AE=AF+LF+EL=AB+DB+EG— LG

90 omcu. ^55

d'où Ton ^re AsssS^c 7, ce qui donne Té-

quatîcm jî*— 5r*a:+r*6=o*

Qu'il s'agisse à présent d'inscrire un pareil quadrilatère dans le grand segment abde (Jig. Sy); on aura de même les triangles semblables abc^

baff de sorte que — sera encore ici la valeur

de bf; de plus, en tirant dl parallèle à bf^ on aura les triangles cdb^ dlg équiangles; ce qui

x^ x^ donnera cd : db i: dgl Ig, ou r : a? :: — : ~;

ainsi ^=^; enfin, ae=:af+fl — elz=^af

x^ +/^ — ^ + ^g* c'est-à-dîre i=2a: — — +« ,

d'où il résultera , comme ci-dessus ,

Le troisième cas nous fournira la même équation, par une analyse tout-à-fait semblable, pourvu que nous fassions ici attention que la ligne AFÇ^g. 56) ou af{Jig. Sy), ayant été nommée x quand elle tombait au-dedans du cercle, on devra la nommer — x lorsqu'il faudra la prendre au dehors, vers le côté opposé; or c'est ce qui arrive dans la figure 38, quand on prolonge les droites olî, et ^x jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en ^. Après cette ob-

a56 HISTOIRE DE Li QUADRATURE

senration dont la nécessité est évidente pc tous ceux qui sont un peu versés dans Tan lyse, on remarquera que les triangles clÇx, € sont semblables^ comme Tétaient leurs an logues dans les figures précédentes; ainsi.

r : — X :: — x : —, qui est la valeur de ^^;

ayant tiré, comme on a fait ci-devant, c^A j rallèle à ff^, on aura ^X=ff/ = ffflt= — , par conséquent ùlK sera — 20: : de plus , pi longeant eu et iii jusqu'à ce qu'elles se rei contrent, on formera les triangles semblables égaux ^feT, clQ^ qui donneront 5/€=a^= — j enfin à cause des triangles semblables x/( cT^.^, on aura ÇxlÇJ^ :: J'X ou C^lyA, c'es

à-dire , r : — x :: — : — — = ^A; mais. . . . aesszyA — ye — «A, ou b= — — ^Zx, d'o

nous déduirons, pour la troisième fois, .. • x^ — 5r'jc+r*i=o.

Si l'on proposait d'inscrire un semblable qu; drilatère dans le petit segment , la réponse s< rait aisée. Il est visible, du premier coup d'œil que cela est impossible, à moins que ce qua drilatère ne soit confondu avec AE (Jîg. 36), supposé en être infiniment voisin , ce qui don nerait, par la plus simple analyse, xz=:b; ains

D0 GËHOtB. !l57

ce dernier cas ne GOnduit point k là tnémè ëqoation qne les précédent; ét^ par œtle rai^ son, rëqUâtion qui convient au problème de la trisectioû de l'angle est dti troisième degré et ne le passe pas.

Qu\>n se rappelle maintenant les principes qu'on a établis plus haut j il est aisé d'en faire l'application aux problèmes dont nous yenOUâ d'examiner la nature. Puisque nous avons démontré qu'ils conduisent nécessairement à des équations du troisième degré, il est évident qu'on ne peut les construire en n'y employant que des courbes capables de donner moins de trois points d'intersection. Ceux qui tâchent de combiner des cercles et des lignes droites pour parvenir a cette solution, perdent infructueu*^ sèment leur temps et leurs veillés.

On peut donner à cette démonstration un tour qui la rendra encore plus propre à coilvaincre l'esprit , de l'impossibilité de ce qui est demandé. Supposons que quelque voie particulière eût conduit à construire généralement le problème de la trisection de l'angle par la seule Géométrie élémentaire; comme il est d'ailleurs démontré qu'il dépend d'une équation irréductible où la corde cherchée a trois valeurs inégales , on aurait la construction de

^58 HISTOIRE DE hk QUADRATURE

cette équation, et par cooséquent la méi opération résoudrait de la même manière tr problèmes dont les solutions doivent être d férentes. La Géométrie serait donc ici en è faut, ce qui est absurde; une science foiid sur des raisonnemens dont la liaison est é^ dente et sur des principes certains , ne saur jamais conduire à Terreur.

