porté à désigner ces esprits d'une trempe si singulière , par une dénomination nouvelle, m'a conduit à ne parler d'eux que dans un article à part : Hippocrate de Chio et Grégoire de Saint^Vincent méritaient seuls quelque distinction a cet égard*

DU CEIIGLE. 199

A«iniis-je dû exposer de suite les dëcourerteB doBt nous nous sommes occapés jusqu'ici , et les ridicules prétentions de tant de qus^ratemrs aiiciens et nK>demes? Non, sans doute : c'eût été trop honorer ces derniers et faire une espèce d'injure aux auteurs des inventions ingé^ nieuses qu'on a exposées dans les chapitres précédens; les noms d'un ^n^Amie^e^ d'un Wallis^ d'un Newton^ figureraient mal à côté de ceux des Brjrson^ des Oronce Finée, des Delcdeu, des Basselirij etc.

Mais, diront sans doute quelques personnes judicieuses, quelle utilité peut- il y avoir à tirer de la poussière ces noms déjà dégradés auprès de la postérité et de leur siècle même, par les erreurs de ceux qui les ont portés ? Je me suis fsdt cette question plus d'une fois, et plus d'une fois j'ai été sur le point de supprimer cet article entier; cependant, après quelques réflexions, j'ai pensé que l'histoire d'un problème célèbre par tant de tentatives et de chutes honteuses, ne pouvait être complète qu'en faisant connaître du moins quelques-uns de ceux qui se sont signalés par ce ridicule ; il y a d'ailleurs une sorte de justice ^ traduire devant la postérité, des hommes qui semblent avoir, de propos délibéré, fermé les yeux à la

âOO HISTOIRE DE LA QUADRATURE

grande évidence. Si l'erreur grossière, etpresf que volontaire, n'était punie que de l'obscu-» rite et de l'oubli, ce châtimeut léger serait trop peu capable de retenir les nombreux imitatateurs de ceux dont je parle ; ils deviendront peut-être plus circonspects en voyant le mépris et l'espèce de tache qui accompagijient les noms de ceux dont ils suivent les traces. (Fojr. p. ao.)

Il y eut parmi les anciens, comme parmi nous, un grand nombre de ces faibles géomètres, qui se persuadèrent avoir trouvé la quadrature du cercle; j'en ai déjà cité quel-^ ques^uns par occasion. La prétendue quadra-^ ture de Brjrsorij qui faisait le cercle moyen proportionnel entre les quarrés inscrit et ciiv conscrit, est une erreur indigne de la Géométrie, soit qu'on l'entende du moyen arîthmé^ tique ou du moyeu géométrique ; car la difierence est de près d'ui^ vingt-^unième dans le premier cas; et à l'égard du dernier, on savait déjà de son temps que le moyen géométrique entre ces quarrés était l'octogone inscrit.

C'est sans doute de ce nombreux essaim de quadrateurs que parle Ârchimède^ dans la préface dç sa Quadrature de la parabole. On y lit

que plusieurs avaient déjà tenté de quairer le cercle et l'ellipse, mais qu'ils n'avaient enfanté qae des paralogismes, pu supposé des principes qu'on ne pouvait leur accorder. La ressemblance de notre âge avec celui d^ Archimede est entière; combien de quadrateurs qui commencent à partir de quelque principe directement contraire à la Géométrie ! Nous en avons un aujourd'hui pour qui la partie n'est pas moindre.queletout; pour qui la diagonale et le côté du quarré ne sont pas incommensurables, qui réussit enfin à merveille avec ces principes féconds à quarrer le cercle, non par la méthode des géomètres , mais par le méca-' nisme en plein des Jigures; ce sont là ses propres termes : spectatum admissi lisum teneatis amici. {Hor., Arspoet.^ v. 5.)

Je ne dirai rien des siècles d'obscurité qui ont précédé le renouvellement des sciences parmi nous : on a dû trouver souvent la quadrature du cercle dans ces temps où les plus habiles savaient à peine une partie de la Géométrie élémentaire â^EucUde. Je ne m'amuserai pas à y fouiller pour en retirer la précieuse découverte de quelque nom inconnu et

20a HISTOIRE DE LA QUADRATURE

qai xaérUe de l'être; je passe k un temps sur lequel nous avons plus de lumière.

