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Addition à la page $8*

Si Ton décrit sur une ligne AB (^. 4^) 9 «omaf diamètre, une demi-circonference AGB ; que Tonél^e, par le centre D, la perpendiculaire DG; que Ton tire ensuite la corde AG, et que , 9ur cette çorde^ on décrive la demi«>circonférence AEG , l'espace AEGFA , appelé lunule, sera équivalent au triangle rectangle ADC.

En effet, les aire^ des demi-cercles AGB et AEC9 étant entre elles comme les quarrés de leurs diamètres AB et AG, seront entre elles copnme i est à 2, puisque AG est le côté du quarré inscrit dans le cercle dont AB est le diamètre. Il résulte de là que le demi-cercle AEG est égal au quart de cercle AGD , moitié du demicercle AGB.' Mais si l'on retranche en même temps du demi-cercle AEG et du quart de cercle AGD, le seg** mept AFG, il restera d'une part la Iqnule A£GFA , et de l'autre le triangle rectangle ADC, qui seront par conséquent équivalons.

Ge qui précède est la traduction d'un passage de Simplicius. (Voyez SimpUcii philo9ophi perspica^simi, clarifsifnQ commeniaria in octo libras Aristotelis de physicù'audiiu nuper quant emendaiissimis exempleribuê, êtc, Venetiis, i566, page 17.) Cet auteur parle d'après l'histoire de la Géométrie écrite par Eudemus^

qui n'est point parvenue jusqu'à nous; et il est le seul qui nous ait transmis la découTerte d'Hippo* crate de Ghio. Le paragraphe V de Montucla est aussi un extrait de Simplicius.

Avec le temps , la proposition précédente a changé de forme. Bornée d*abord, dans la paraphrase de Maurolycus sur Archimède (page 36), dans Tartaglia (Dei numeri et délie misure, t. III, fol. 16), dans Wallis {Operd, t. 1*^1 p. i33), comme dans Simplicius, à la lunule décrite sur le quart de cercle , on Fa étendue à deux lunules inégales , mais embrassant la demi-circonférence, comme on va le voir. Soit ACB (Jig, 43) un triangle rectangle quelconque inscrit dans le demicercle AFGB , et que sur les côtés AG et BG, on ait décrit les demi-cercles AEG , GHB , la somme des lunules AEGFA, GHBGG, sera équivalente au triangle AGB; car le demi-cercle AFGB, ayant pour diamètre Thypo^ ténuse du triangle rectangle , est égal à la somme des demi-cercles AEG , GHB , construits sur les côtéà de ce triangle : si donc on retranche de part et d'autre les segmens AFG, GGB, il restera d'un côté les lunules AEGFA, GHBGG, et de l'autre le triangle rectangle AGB , qui sera équivalent à leur somme ; mais on ne peut pas assigner dans ce triangle l'espace qui répond à chaque lunule eu particulier^ lorsqu'elles sont inégales.

Gramer, dans le mémoire cité en note à la page 43 ^ présente la proposition primitive sous une forme assez remarquable. Ayant décrit le cerle entier AGBë (Jig. 44) > ^^ construit le quarré inscrit dans ce cercle, et décrit sur chacun de ses côtés comme diamètre f un

demi-cercle. Il forme ainsi quatre lunules F, G, H, I» équivalentes aux quatre triangles dans lesqtiels le qiiarré inscrit est partagé par ses diagonales AB et CE ; les quatre lunules prises ensemble sont donc équivarlentes à ce quarre'. (Mém. de VAcad. de Berlin, 1 748, p. 485.;

C'est dans le même lieu de son ouvrage que Simplicius parle des quadratures absolues proposées par Hippocrate deChio etparAntiphon. Il regarde celle-ci comme fausse ; mais il pourrait l'avoir mal comprise, ainsi que l'a remarqué Montucla(p.44)' Quant à Hippocrate, il a été jugé irrévocablement, savoir, par Aris^ tote. Ethic, ad Eudemum, lib. 'jy c, i^; De sophisl. elench,, lib. i, c. 10; Archimed. Opéra, de sphœra et cjrlindro, lib. 2.

