CHAPITRE VL

jiddition , contenant Vhistoire cte quelques autres problèmes fameux en Géométrie ^ commit ceux de la duplication du cube au des deux moyennes proportionnelles ^ et de la trisection de Fangle.

L'impression de cet ouvrage était fort avancée, lorsque des personnes aux avis desquelles je défère, m'ont conseillé de profiter de Toccasion présente pour traiter historiquement ces deux problèmes , qui le cèdent peu en célébrité à celui de la quadrature du cercle. Je me suis déterminé sans peine à ce nouveau travail, dans la vue de Futilité qui peut en être le fruit. On ne voit en effet que trop de personnes malheureusement obstinées à la recherche des deux moyennes proportionnelles, ou de la trisection de langle, sans avoir jamais examiné et connu la nature de ces questions.

Ce chapitre , indépendamment qu'il contient •un morceau assez curieux de l'histoire de la Géométrie, m'a paru propre à les instruire et à

les désabuser; elles y verront qu'elles s'occupent infructueusement a rechercher, ou ce qui est déjà trouvé, ou ce qu'on ne saurait trouver. Je m'explique : ces problèmes sont résolus autant qu'ils peuvent l'être; en ce sens, y travailler, c'est chercher ce dont on est déjà en possession ; mais prétendre les résoudre par la règle et le compas seulement, c'est-à-dire par de simples intersections de lignes droites et circulaires, c'est s'obstiner à une recherche vaine et impossible. Cette vérité n'est aujourd'hui sujette à aucune contestation parmi les géomètres, et l'on s'attachera plus bas à la bien prouver. J'entre en matière, et je commence par la duplication du cube ^'\

Il s'agit, dans celte première question, de

0) En 1 798 , M. Nicolas Théodore Reimer a publié sur ce sujet un ouvrage spécial , intitulé Historiaprobîematis de cubi dupplicatione (Gottingue) , dans lequel il a fait une revue exacte des fragmens que les anciens nous ont laissés , fragmens peu connus lorsque Montucla écrivait. La plus grande partie se trouve dans le Commentaire d'Eutocius sur Archimède , dont Torrelli a laissé une édition bien complète , qui a été imprimée à Oxford en 179S1.

3l8 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

trouver un cube^ ou plus gëuëralemeat vtrk solide quelconque , précisément double oix en raison donnée, avec un solide semblable. Les géomètres aperçurent bientôt que cela se réduisait à déterminer les deux moyennes proportionnelles continues entre deux lignes doanées. Hippocrate de Chio fut, dit-on, Tauteur de cette remarque; elle suit de cette propriété des progressions géométriques si connue, que le quarré du premier terme est au quarré du second comme le premier au troisième; le cube du premier terme à celui du second connine le premier au quatrième , etc. ; c'est-à-dire qu'en général la puissance du premier terme, désignée par l'exposant /i, esta la puissance semblable du second, comme le premier terme à celui dont le rang dans la suite est exprimé par /z + i . Ainsi A étant le côté d'un cube proposé, la première des deux moyennes continues entre A et mK , sera le côté d'un cube multiple du pre-* mier, comme m l'est de l'unité ^*^ Ce qu'on vient de dire des côtés d'un cube s'applique aux côtés homologues des solides semblables; il suffit, pouf le voir, d'être initié dans la Géométrie.

(*^ Puisque dans la progression ^ k\x\y\mk^ on aura h?\x^\\k\mk^ d'où 9? = mk^.

DU CBRGLB. 219

Tout le monde sait la manière dont on raconte l'origine du problème de la duplication du cube : c'est en Géométrie un trait aussi fameux que celui de l'hécatombe immolée par Pjrihagore. Si l'on s'est moqué avec justice de ce prétendu sacrifice, qui n'est compatible ni avec les facultés d'un philosophe, ni avec les dogmes qu'enseignait celui de Samos^''^^ on ne doit pas plus d'égards à l'histoire qu'on fait du problème des deux moyennes proportionnelles.

Je ne répéterai donc pas ici ce quW trouve dans tant d'autres endroits , la fable de cette divinité bizarre, qui demandait un autel pré^cisément double de celui qu'elle avait, et qui fit continuer la peste qui ravageait l'Attique jusqu'à ce qu'on l'eut satisfaite. Eratosthenes donne à ce problème célèbre une origine moins brillante. Un certain tragique, dit-il, avait introduit sur la scène Minos élevant un monument à Glaucus^*^; ses entrepreneurs lui donnaient cent palmes en tous sens; mais le prince, sur rinspection de Touvrage , qui ne répondait

CO Gicéron , De naiura deorum, III , 36.

(0 M. Reimer dit quô c'est Euripide , et cite la Diatribe de Walckenaer sur les iragmens de ce poète.

a30 HI9T0IRE DE LA QUADRATURE

pas à sa magnifîœnce^ ordonna qu'on le fit double : de là ^ ajoute-t-il, quelques-uns pri— rent sujet de demander aux géomètres comment ils exécuteraient une pareille volonté?

Ils tentèrent la question de bien des manières , tachant de construire un cube double d'un autre y jusqu'au temps à^Hippocrate, qui leur enseigna qu'elle se réduisait à l'invention des deux moyennes proportionnelles continues.

Dans la suite, l'oracle de Delphes ayant demandé qu'on doublât Tautel du dieu qtiî y présidait, les entrepreneurs voulant exécuter cet ordre , fiirent obligés de consulter l'école platonicienne, qui faisait une étude spéciale de la Géométrie. Telle est, sm^oul Ératosthènes^la^ manière dont le problème de la duplication du cube se présenta la première fois aux géomètres , et dont il leur fui proposé de nouveau, après en avoir été, ce semble, oublié pendant quelque temps ^*^.

CO Vojr. dans les OEuvres morales de Ptatarque, Du démon de Socrate, De la signification du mot u , et le 8* livre des Sjrmposiaques ; voy. aussi F'itruve, liv. 9, cb. 2. La citation d'Ératosthènes se rapporte à une lettre adressée par ce géomètre au roi Ptolomée Évergète ; on la trouve à la page i44 de l'édition d'Archimède indiquée plus haut ; elle est suivie d'une épigramme.