Le premitt qui^ 4 la renaissance des lettres^ occupa les géomètres à réfuter ses erreurs , est le fameuK ^rardinal ile Casa; il prétendit avoir réussi à quarrer le cercle par deux voies difiié-* rentes. Suivant Tune, il £siisait rouler sur un plan un oercle ou un cylindre, juscpi'à ce que le point qui lavait touché au commencement de la révolution retournât s'y appliquer. Cependant il faut lui rendre cette justice, il n'était pas asses maladroit pour prétendre déter-. miner ce point par un mécanisme si grossier; il cherchait à le faire géométriquement ; mais son opération est tout^i-ilàîterronnée. Son autre méthode lui donnait cette fausse détermination de la circonférence : SiVon a un cercle ^ disait-il, et quon en décria un second dont le diamètre soit égal au rq^ondu premier j tuigmentédu côté du quarré inscrit j le triangle équilatéral inscrit dans ce second cercle^ sera isopérimètre au premier. Ce n'est pas même là une approximation; -car un calcul très simple fait voir que la circonférence ainsi déterminée s'écarte beaucoup endessous des limites ^Archimède. RegtorMm-'

ou G£RCLB« 205

tonus 4i^y prit de cette manière |>our réfuter la prétention ^6 ce caréin^ géomètre : ce ^'il fit dans idnsîetijis lettres écrites en 14^4^^ i4^> mais imprimées seulement en i5S3^ avec quel* qnes autres œuvres posthumes de ce savant astronome. Quant à la première ipiadrature du cardinal de Cusa^ elle fîit de nouveau récfaaufiee au commencement du seizième siècle, par un certain Bopillius de Vermandois> que sa seule obscurité a préservé de la risée des géomètres,

A ces malheureux quadrateurs succéda, vers le milieu du seizième siècle, Oronce Finée.

€elui-Kn se proposa un objet bien plus vaste qu'aucun mathématicien de ses prédécesseurs ; la quadrature du cerde n'est qu'une petite partie des nombreuses découvertes qui composent sou livre, de Rébus matJiematicis Tiactenus desideratis. L'invention des deux moyennes proportionnelles , la trisection de l'angle , l'inscription de tous les polygones d'un nombre impair de côtés, dans le cercle, que Sais-je? Rien ne se refusa à ses efforts : il surmcmta lui seul toutes les difficultés qui avatentjusque là arrêté les géomètres ; mais l'illusion ne fut pas de Ion-

ao4 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

gue durée. Un de ses disciples, nommé Buteon^ mathématicien plusjudicieux, l'attaqua le premier et démontra ses erreurs. Il fut secondé par un mathématicien portugais, justement célèbre de son temps, savoir, Pierre Nonius (on NiigneSj dans sa langue), qui releva les bévues d'Oronce avec plus d'étendue, dans un livre exprès, intitulé Z^^^rra^û' OrontU. Ainsi s'évanouit l'espérance d'une immortalité brillante dont Oronce s'était flatté; et l'ouvrage sur lequel il s'était reposé pour sa réputation fut regardé comme une des plus misérables productions qu'on eût vues depuis long-temps.

Au reste, Oronce prétendait, ce qu'il peut être utile à quelqu'un de savoir pour le prér server de la même erreur; il prétendait, dis-je, que la circonférence du cercle était la moindre des deux moyennes proportionnelles entre les contours des quarrés inscrit et circonscrit; mais cette moyenne excède les simples limites d'-^rchimède^ et on le réfuta dès lors en le lui montrant. Depuis ce temps, Hujgens a démontré immédiatement que la circonférence du cercle était toujours moindre que la moindre des deux moyennes, soit arithmétiques, soit géométriques, entre les contouï*s des polygones semblables, inscrit et circonscrit, quels qu'ils soieiit.

DD GBRGLE. ao5

On vit peu de temps après la chute d^Orônce^ paraître dans la carrière un nouveau prétendant a l'honneur de quarrer le cercle; il se nommait Simon f^anrEjrk{Duchesne). Celui-ci fiit apparemment moins maladroit que les précédens; car Pierre Métius^ qui le réfuta^ fut obligé pour le faire, de déterminer des limites beaucoup plus resserrées que celles à^jàrchi-mède : ce fut là l'occasion de sa découverte du rapport approché de ii5 a C55, qui convient avec les chiffres de Ludolph^ jusqu'au septième inclusivement. La quadrature de Duchesne ne résista pas à cette rigoureuse épreuve , et fut universellement reconnue pour fausse.