On objectera peut-être qu'il ne laisse pas q dV avoir des cas où l'on réussit par la Géométi élémentaire , à diviser un arc en trois parti égales'; tels sont ceux où l'on propose le çerc entier ou quelqu'une de ses parties aliquol pairement paires. Cette observation, quoiqi vraie, ne détruit cependant pas ce que nous v nous de dire ; il y a en effet quelques cas part culiers où la corde b a une telle valeur q\ l'équation peut être abaissée en la divisant p une de ses racines ; mais cette équation coni dérée généralement n'en est pas moins irr< ductible. C'est ainsi que la racine de la formu

a^ X* ne peut être exprimée en termes fini

quoiqu'il soit possible quelquefois d'en es traire la racine exactement, lorsque a et a: oi des valeurs tellement combinées qu'elle repn sente un quarré parfait.

Descartes a donné le premier des règles gé^ nérales pour construire les équations solides par une combinaison du cercle et des sections coniques ^'^^ et il les a appliquées à la résolution des problèmes des deux moyennes propartionnelles et de la trisection de l'angle : la manière dont il procède est très simple et mérite d'avoir place ici. Dans le cas des moyennes proportionnelles , les extrêmes étant a et è, il décrit une parabole ayant a pour paramètre , et prend sur Taxe une abscisse AC {Jig. Sg) égale à -i a , après quoi il élève une perpendiculaire CD égale à ~ i j le cercle décrit du point D comme centre, et passant par le sommet de la parabole, la coupe dans un autre point F, dont l'ordonnée EF est la première des moyennes cherchées, et l'abscisse AE qui lui répond est la seconde.

S'il s'agit de diviser un arc en trois également, que r soit le rayon, b la corde de l'arc proposé , Descartes trace une parabole ayant r pour paramètre; puis prenant sur l'axe une abscisse Ac égale à 2r^ il élève la perpen-

^*> Geom. , lib. 3.

a6o HISTOIRE DE LA QDàDKATXJBE

diculaire cd égale à f ^; le cercle décrit du point d comme centre , et passant par le sommet de U parabole, la coupe en trois a«tres points G, g, yf dont les trois ordonnées sont les ttoU ▼alenrs de la corde clierckée ♦ savoir : GK la plus petite, la corde du lâers du petit ârc j gk\a moyenne, celle de ce qui rijste du cercle entier ; et enfin y* la plus grande , qtti égale les deux autres prises ensertible» est celle du tiers de la circonférence , augmentée du petit atc.

Les géomètres qui ont succédé à Descartes, marchant sur ses traces, ont beaucoup ajouté a ses inventions. Sluse est un des principaux : on lui doit d'avoir fait connaître le véritable principe de la construction des équations par les lieux géométriques, et d'avoir enseigné à les varier de plusieurs manières, en employant telle courbe qu'on voudra, combinée avec telle autre. C'est là l'objet du savant ouvrage qu'il publia en i654, où il résout le problème de la duplication du cube d'une infinité de façons W j cet ouvrage était écrit suivant le style des anciens géomètres; et, à leur inûtation,

W Me$oléU^4m, seu du(e medicB proportionàies inter extremas datas percirculum etperinjinitas hjrperbolas vel ellipses et perquamlibetexhibitœ. Leodii, t654-

«on auteur cachait la méthode qui l'avait conduit aux decouyertes qu'il y exposait; il la dévoila seulement en 1668^ suivant la pro* messe qu'il en avait donnée dans la préface du traité dont on vient de parler ^^^ Je me livre-* rais volontiers à expliquer cette méthode , si je ne draignais d'être trop longi je me con<*' tenterai de renvoyer aux auteurs sans nombre qui l'ont expliquée. Wolf surtout l'a exposée avec beaucoup de précision et de netteté dans son cours de Mathématiques ^^\ il serait à désirer, et pour Tayantage de ceux qui cherchent à s'initier dans ces sciences, et pour la repu* tation de son auteur, que toutes les parties de ce cours répondissent à celle-là.