Mais quelle que soit roccasion qui les engagea dans cette reclierche^ il est certain qu'elle avait acquis une grande célébrité dès le temps de Platoîu Valère Maxime (liv. VIII, ch. 12), raconte au reste un trait fabuleux, quand il dit que ce philosophe renvoya à Euclide les députés qu'on lui avait adressés , comme au plus habile géomètre de la Grèce; comment cela pourrait-il se soutenir, puisqu'il est certain qvL Euclide le géomètre ne florissaii qu'un demisiècle après Platorij et que le philosophe de Mégare , qui porta lé même nom , ne s'occupait que de sophismes? Quelques-uns ont soupçonné qu'il fallait lire Eudoxe; il est, je crois, plus sûr de traiter toute l'histoire de fable.

L'école platonicienne fournit plusieurs solutions du problème de la duplication du cube. Platon en donna d'abord une fort simple , et qui n'emploie que les moyens de la Géométrie élémentaire ; il est vrai qu'elle exige un tâtonnement, et l'usage de quelque instrument autre que la règle et le compas, ce qui n'est point admis dans la rigueur géométrique. Ce défaut que le chef des géomètres ne chercha pas à

éviter, nous donne lieu de penser qu'il n^eut en vue que la facilité de l'exécution, et qu'il sacri* fia à cet avantage réel une délicatesse superflue. Voici en substance le procédé de Platon. Si Ton a deux triangles, comme ÂCD, CDE {fig.25)j rectangles l'un en C, l'autre en. D, et dont les hypothénuses AD et CE soient perpendiculaires l'une à l'autre , les lignes AB, BC , BD, BE sont en proportion continue.

Ayant donc disposé à angle droit les deux extrêmes donnés AB, BE, il s'agit de tirer des points A, £, les parallèles AC, ED, jusqu'aux prolongemens de AB, CB, et de faire <]u'en même temps les deux angles en C et D soient droits. Pour exécuter cela avec plus de facilité, Platon imagina un instrument composé d'une base FG ÇJig. ^5*) , et de deux coulisses FH, GI, perpendiculaire, dans lesquelles glissait une règle mobile KL , qui par là restait toujours parallèle à la base. Cet instrument servait à trouver à la fois les points G , D : pour cet effet , on écartait de la base la règle mobile, et Ion faisait en sorte que, les points A, E étant dans ces deux parallèles, les lignes ABD , EBC passassent par les angles de ces parallèles avec l'une des coulisses latérales. Par ce moyen , les angles C , D étaient droits , et en même temps

Dtî CERCLE. 2:k5

les Jignes AC^ ED parallèles , ce qui résolvait le problème ^'^ Quelques-uns variant la construction de Platon^ se servirent de deux équerres mobiles, ÂGD, CDE, qu'on disposait de manière que le point A étant dans le côté AC, et les lignes BC, BD passant par les angles C et D des équerres, le côté DE rencontrât le point E. Ce dernier procédé a fourni à un analj^ste du sdizième siècle {Raphaël Bombelli), l'idée de construire par une voie semblable toutes les équations des troisième et quatrième degrés, ce qu'il exécute fort ingénieusement ^'^

La solution donnée par Platon a , comme on voit, le défaut de ne pouvoir être avouée par la Géométrie; elle est, à la vérité, commode dans l'exécution , mais elle blesse la rigueur dont cette science se fait gloire. Archjtas en donna une autre , qui a un défaut tout-àfait contraire; celle-ci est uniquement intellectuelle; d'ailleurs, elle est fort satisfaisante pour l'esprit, et peut faire concevoir une idée

CO Voy. Archimedis Opéra, Oxoniae, 1792, p. ï35, et VÀDDiTtON à la page 228 du présent ouvrage. <•) t^iyyez son Algèbre,

3a4 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

avjantageuse du génie de son inventeur. Afin d'abréger 9 je me contenterai de l'indiquer.

j^rchjrtasimsLgine, sur la surface d'un cylindre droite une ligne courbe décrite par Tinterseotion continuelle de cette surface , avec la circonférence d'un demi-cercle qui se meut d'une certaine manière; ensuite il fait rencontrer cette ligne courbe par une surface conique, ce qui donne un point d'où dépend la solution du problème. Au reste, comme je l'ai déjà dit, quelque ingénieux que soit ce procédé, il est tout pour l'esprit, la pratique n'en saurait tirer aucun secours.

Ceux qui connaissent peu l'ancienne Géométrie se persuadent ordinairement que la vraie solution de ce problème est d'une date moderne , et que Descartes en a le premier dévoilé le principe. Il est vrai qu'il l'a beaucoup perfectionnée, mais les anciens l'avaient déjà ébauchée dès le temps de Platon. Nous avons deux solutions d'un géomètre contemporain et disciple de ce philosophe , qui emploient les sections coniques : dans l'une, ce sont deux paraboles; dans l'autre, une hyperbole entre les asymptotes combinée avec une parabole. Ce

BU GEIIGLE. 225

géomètre est Ménechme^ frère de Dinostrate, à qui mi vers de* répigramoie â^Érastothènes semble attribuer l'iavention des sections coniques : ses deux solutions sont trop remarquables pour ne les pas rapporter ici; je les exposerai f en suivant la méthode analytique dont il se servit apparemment pour y parvenir.

Je suppose que les extrêmes données soient A et D, et les deux moyennes cherchées B et C : le quarré de B sera donc égal au rectangle A X C^ à cause de la proportion continue qui règne entre A^ B^ C; par conséquent la ligne B seta l'ordonnée d'une parabole^ dont A est le paramètre et C l'abscisse. Soit donc décrite avec ce paramètre et sur l'axe AC indéterminé^ une parabole KRb (Jig. 26) ; les lignes B et C seront quelques-unes des coordonnées BC^ AC, ou bc, Ac, ou etc. ; mais B, C et D étant continuement proportionnelles, le quarré de C doit être égal au rectangle B x D, ou l'abscisse AC cherchée de la première parabole doit être telle, que son quarré soit égal au rectangle de BC, par la seconde des extrêmes données. AC étant donc encore considérée comme abscisse, BC sera l'ordonnée d'une parabole extérieure AB^, dont la propriété est, comme on sait, d'avoir les quarrés de ses abscisses constamment égaux

aax rectangles de ses ordonnées par une ligne constante; au reste ^ cette parabole extérieure n'est que la parabole ordinaire décrite sur un axe AD, perpendiculaire au premier. Ainsi l'intersection de ces deux paraboles donnera la solution désirée, puisque par ce moyen, BC, comme ordonnée de la première parabole ABb, sera telle que A : BC :: BG : AC , et qu'en vertu de la seconde AB^, on a BC ou AD : BD :: BD ou AC : D ; d'où il est manifeste que A, BC, AC et D sont en proportion continue.