Parmi ceux qui se sont flattés dans ces derniers temps d'avoir atteint précisément la vraie mesure du cercle^ aucun ne l'a fait avec plus de confiance que Joseph Scaliger. Non content de la célébrité dont il jouissait comme profond érudit, il prétendit acquérir le premier rang parmi les mathématiciens. La découverte de la quadrature du cercle lui en parut un moyen assuré ; et il la trouva comme

ao6 HISTOIRE DE hk QUADRATURE

font tous ceux qui , k pdoe initiés dans la Géo-^ métrie^ s'engagent à la rechercher, persuadés qu'elle ne leiur échappera pas. Il exposa sa rare dëoooverte dana le livre intitulé Noça Cyclo^ metriaj en iSgn ; et l'air d'assurance avec lequel il l'annonça en imposa à bien, des g&as , qui n^ésitèrent pas à lui ceindre le laurier de géo« mètre f mais ceux à qui seuls il appartenait de décider du mérite géométrique en jugèrent hiea autrement. Le grand nom de Scaliger demandait de grands adversaires* Viète^ le -pre^ mier mathéinaticien de son temps, le réfuta, de même qa^uàdrianus RomanuSy géomètro célèbre des Fays-Bas, et le. P. Claufius. Ce dernier surtout 1^ mortifia extrén^ment; 11 fit voir que de la quadrature prétendue de Sca^ Uger^ il s'ensuivait que la circonférence du dodécagone inscrit était plus grande que celle du cercle qui le renfermait. Il ne se borna pas«à cela; les solutions pitoyables de la trisection de l'angle, de Tinscriptioa des polygones, don^ nées par SeaUger, ne furent pa^ traitées avec plus d'indulgence. Ses paralogismes^ sa con*tradictson peipétuelle avec les principes les ^us assurés de la Géométrie, furent mia a»

grand jour par l'Allemand Cla\iuSj qui, pour rendre la critique encore plus amà*e, releva

DU GRRGLE. [207

le coatraste humiliant des grossières bévues de Scaliger, avec sa confiance el la manière insultante dont il avait traité Euclide et ^reMmède^ U n'y ent qu'une voix à son sujet, du moins parmi les géomètres. J'ajoute à des* sein cette restriction , car je n'ign<M^ pas cfue tel est regardé comme un grand homme par des gens hors d'état de l'apprécier, qui n'est qu^un objet de mépris pour ceu^: qui cultivait le même art ou la même science. Nous en avons de nombreux exemples. Quant k Scaliger^ cou»

FOnné par ses amis ou quelques ignorans, il îxkX mis, par ceux qui étaient versés dans la Géométrie , au rang des plus maladroits quadiaieurs.

vni.

Une histoire aussi détaillée des autres géo« mètres de cette espèce serait longue , et le peu d'intérêt qu'on doit y prendre ne la rendrait pas supportable : je me borne donc à faire passer brièvement en revue ceux dont il me reste à parler. J'ai regret de trouver ici Longo^ monlanus. Ce célèbre astronome du commencement du siècle dernier se fît un vrai tort, par la faiblesse qu'il eut de se faire illusion sur la quadrature du cercle. U voulut que le dîa-

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mètre fut à la circonféreuce comme looooo à 3i4i85 ^*'; cela est suffisamment réfuté par les rapports qu'on a donnés ci-dessus , suivant lesquels la circonférence est moindre que 3 141 6a des' mêmes parties ; mais Longomontanus mé* rite quelque indulgence, eu égard aux travaux utiles dont on lui est redevable en Astronomie. A peu près dans le même temps , Jean-Bàptiste Porta ^ Napolitain 9 tenta la voie des lunules pour parvenir à la quadrature du cercle. Oq trouve bien des puérilités dans son ouvrage, qui aboutit enfin à des paralogismes palpables; et quoiqu'il y eût mille propriétés curieuses de& lunules, que des géomètres qui ne songeaient pas à la quadrature du cercle ont aperçues- {yojrez ci-dessus, p. 40 , la note a\ Porta n'en rencontra aucune , mais seulement des erreurs. Tel est ordinairement le procédé de ceux qui s- adonnent a ce problème : il est hors d'exemple que leur travail ait procuré la moindre découverte géométrique; j'en excepte le seul Grégoire de Saint-Fïncent^ dont j'ai parlé avec éloge.