Je ne puis mieux terminer le récit des travaux des géomètres sur les deux célèbres problèmes qui nous ont occupé dans ce chapitre, qu'en exposant quelques-unes des belles solutions que Newton en a données ^*\ J'ai déjà

C'*^ Mesolabum unâ cum adjunctis MisceL ^*) Elem. Matheseos, t. I, analjrs,, chap.7 et 8. ^*) Ariih, univers, appendix de constructione equa-» iionum.

^Sa HISTOIRE DE LA QUADRATURE

dit ailleurs qu'il ayait fait voir, contre le sen«-* liment de Descartes ^ que ce n'était pas le degré de composition des équations des courbes^ mais uniquement le degré de faicilité à les décrire, qui devait déterminer à faire usage des unes plutôt que des autres. Suivant ce principe, Newton emploie la conchoïde à trouver les deux moyennes proportionnelles et la trisection de l'angle , et il le fait avec une élégance fort supérieure à ceHe des solutions du géomètre ancien, du moins dans le cas du premier de ces problèmes ; je vais mettre le lecteur en état d'en juger. Les deux extrêmes données étaqt a, b, il prend {fig. 40) KA=âr, et après l'avoir partagée en deux également en C, il décrit du centre K, avec un rayon KC un cercle GX, dans lequel il inscrit CX=6; alors si Ton insère dans l'angle EXY, la ligne RY tendant au point K et égale h. \a, les quatre lignes KA, XY, KE, CX seront en proportion continue.

A l'égard de la trisection de l'angle, la corde de l'arc proposé étant CX C/%.40» ^* ^ '^ diamètre, il suffit de prolonger indéfiniment AX, et d'adapter dans l'angle EXC, la ligne EY=z=CA, et tendant au centre K; l'arc XV sera le tiers cherché. Cette dernière construc-

DU CERCLE. a(55

tion revient, à la ve'rité, à celle àe Nicomède; mais elle est une suite de la règle générale que Newton a établie plus haut pour la construction de tous les problèmes de cet ordre : la première est également neuve et recommandable par sa simplicité* Newton en donne un grand nombre d'autres dans le même ouvrage , auquel je ren-voie. Ce livre, quoique élémentaire, doit être entre les mains de tous les géomètres, comme étant marqué , ainsi que toutes les autres productions de ce grand homme, au coin de son génie, et d'ailleurs contenant des recherches et des questions qui ne sont pas au-dessous des plus habiles en Géométrie.

11 y eut dans l'antiquité, comme à présent, un grand nombre de prétendues solutions de ces deux problèmes , données par la Géométrie élémentaire; Pappus nous le dit d'une manière expresse, et le commencement de son troisième livre des Collections mathématiques est employé à réfuter une de ces solutions ^''^ Les autres tentatives de cette espèce ont eu le sort

^0 Coll. mathem. prœf., liv. 3.

d64 mSTOIRB 0B LA QUADRATURE

qu'elles méritaient, et ne nona sont pas panre* n«es. Depuis le renouyellement des science»

parmi nons^ les dusses duplications du cube ou trisections de l'angle sont presque ansai communes que les prétendues quadraturçs da eerde; et même rien n'est plus ordinaire que de Toir ceux qui se vantent d'être en posses-^ sion du dernier problème, annoncer en même temps les deux autres. Oronce Finée^ Joseph Scaliger^ Delaleu^ Clergety Liger^ etc., en sont des exemples. Je pourrais aisément foiv» mer un article assez étendu de leurs maUbeu-^ reuses tentatives; mais les mêmes raisons qui m'ont &it terminer le chapitre précédent, malgré l'abondante matière qui se présentait encore pour le grossir, me font mettre fin à celui-ci. S'il est certaines erreurs qui méritent l'attention des philosophes , il n'en est assurément pas ainsi de celles de ces pygmées en Géométrie : elles ne sont dignes que de l'oubli qui les dérobe à la connaissance des géomètres.