Une analyse facile conduit de même a la $&• coude solution de Ménechme; car, puisque les quatre lignes A, B, C, D sont en proportion , le rectangle B x C est égal au rectangle constant et donné A X D. Les lignes cherchées B, C sont donc les coordonnées d une hyperbole ODl (Jîg. 27), entre ses asymptotes, et où les rectangles, comme CIAB, ciàB, sont tous égaux entre eux et au rectangle A X D* Or, à cause de la proportion continue, le quarre de B est égal au rectangle C X A ; d'où il suit que B est l'ordonnée d'une parabole dont le paramètre est A , et l'abscisse C. Ayant donc pris BA pour axe , on voit qu'en décrivant la parabole BD, dont le paramètre est A, elle coupera l'hyperbo^ à l'endroit cherché D, qui don-

nera les deux moyennes ED, BE. En effet, à cause de la parabole, A : ED :: ED : BE, et ces mêmes lignes ED, BE, appartenant à l'hyperbole, donnent ED X BE= A x D, c'est-à-dire A : ED :: BE : D; d'où se conclut aisément la proportion continue.

Quoique j'aie donné des éloges à ces deux solutions, je n'ignore cependant pas qu'elles ont un défaut assez considérable, défaut qui n'a pas échappé aux anciens même. Il consiste en ce qu'elles emploient deux sections coniques, tandis qu'une seule combinée avec un cercle pouvait suffire. C'est en quoi les Descartes, les Sluse j etc. , ont beaucoup perfectionné la méthode des lieux géométriques. Les anciens employaient ordinairement les premiers qui se présentaient, et ce n'étaient pas toujours les plus simples; les modernes ont enseigné à choisir les plus commodes : mais cela doit peu diminuer le mérite de l'auteur de cette ingénieuse invention; aurait-on droit d'attendre qu'il lui eût donné tout à coup la perfection dont elle était susceptible ? La Géométrie ancienne nous en fournit d'autres exemples où il n'y a rien de pareil à redire.

aa8 HISTOIRE DE LA QtJADRlTURE

Euidoxe de Cnide ftit un des géomètres contemporains de Platon^ qui travaillèrent à la duplication du cube ; il ne reste plus de traces de sa solution, grâces à la mauvaise humeur dUEutocius ^'^j qui la déprime fort et nous la représente comme pitoyable. Cependant on en pensera bien autrement, si l'on a quelque égard au témoigaage à*Ératosthènes^^, qui en parle avec autant d'éloge qv!Eutocius affecte de mépris pour elle ; et le jugement de ce pbi^ losophe et géomètre célèbre doit l'emporter sur celui du commentateur d^Archimèdey venu près de dix siècles après Eudoxe^ et qui n'a peut-être vu qu'un manuscrit altéré. Cet endroit d^Ératosthènes nous apprend que le géo* mètre de Cnide avait imaginé certaines courbes particulières pour la résolution de ce problème , et que ces courbes étaient différentes des sections coniques, puisqu'il parle plus haut de ces dernières au sujet de Ménechme. Les courbes inventées par Eudoxe avaient proba-

<•) Comm. in Archimed, de sphœra et çylindro^ Archimed. Opéra, p. i35.

C») Ibidem, p. 144.

blemént de la ressemblance avec celles que le même motif a fait imaginer à divers géomètres, tels que le père Griemberger^''^, Rénal-dini^^^j qui nomme les siennes ilfe^/ce^^ comme si une maison illustre avait à tirer quelque nouvel éclat d'une courbe géométrique; Barrow, qui fort sagement ne donne aucun nom aux siennes ^'^, etc.

Le problème des deux moyennes proportionnelles continua d'être un sujet sur lequel s'exercèrent les plus habiles géomètres. JÉ'r/ïtosthènesj dont nous avons parlé si souvent^ le résolut par une voie nouvelle, et qu'il est aisé d'appliquer à trouver tant de moyennes proportionnelles qvL^on voudra : il n'y emploie que des lignes droites; aussi est-il obligé de recourir à un instrument autre que la règle et le compas^ Celui qu'il propose est composé de plusieurs planchettes mobiles, qui coulent les unes sur les autres parallèlement à elles-mêmes : je ne le décris pas, afin d'abréger; on peut le

W Villalpandi, descriptio templi Sahmonis.

CO Deresolutioneetcomp. mathem., tom. III.

^*^ Lectionesgecmetricie^f. lîi.

!25o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Toîr dans Eutocius ou dans Pappus ^*\ Ératosihhnes écriyit sur cela un petit traité intitulé Mesolabiumy qu'il adressa au roi Ptolomée^ et qa^ Eutocius nous a conservé , de même que les vers par lesquels il célébra son invention. des vers cependant ne la préservèrent pas des railleries de Nicomède : celui-ci s'en moquait comme d'une chose qui n'était ni bien subtile ni bien conforme à l'esprit de la Géométrie; mais il y a un peu trop de rigueur dans cette critique. La solution à^ÉratosthèneSj quoique mécanique, ne laisse pas d'être assez ingénieuse.