Le fameux Hobbes donnait, il y a près d'un

CO Huygens, De circuli magmtudine imenia. Opéra varia, p. 385.

siècle, dans un travers semblable; on peut même dire qu'il surpassa en ridicule tous ses prédécesseurs en ce genre; car non-seulement il crut avoir réussi à quarrer le cercle, et à trouver les deux moyennes proportionnelles, mais on ne vit jamais un pareil acharnement à le soutenir contre Wallis^ qui prit la peine de le réfuter par plusieurs écrits. Le dépit qu'il en conçut se tourna contre les géomètres et la Géométrie elle-même. D'abord il en avait admis la méthode et les principes; les contradictions que Wallis lui opposa le conduisirent peu à peu à s'inscrire en faux contre tous les axiomes, et il en entreprit la réforme entière dans le livre intitulé De ratiociniis et fastu geometrarum. Cette querelle lui fit enfanter une foule d'autres écrits, dont les extraits consignés dans les Transactions philosophiques^ ne contribueront pas à établir sa réputation dans la postérité.

Je citerais encore un grand nombre d'autres personnages à mettre à côté de ces prcr miers. Un Oliner de Serres^ qui trouvait savamment que le cercle était double du triangle équilatéral inscrit; et, ce qui donne une grande idée de ses connaissances en Géométrie , il ignorait que ce double est l'hexa-

aïO HISTOIRE DE Ll QUADRATURE

gone^'^. Uh siéur Delaleu^ qui fatigua vers le milieu du siècle passë^ les géomètres^ par sou obstination à maintenir ses paralogismes^ contre les réfutations solides et évidentes cpi'on y opposa. Un sieur MaUemant de Messange, célèbre dans les journaux du temps , par ses impertinens systèmes physiques ^'^ Un sienr Detles^e CIiu^er^^\ qui quarrait métaphysiquement le cercle, et déquarrait (qu'on me permette ce terme) la parabole, insultant aux géomètres qui avaient été si long-temps les dupes diArchimède. Il ne tint pas à Leibmtz de se donner la comédie et à toute l'Europe, en le mettant aux prises avec Nieuwentjrtj qui, dans le même temps, entassait bien des mauvais raisonnemens sur le calcul

CO Ceci n'est pas exact. Dans le 3* chap. du i" lieu de son Théâtre d* agriculture, Olivier de Serres dit qu'il a trouvé, au moyen de leur poids > que le cercle et le quarré construit sur le côté du triangle équilatéral inscrit sont sensiblement égaux ; mais il n'annonce aucune prétention à une découverte , et veut seulement suppléer à des considérations plus élevées qu'il paraît n'avoir pas connues : aussi Montucla^ dans la dernière édition de son Hùt. des Math., ne Ta-t-il plus mis au nombre des quadrateurs.

C*) Journal des Savans, 1679, 80, 81, etc.

C*) Actes de Leipsic, ann. 1696.

ou GEHGLE. 211

différentiel. Mathulon^ enfin , condamné il y a environ trente ans^ par un tribunal de justice^ à la peine qu'il s'était imposée lui-même , si Toa convainquait sa quadrature de fausseté : la perte d'une somme de mille écus fut la puni-* tion qu'il essuya pour avoir eu l'ambition de quarrer le cercle, et la témérité de défier par-devant notaires, les géomètres de relever la moindre erreur dans ses raisonnemens.

Parmi cette foule de quadrateurs obstinés à se refuser aux preuves les plus évidentes. Basselin est un des plus récens ; il ne faut qu'avoir jeté les yeux sur son livre, pour juger que c'était un des plus pitoyables et des plus embarrassés. Son prétendu rapport s'accordait à peine jusqu'au quatrième chiffre , avec les limites trouvées par Ludolph; aussi prétendait-il infirmer leur certitude, parce qu'elles sont au-dessous du juste milieu de celles HiArchi^ mède. On lui demandait quelle assurance il avait que la véritable grandeur du cercle ne fût pas au-dessous de ce juste milieu. C'était, répondait-il , sa quadrature ; et il se disait assuré qu'elle était exacte, parce qu'elle se rencontrait dans les limites d'j^rchimède, comme si mille autres rapports aussi faux que le sien ne se rencontraient pas également entre ces limites.