Après ces solutions viennent celles ^Jpolrlonius^ d'fféron d'Alexandrie et de Pkilon de Byzance; je les joins ensemble , parce qu'elles ne sont proprement que la même, variée au gré de ces géomètres. Suivant l'un d'eux, après avoir fait, des deux lignes données AC, CB, le rectangle AB (^g. 28), et partagé la diagonale AB en deux également en R, il fout décrire de ce point un arc de cercle GIF, tel que la ligne GF menée par les intersections G, F de ce

^''^ Archimed, Opéra, -p. i44; Collectionesmathem , lib. III 9 p. 8. Voyez rADomoN à la page a23.

ou GfiRGLB. a5l

cercle avec les côtés CA, CB prolongés^ passe par l'angle D; alors les lignes BF, AG sont les moyennes que Ton cherche. Cette construction revient à décrire sur la ligne AB un demi-cercle, et à tirer FDG, de sorte que les segmens FË, DG soient égaux : on peut satisfaire en tâtonnant à ces conditions; et ainsi le faisait Philon de Bjzance, et Apollonius même, au rapport dUEutocius. Ce commentateur d'-^rchimède attribue à Héron d'Alexandrie une solution rigonreusement géométrique, au moyen de l'hyperbole décrite par le point D, entre les asymptotes CA, CB, et dont l'intersection avec le demi-cercle ADB déterminait le point E, par lequel il fallait mener la ligiie FDG. Cette solution, il faut le remarquer, est une des plus simples et des plus élégantes; mais on doit en faire honneur à Apollonius. En pensant ainsi, je me fonde sur le témoignage de Pappus jqni àitqn Apollonius résolut le problème par les sections coniques, et qui attribue à Héron la solution €\\iEutocius donne à Apollonius^''^ : l'ouvrage d'Héron sur les machines de guerre confirme le rapport de Pappus ^*\

CO CoUect. maihem, , 1. III , p. 9.

(*^ M. Reimer, p. i25 de l'ouvrage cité plus haut.

aSa HISTOIRE DK LA QUADRATURE

De toutes les solutions anciennes du problème de la duplication du cube, celle de iVicomède est une des plus ingénieuses ('\ Par une analyse très subtile, ce géomètre réduisit la question à celle d'insérer, dans un angle comme «Dô 0/%- ^9)* "ne b'gne droite de grandeur donnée, qui, étant prolongée, passe par un point Pj et comme cela ne se peut exécuter généralement par la Géométrie plane, il imagina.

(p. a 17) réfute l'opinion de Montucla, et pense qu'il &ut s'en rapporter à Eutocius sur le véritable auteur de cette solution. Vojez I'Additioit à la page 228,

W Nicomède était un géomètre dont l'âge parait devoir être fixé vers le second siècle avant J.-C.; car on sait d'abord qu'a était postérieur à Éralostkènes, qui fleurit dans le cours du troisième, puisque, suivant Eutocius, il se moquait de sa solution. D'un autre côté, Proclus (Comment. inEuclid., lib. 3, prop.3, prob. 4) nous assure qu'il fut l'inventeur des conchoïde», sur lesquelles Geminus , contemporain ou peu postérieur à Hipparque, écrivit au long dans ses Enarrationes Geometricœ que nous n'avons plus ; ces deux circonstances fixent l'âge du géomètre dont nous parlons, entre Eratosthèrtes et Hipparque, à peu près vers l'an i8o avant l'ère chrétienne.

•pour y suppléer^ sa conchoïde^ avec un instrument propre à la décrire par un mouvement continu. La propriété de cette ligne aka est telle , que b^b étant son axe, toutes les lignes AB, ab^ ab, tirées des points de la courbe vers le pôle P, sont égales entre elles. La figure 3o représente Finstrument dont voici la construction : BP et BC sont deux règles assemblées à angle droit ; le pôle P est marqué par une pointe fixe qui passe dans une rainure faite à la règle mobile ab : aetb sont deux pointes immobiles sur cette règle : la première décrit la courbe demandée, lorsque la seconde parcourt la rainure de la règle fixe BC. On voit facilement que cette courbe est propre , par sa génération^ à satisfaire au problème auquel Nicomède rappelait celui des deux moyennes proportionnelles ; car, soit un angle dDb (Jig. 29), où il s'agit d'insérer la ligne ab, donnée de grandeur et de sorte qu'étant prolongée, elle passe par le point P : qu'on décrive sur l'axe iDBè, une conchoïde dont le pôle soit P ; son intersection avec le côté Da donnera évidemment le point a d'où doit être tirée la ligne ab vers le point P.

Cette construction préliminaire étant supposée, voici comment Nicomède résolvait le

a54 HISTOIRE DB hk QUADRÂTORB

problème des deux moyennes proportionnelles- Il faisait d'abord un rectangle des lignes données AC, CB (^g. a8)y et il les divisait chacune en deux également aux points I, L ; il menait ensuite la ligne DIH, et ayant élevé la perpendiculaire LKy lelle que BK fut égale à CI^ il tirait KH, et sa parallèle BS : c'était dans l'angle FBS qu il fallait adapter la ligne SF ^ale à CI et passant par K, ce qui déterminait le point F de sorte qu'en tirant FDG, les lignes BF, AG étaient les moyennes cherchées. A l'égard de la démonstration ^ il donnait la suivante. J'ai cru devoir la rapporter ici, parce qu'elle est assez composée pour ne pas se présenter facilement, même à des géomètres habiles. La ligne BC, disait-il, étant partagée en deux également au point L, donne le rectangle BF X CF, plus le quarré de LB égal au quarré de LF : ajoutant donc de part et d'autre le quarré de LK, on a CF X BF+LB»

+LK% ou CFX BF+BK*=LF*+LK*=KF*j mais GA : AC :: BC : BF; donc GA : ^AC ou AI :: sBG ou BH : BF. Conséquemment, en composant , GI : AI :: HF : BF :: KF : SF, d'où il suit que GI est égal à KF, puisque AI est égal à SF. Maintenant GI*=CGxGA+AP; donc CGxGA+AP=CFxBF+BK*, parce

qu'oQ a montré plus haut que ces derniers rectangles étaient égaux à KF* : donc^ ôtant ce qu'ils ont de commun, savoir. Al* et BK*, égaux par la construction , il restera CGxGA =CFxBFj d'où l'on tire la proportion CG:CF ::BF:GA. Or CG:CF::DB ouACrBF; donc AC:BF::BF:GA; mais AC:BF::GA : AD ; par conséquent^ ces quatre lignes sont en proportion continue.

Cette démonstration fait voir la raison du procédé dH^poïlomus^ diHéron et de Phihn; ils avaient réduit le problème à faire en sorte que CGxGA fût égal à CF X BF : or, en décrivant un cercle ADBC , le premier de ces rectangles est égal à GExGD, et le second à FD X FE ; îl fallait donc que ces derniers fussent égaux, ce qui arrive quand GD et EF sont égales , et ce que demandaient en effet Philon et Héron d'Alexandrie. L'autre construction, attribuée à jipollonius^ suit assez visiblement de celle-ci , pour me dispenser d'une explication.

La solution àe,JVicomede a l'avantage de réduire précisément à la même difficulté Tinvention des deux moyennes proportionnelles et la trisection de l'angle; îl est fort vraisem*. blable que ce fut l'objet qu'il se proposa, ou

le hasard le servit bien heureusement. Quoi qu'il en soit, comme Ton a montré depuis que toutes les équations des troisième et quatrième degrés se réduisent à ces deux problèmes , on yoit déjà que la conchoïde peut servir à les construire avec la plus grande facilité. V^iète en avait fait la remarque ( Opera^ p, 240 ) ; mais personne n'en a tiré meilleur parti que Newton. Cet illustre géomètre a donné pour chaque forme d'équation du troisième degré, la position du pôle, et la grandeur .de l'angle et de la ligne à y insérer. D'un avis différent de Descartes j dont il discute les motifs de préférence pour les sections coniques, il établit que la conchoïde est la courbe la plus commode pour construire les équations solides.

Les raisons que Newton en apporte dans son Arithmétique universelle {Âppend. sur la cons-truction linéaire des équations) ^ méritent d'être considérées.

U ne reste presque plus à parler que de la SO' lution de Dioclès^''^; celle-ci est encore une des

^O Dioclhs est un géomètre dont l'âge n'est point connu. Je conjecture néanmoins qu'il vivait plus tard que Pappusy qui est du quatrième siècle ; et je me

plus remarquables. A l'iaiitation de Nicomèdej ce géomètre imagina une courbe particulière, savoir, celle que nous appelons aujourd'hui la cissoidey nom qui^ pour le remarquer en passant, parait avoir été commun à une classe entière de courbes chez les géomètres anciens.

PappuSy que je crois antérieur à DiocUs^ avait réduit le problème des deux moyennes proportionnelles à la construction suivante.

Ayant disposé à angle droit les lignes données DC, CL , {fig. 3i), il décrivait du point C comme centre le demi-cercle ABD j après quoi il s'agissait de trouver sur le prolongement de DL , un point G, tel que , menant la ligue AGH, les segmens GO^ OH fussent égaux ; la ligne CO était la première des moyennes cherchées : en voici la démonstration, qui nous donnera en même temps la propriété principale de la cissolde.

Les lignes GO, OH étant égales, il est évident que CF, CK le seront aussi , et par consé-

fonde sur le silence de cet écrivain^ qui ne dit rien de sa solution donnée par le premier, quoiqu'il emploie le même principe. Eutocius, qui vivait vers Tan 54o , cite Diodes et son livre De pjrriis, des machines à feu ; ce qui donne lieu de croire qu'il était ingénieur.

a58 HISTOIRE DB L4 ^^ÂDRATURE

quentKHetFE; or AK: KHou FE :: AF: FG^ et d'un autre côté, à cause des triangles semblables HKD, AKH, AGF, on a KH : KD, ou EF : AF :: AF : FG- Donc FE, AF^ FG sont en proportion continue; par conséquent les quatre lignes AK ou DF, FE, AF, FG sont continuement proportionnelles , et FE est la première des deux moyennes entre AK ou DF et FG ; mais comme c'est entre CD, CXi qu'on cherche les moyennes proportionnelles, et que ces ^nx lignes sont en même raison que DF, FG, il s'ensuit qu'avant trouvé la première des moyennes entre ces dernières, il n'y aura plus qu'une simple proportion à faire pour déterminer la moyenne qui convient à CD, savoir^ comme DF à FE, ou AK à KH , ainsi CD ou AC à CO : par conséquent CO est la première des moyennes cherchées.

On voit donc que dans toutes les différentes positions de la ligne DLG ou de la ligne AGH, le point G, qui résout le problème, est tellement situé, que GO=OH. De là Dioclès prit occasion de décrire la courbe où se trouvent tous ces points , au lieu de les chercher par tâ-^ tonnement. Alors la première propriété de cette courbe est, qu'ayant tiré une ordonnée quelconque FG, les lignes DF, FE, AF, FGsont

Dtr CERCLE. jSg

en proportion continue. Il est aisé d'en faire Tapplication au problème des deux moyennes proportionnelles; car ayant mis les extrêmes à angles ^droits comme ci-dessus^ décrit le cercle ABD^ et la cissoïde AgGB, la ligne DL prolongée la rencontre en G, d'où tirant AGH, qui coupe CB en 0, la ligne CO est la première des moyennes cherchées. I^a construction de Sporus diffère si peu de celles de Pappus et de Dioclès, qu'on a lieu de s étonner quEuta^ dus ait pris la peine de la développer au long; elle ne méritait pas ce détail.

Je ne dois pas omettre une remarque qui relève beaucoup la solution de Dioclès; c'est qu'on peut décrire sa cissoïde par un mouvement continu. Newton en a donné le moyen, et il ne faut pour cela qu'une simple équerre. Ayant pris pour pôle le point P tel quePC=AD, qu'on ait une équerre dont le petit côté soit égal à AD, et l'autre indéfini; si on la fait mouvoir de manière que ce dernier côté étant appliqué au point P, l'extrémité du petit côtéR coule le long de l'axe ou règle CR, le point s qui le partage en deux églement, décrira la cissoïde« {Arithmét* univers. , Appendice sur la construct. linéaire des équations.)

a^O HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Le problème de la trisection de l'angle est de la même nature que le précédent; son affinité avec lui m'engage a exposer d'abord les solutions qu'il reçut dans l'antiquité; je viendrai ensuite aux recherches que l'un et l'autre ont occasionées parmi les modernes.