âia HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Eu vain lui faisait-ou mille raisouuemeus très palpables pour le désabuser, ce pauvre géomètre qui , dans le temps qu'il quarrait le cercle , ignorait qyiy^rchimède eût quarré la parabole , est mort dans l'intime persuasion qu'une postérité plus équitable reconnaîtrait quelque jour ce que ses jaloux contemporains lui contestaient; car c'est un faible qui ajoute encore au ridicule des gens de cette espèce, que de se persuader que la jalousie seule des sayans et surtout des académies, leur oppose les contradictions qu'ils essuient. BasseUn appréhendait extrêmement les effets de cette jalousie, ou quelque plagiat odieux; il en agit toujours avec les commissaires qu'il avait extorqués , comme un homme qui craint de se voir enlever un secret inestimable; il ne dévoila entièrement sa découverte que daus l'impression, pour s'en assurer la gloire.

J'avais cru d'abord devoir m'imposer la loi de ne point parler des quadrateurs vivans, puisque je ne pouvais avec équité les ranger dans une autre classe que ceux qu'on vient de voir; mais j'ai fait réflexion que puisqu'ils avaient couru le hasard du jugement du pu-

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blic , il m'était permis de lés citer devant lui : je me bornerai néanmoins à un petit nombre, c'est-à-dire à ceux que le hasard m'a présentés, ou à qui la singularité de leurs prétentions a donné une sorte de célébrité.

Lfger a rempli les Mercures d'écrits concernant la quadrature du cercle, et a fait un ouvrage particulier pour prouver que la partie n'est pas moindre que le tout, qu'il n^ a point d'incommensurables, que la racine quarrée de 24 est la même que celle de :î5, et celle de 5o la métne que celle de 49 > etc. Il prouve tout cela, non par des raisonnemens métaphysiques, mais clairement et aux yeux ^ par le mé^ canisme en plein des figures ^ pour me servir de l'expression qu'il emploie dans un écrit que j'ai vu de lui. Le sieur Tondu de Nangis est l'auteur de l'insigne découverte de mesurer, non plus les lignes courbes en les comparant aux droites, mais les droites en les comparant aux courbes.

Le sieur Clerget a redressé les idées des géomètres sur le cercle. On l'avait cru, depuis l'enfance de la Géométrie, une figure plus grande qu'aucun polygone régulier inscrip-tible, quel que fût le nombre de ses côtés, ou, suivant la Géométrie moderne, un polygone

qui en a une infinité. L'auteur dont nou$ parlons a trouvé que c'est un polygone d'un certain nombre de côtés déterminé. Fondé apparemment sur de nouvelles découvertes arith-^ métiqueSy il prétend qu'il y a de la contra-*diction dans la valeur approchée que les géomètres assignent à la circonférence circu* laire; car, dit-il^ comment se peut-il faire que les uns l'exprimant par ^^^ d'autres nous disent qu'elle est \^^, et qu'enfin il y en ait qui l'expriment par 20, 5o chifires, etc. Avec une pareille sagacité , Tauteur pourra contester que la racine quarrée de 2 soit ^ , a moins d'un millième près, parce qu'un autre afiectant une exactitude supérieure, aura dît qu'elle était i|^~, qui en difiere de moins qu'un looooooo*. M. C. enfin ne se bornant pas à la découverte de la quadrature du cercle, a trouvé la trisection de l'angle, et surtout, ce qui est admi* rable, la grandeur du point où se touchent deux sphères inégales. Il démontré aussi, à l'aide des principes féconds dont il est l'inventeur, que la terre ne peut tourner autour de son axe et dans son orbite , sans une absurdité palpable.

Il m'aurait été facile de grossir cette liste, si j'avais donné le moindre soin à rechercher ces

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écrits dignes de l'oubli où ils tombent y après avoir quelquefois amuse le public par leur singularité et la confiance de leurs auteurs; mais je croirais avoir à me rendre compte à moimême d'un temps si mal employé, et je craindrais d'encourir le blâme des géomètres, si je leur présentais un plus grand nombre de ces objets, qui ont à peine auprès d'eux le mérite du ridicule.

!2l6 HISTX>IRE D£ LÀ QUADRATURE