Les premiers moyens qui se présentent pour parvenir à la trisection de l'angle sont les suivans; et ils sont si naturels^ qu'il est a présumer qu'ils ne furent pas long-temps ignorés des anciens. Si BAC fjig. Sa) est l'angle proposé ^ après avoir abaissé la perpendiculaire BC, formé le parallélogramme CG et prolongé CA indéfiniment 9 il s'agit de tirer la ligne BDË de telle manière que la partie DE soit égale à deux fois la diagonale AB; alors 1 angle DEA est le tiers de BAC. Pour le voir, il suflBt de prendre le milieu de la ligne DE et de tirer AO; le triangle AOE est isocèle ainsi que BAO; par conséquent l'angle OEA est la moitié de l'angle ABD, et la somme de ces deux derniers étant égale à BAC , celui-ci est triple de DEA. Il était encore aisé de remarquer que, si d'un point C du demi-cercle ACD (^g. 55), on tire CDE, de sorte que la partie DE, inter-

DU CERCLE. :à^t

ccptée entre la circonférence et le diamètre prolongé, soit égale au rayon , on aura encore l'angle DEF égal au tiers de ABC.

On s'obstina sans doute long-temps à chercher la solution de l'un et de l'autre de ces pro^ blêmes par la Géométrie élémentaire , avant que de s'apercevoir qu'ils étaient d'une difficulté supérieure aux moyens que fournit Cette Géométrie. Après un grand nombre de tentatives infructueuses, ou qui n'avaient produit que des paralogismes y on se tourna enfin du côté des sections coniques et de diverses autres courbes. Pappus nous rapporte la manière ingénieuse dont quelques géomètres employèrent l'hyperbole pour résoudre le premier dpe ces problèmes auxquels on avait réduit celui de la trisection ^*\ Je vais l'exposer, au moyen de l'analyse qui servit à la trouver.

Que DE {Jig. 52) soit la ligne cherchée, et que l'on achève le parallélogramme GDEF; on voit d'abord que EC : CB :: BG : GD ou EF; conséquemment EC x EF = AC x AG ; d'où fl suit que le point F est dans une hyperbole eiitre les asymptotes CE, CH , et passant par le point G; mais DE est donnée de grandeur, par con-

1«) Coltect. mathem, , 1. 4, prop. 3i, 32.

:34a HISTOMB BB Uk QUIDRÀTUKE

séquenl aussi soa égale GF ; ce qui fait Toir que le poiut F est aussi dans la circonféreuce d'un cercle doat G est le centre et GF le rayon : il est donc dans l'intersection commune de rhjperbole et du cercle , ce qui le rend aise à déterminer, puisqu'il n'y a qu'à décrire une hyperbole par le point G, entre les asymptotes CE, CH, et, du point G comme centre, avec un rayon GF égal à aAB, décrire un cercle; le point où ces deux courbes se couperont sera tel, qu'abaissant l'ordonnée FE, on aura le point £ qu'on cherche et la position de la Ugne DE.

On peut exécuter la même chose par le moyen de la conchoïde; car il est évident que celle qu'op décrira en prenant pour pôle le point B , avec les ordonnées convergentes à ce pôle, et de la longueur qu'on demande, coupera la ligne CE au point cherché ; aipsi cette courbe sert également à résoudre le problème de la trisection et celui des deux moyennes proportionnelles.

A l'égard de la seconde construction que représente la figure 33 , on y satisfera aussi aisément en employant une conchoïde, non pas à la vérité celle dont on vient de parler, que les anciens nommaient la première; mais la

DU GBBGLB. 245

seconde, qui se décrit au-dessous de Taxe, au Heu que l'autre est demte au-dessus. Il est à propos de remarquer îci qu'on né doit point regarder ces deux conchoïdes comme des courbes différentes ; elles sont les deux branches de la même courbe : c'est ainsi que les hyperboles opposées forment ensemble Th jperbole entière, avec cette différence, que ces dernières s'éloîgnent de plus en plus de leur axe commun , au lieu que les branches de la conchoïde s'en approchent de plus en plus.

Xffl.

Les anciens donnèrent une autre solution du problème de la trisection de l'angle, où ils employèrent l'hyperbole d'une manière différente de celle qu'on a fait connaître un peu plus haut; c'est encore Pappus qui la rapporte ^^: elle est si élégante qu'elle mérite qu'on en fasse mention. C'est une suite de cette belle pro^ priété de l'hyperbole décrite entre des asymp* totes faisant un angle de 120®, savoir : que prenant sur son axe une abscisse BA {Jtg^ 54), égale à la moitié de l'axe transverse DB , et tirant de ce point A et de Tautre extrémité D

C«) ÇoUect. mathém, , 1. 4, prop. 34.

!244 HISTOIRE DE I^A <}UADRATURE

de Taxe, deux lignes à un point quelconqfue E>' l'angle EÂD est toujours double de ËDÀ; par conséquent 9 si Ton décrit sur la ligne DA un arc quelconque de cercle^ la partie AE en sera le tiers. Il est aisé de faire l'application de ceci à partager en trois également un angle ou ua arc quelconque; il n'j aura qu'à décrire, sur la ligne DA , l'arc DEA qui mesure l'angle donne DCAj alors EGA en sera le tiers.

Il y a ici une particularité digne d'être ob»servée , c'est que non-seulement la même hyperbole retranche l'arc AS , égal au tiers de l'arc ASD qui reste quand on a ôté de la circonférence entière l'arc AED , mais que l'hyperbole opposée coupe le même arc dans un point e tel, que l'arc ASe est le tiers de la circonférence entière augmentée du petit arc AED. Les anciens ne paraissent pas avoir fait cette dernière remarque; elle aurait pu les étonner « A l'égard des modernes, ils n'y tt'ouveront aucun sujet de surprise; ils savent que le problème conduit nécessairement à une construction qui doit donner trois valeurs différentes à la corde cherchée.

Plusieurs courbes que les anciens considéré-

DU QEIIGLË. * 245

rent, semblent avoir été imaginées dans 1^ vue de servir à ceproblènie, du moins envisagé' d'une manière plus générale : telles sont la quadratrice et la spirale, dont la première n a pas une date moins reculée que le temps de Slaton. En effet, Dirwstrate, son inventeur, était un des géomètres de l'école platonicienne. On sait que cette coui'be est formée par l'intersection continuelle F (j%. 34*) d'un rayoia CE qui se meut d'un mouvement angulaire, et qui parcourt le quart de cercle AEB , tandis qu'une ligne GF, toujours parallèle à elle-même, partant d'un même terme, se meut de manière qu'on ait AG : AC :: AE : AB; ainsi le mouvement angulaire de cq. rayon est toujours mesuré par une ligne droite, ce qui fait qu'il est toujours facile de le diviser, non-seulement en parties égales, mais encore suivant un rapport quelconque donné , fût-il irrationnel : il ne faudra pour cet effet que diviser la droite AC de la même manière, ensuite tirer les rayons par les points de la quadratrice qui répondent aux points de division sur cet axe AC. La spirale ordinaire a évidemment la même propriété ; c'est aussi une suite de sa génération. Toutes les courbes enfin qui sont décrites par une combinaison de mouvemens rec^lignes et

:À/fi * HISTOIRE DE LA QUADRATURE

circulaires, courbes dont la Géométrie mo-^ deme présente un grand nombre, jouissent du même avantage ; mais il est à remarquer que ces courbes ne résolvent le problème que par une espèce de pétition de principe : il faut les supposer entièrement décrites; et pour les décrire en entier, il faudrait avoir ou la quadt^*ture indéfinie du cercle, ou la solution du problème général de diviser un angle en raison quelconque ; par conséquent ^ les solutions qu'elles donnent ne sont que des spéculations, dont la pratique ne peut tirer tout au plus que des moyens d'approcher de la vérité.

Les deux problèmes dont on vient de tracer l'histoire chez les anciens n'ont pas moins occupé les modernes. Plusieurs de ces derniers se sont en effet exercés à en trouver de nouvelles solutions , dans le goût de celles qu'on vient de voir, c'est-à-dire dont les unes consistent dans quelque mécanisme commode et facile^ les autres dans l'emploi de quelque courbe particulière, f^iète en a proposé quelques-unes de la première espèce ^'*^, et après lui

^*) Suppl. Geom. Variorum de rébus math, respvns., 1. 8, c. 5, Opéra, p. a4o.

DU CERGLB. ^247

Bujrgens en a donne un asseai grand nombre danâ xm ouvrage qu'il publia^ fort jeune (en 1654) ^''^. f^ipiam SL eonétruit ces problèmes dediverses manières élégantes et nouteUes , dans plusieurs ouvrages ^*^ Le P. Gïieniber^èr a imaginé (quelques courbes particulières pour servir à la r&olution du problèâare des deax moyennes proportionnelled^''^^ en quoi il a ^4 imité par Eenaldini^^ et Barrow^'^i Comme la plupart de ces inventions^ quoique belles et ingénieuses dans la théorie ^n'otit pas une uti-« lité bien marquée, ou me conduiraient troploin si j'entreprenais de les expliquer^ je me contenterai de les avoir citées, afin de passer à ce que mon sujet me présente de plus inté<« ressant.

Le P. Cwa a proposé un compas de trisection^, qui est fondé ^ur ceci. Soit l'angle BÂD {fig. 35), et que les côtés AB^ AD, BC^ DC, de

0») Illustrium guorumdé prablem, coruinfciionas^. Opéra varia, p. 388.

CO Divirii in Aristœum, Solutio, probL D.Comien. CO Templi Salom. descriptio Thomœ VillalpandL W De resoL et comp. Maihem. , t. III.

Cf) Lectiones Geom., p. i3i.

24s mSTOIRE DE'UL QDADRATURE

même que CF, CE^ soient tous égaux entre eu:

langle FCEsera triple deBAD, et si l'on, coi tinuait cette progression de lignes égales, c aurait des angles quintuples ^ sextuples du pn mier : ainsi la construction de ce compas coi siste en deux longues branches FÂ, A£ me biles, auxquelles sont attachés^ par des cbai nières, les petits côtés BC, DC, assemblés aus au point C, par une charnière commune au côtés CE, CF, dont les extrémités E et j peuvent glisser en même temps sur les règle AB et AD. Dans le même recueil^ on a reven diqué pour Tchimuusen^ un instrument semblable au précédent.

Quoique les anciens paraissent avoir résolu ces deux problèmes autant quils peuvent Têtre, puisque^ ne pouvant les construire que par des courbes d'un genre supérieur au cercle, ils y ont employé les sections coniques , la coïichoïde^ etc., de diverses manières très ingénieuses , cependant on peut dire que ce n'est qu'à l'Analyse moderne qu'est due leur solution complète. Ce sont en effet seulement les lumières qu'elle nous. fournit, qui nous mettent en état de faire voir qu'ils sont d'une

nature à ne pouvoir être généralement résolus par la Géométrie élémentaire , ce qui était un point nécessaire à démontrer ayant de cesser ses efforts pour y parvenir par cette voie ; mais l'analyse moderne lève tout doute à cet égard. D'ailleurs^ ce que les anciens ont donné sur ce sujets comparé aux inventions des géomètres du dernier siècle , n est qu'un faible jour à côté d'une grande lumière. Nous sommes aujourd'hui en possession d'une méthode par laquelle on peut trouver d'une infinité de manières la solution de ces problèmes^ et de tous les autres de même espèce.

Avant que d'aller plus loin ^ il est essentiel de démontrer ce que nous avons annoncé dans tant d'endroits, je veux dire l'impossibilité de construire généralement ces problèmes, sans employer de courbe plus composée que le cercle. Je vais donc tâcher de le faire avec toute la clarté dont un pareil sujet est susceptible, afin que personne ne soit plus tenté d'en rechercher la solution par des voies qui ne sauraient y conduire.

Cette impossibilité est fondée sur la théorie des équations et la nature des courbes géométriques; ainsi je suis obligé d'en rappeler quelques points en faveur de ceux à qui elles ne

aSo HISTOIBB DE Là QUÂORATURB

seraient pas assez présentes. Le premier est qm dans tonte équation, la quantité inconnue do être représentée par autant de valeurs diSk rentes qu'il y a d'unités dans l'exposant de i plus haute puissance : à la vérité, il peut arr ver que quelques-unes de ces valeurs soiei imaginaires ; mais on examinera ce cas , et fera voir qu'il ne nuit point aux conséquenci qu'on tire dans les autres.

Le second principe est qu'une équation u se peut construire géométriquement, c'est-à dire par un procédé certain et qui n'est sujet aucun tâtonnement, qu'à l'aide de deux ligne qui se puissent couper en autant de points qu le degré de l'équation comprend d'unités ; ei voici la raison. G>nstruire une équation, c'es assigner par une opération générale la valeu de l'inconnue qu'elle renferme; conséqaem ment lorsque cette inconnue aura plusieurs va leurs, il faudra une construction capable d les exprimer toutes également; car cette cens truction ne se rapporte pas plutôt à l'une qu'i l'autre, puisque les données sont les mêmes i leur égard, et que ce sont les données seulei qui peuvent oMdifier la construction. Il faut donc que les lignes dont l'intersection doit résoudre le proMème, puissent s'entrecouper m

DU GEBGLX. sSl

autant de points qu'il admet de solutions dif* fërentes.

Ce qu'on vient de dire est d'une évidence suffisante^ lorsque l'équation proposée a toutes ses racines réelles; mais peut-être ne trouyera*-t-on pas la chose aussi claire dans le cas où l'équation aura des racines imaginaires.

Comme il y a alors quelques valeurs de moins à déterminer, il semblera qu'il n'est pas né-* cessaire d'employer des courbes capables de se couper en autant de points que s'il n'y avait aucune racine impossible.

Ce doute ïi'est pas destitué de fondement; il se dissipera néanmoins quand on connaîtra quelle est la nature et l'emploi des valeurs imaginaires dans les équations : ces valeurs ne deviennent telles, que parce que certaines don* nées du problème, croissant ou diminuant selon les circonstances, de réelles et inégales qu'elles étaient d'abord , sont devenues égales^ deux points d'intersections se confondant ensemble, et formant un point de contact; et qu'enfin ce point de contact disparait lui-même, l'une des courbes ne touchant ni ne coupant plus l'autre dans cet endroit^ de sorte qu^il n'y a plus d'ordonnée. Cela montre que ces racines imaginaires sont tout autre chose qu'un merwn

2l52 HISTOIRE BE LA QUADRATURE

nihilj et qu'elles ont une sorte d'existence, c ce qu'elles désignent des intersections que d limitations particulièt*es ont rendues imposs blés : toutes les fois donc qu'il y en aura c cette espèce dans une équation , il n'en faudi pas moins des courbes qui puissent s'entre couper en autant de points que si toutes h racines étaient réelles, afin que toutes les in tersections qui auront lieu exprimant ces dei nières , celles qui viennent à manquer désigner les imaginaires*

Après l'exposition de ces principes, il es aisé de montrer qu'il est impossible de cons traire généralement les problèmes de la trisec tien de l'angle et des deux moyennes proportionnelles^ par des lignes simples^ comme h droite et la circulaire. Il est en effet yisible qu< l'équation qui convient au premier est nécessairement du troisième degré ^ puisque c'est k cube de la ligne cherchée^ qui égale un parai lélépipède donné, et cette équation, qui esl x^ = a*b(a et b désignant les deux extrêmes) , sera toujours irréductible, à moins que 6 ne soit un tel multiple de â, que le nombre qui exprime ce multiple soit un cube parfait, parce qu'alors l'extraction de la racine cubique réussira.

A regard du second problème , il est pareillement nécessaire qu'il soit du troisième degré; et nous allons en convaincre par les remarques suivantes. Quand on propose de partagerun arc AE {Jig. 36) en trois également, c'est la même question que si l'on demandait d'inscrire dans un segment dont AE est Ija corde, un quadrilatère tel que ABCD, dont les trois côtés AB, BD, DE soient égaux. Or ce problème est de telle nature qu'il est susceptible de trois cas qui conduisent absolument a la même équation; car toutes les données et la manière de les employer sont les mêmes dans chacun de ces cas. En effet, on voit d'abord que la même corde AE répond à deux arcs différens, l'un moindre que la demi-circonférence, et l'autre plus grand; le premier est représenté dans la figure 56, et le second dans la figure Sy. Ce n'est pas tout : cte {Jig. 58) étant la corde donnée, on peut, en partant du point a, et passant sur le point 6 pour revenir à ce dernier, trouver trois arcs égaux (t£y êÇcT et Sd^. La somme de ces arcs est évidemment égale à la circonférence entière augmentée de l'arc donné ae; leurs cordes aê, ê^T, S'i^ étant égales, formeront encore avec la corde ag, une sorte de quadrilatère aêcTg ayant trois côtés égaux. En

a54 HISTOIRE DE LA QQJUDRATURS

mettant suocessiTement en ëqnation chaci de ces trais cas du problème, on doit abouf à la même expression. Comme je ne conns aucun liyre qui démontre cette vérité, je cro qu'il est à propos de le faire ici avec quelqt détail ^ afin de ne laisser aucun doute à ce suje Je pourrais sans doute m'en dispenser, sij n'écrivais que pour les géomètres habiles; ma il est des endroits dans cet ouvrage qui soi particulièrement destinés à l'instruction de plus médiocres.

Dans le premier cas (Jig. 56), les triangle ABC, BÂF sont semblables, puisque l'angle ] est commun , et que l'angle C a pour mesun l'arc AB, tiers de ABE, tandis que l'angle A es appuyé sur les deux tiers du même arc, et â son sommet à la circonférence ; ainsi GA : AI :: AB: BF. Ayant donc fait le rayon ACsTj AEs=A, et AF ou AB=a:, nous aurons. . .

/• : ar :: or : — = BF; ensuite tirant DL parallèle àBC, ou aura CD ; DB :: DG ou BF : LG, à cause des triangles semblables CDB, DLG;

c'est pourquoi r\x :: — : ^ = LG ; or. . . .