£n raisonnant sur la difficulté de la quadrature du cercle, Simplicius rapporte des considérations assez singulières, d'après lesquelles son précepteur Ammo- Dius prétendait prouver l'impossibilité de comparer le cercle avec une ligne droite. Ces considérations sont peut-être la source de l'opinion singulière que Mon* tucla attribue à Viète (p. 54) , et que Descartes partageait (p. 27, en note). Voici le passage :

Cwn hœ magnitudi'nes, recta et circianferentia, sint génère dissimiles , et nil mirum ait (Ammonius), si non ini^eniatur rectilinea figura circulo œquaJis : si quidem etiam in ipsis angulis hoc etiam insfernmus, Nam neque angulo senti circuli, neque ei, qui reliquus est ad rectum, qui instar cornu est, angulus reclilineus œqualis invenietur; idcirco, inquit , forsitan hoc theorema à tam incljrtis viris ^uœsitum hactenus inveuiri

a68 ADDlT10IffS«

non paêuii, nejue ab ip^ Archimede^ (SimpIiciaSy.

SuiTeiit encore d'aiiti«8 raisons fort singulières;. nftAÎBy p0ttr nous en tenir au passage rapporté ci-dessus, on Toît qu'Auiinonitts prenait pour une objection trè» forte, Timpossibilité de trouver aucun rapport entre r angle de contingence et F angle rectiligne; car ce qu'il appelle Fangle du denii-<erclei est l'angle mixtiligne représenté par BAC (fg. 4^), tandis que DAG, le reste de Tangle droit DAB , après qu'on en a retranché BAC , est Fangle en forme de cerne. Ge dernier est précisément Fangle de contingence, sur lequel on a élevé une longue dispute qui ne consistait que dans. les mots. Tous les géomètres s'accordent à reconnaître que, puisqu'aucune ligne droite ne saurait pas-- •cr entre le cercle et sa tangente dans le voisinage du point de contact, on doit dire que Tangle de con-tingence est moindre que tout angle rectiligne, si l'on n'entend par le mot angle que Tinclinaison de la courbe par rapport à sa tangente , dans le même lieu ; mais il n'en est plus ainsi dès qu'on s'écarte de plus en plus du point de contact. Cependant cette circon^K tance ne parait contenir en elle-même aucune incompatibilité avec l'évaluation rigoureuse des arcs de courbes , puisqu'elle n'a pas moins lieu dans les courbes rectifiables que dans toutes les autres. (Voyez^ Vietm Opéra, p. 386, et WalUs Opéra, t. a, p. 6o5.)

Nous reviendrons sur ce sujet dans l'ÀDDiTioff à la page 110.

ÀD0ITIO98* 169

Addit^oh à la p^e 58»

Montucla passe immédiatement de Tàpproximatioii domiée par Arckimède à celle que Me'tius a trouvée ; mais il y a eu , dans l^intervalle , quelques déterminations qu'il peut être convenable dé rappeler. Dès qu'on s'est occupé de calculet* des tables trigonométriques , on est tombé sur des cordes, des sinus, des tangentes apparteliant à de petits arcs auxquels sont sensiblement égales ces lignes , qui peuvent être considérées comme appartenant aussi à des polygones d'un grand nombre de côtés. C'est ainsi que, dans le second siècle de notre ère, l'astronome Ptolémée {Almageste, liv. i", ch.g) entreprit de calculer une table des cordes ; il déter-

mina celle de l'arc de -7 de degré^ qu'il trouva égale à

z^^ A ^ du rayon , ce qui revient a — ^ .

36oo 210000 '' ^ 216000

En multipliant ce n^nblre par 24^9 ^ tnar({ue combien de fois l'arc proposé est contenu dans la demicirconférence , on trouvera \t rapport de 225 à 707, et q«i revient à celui de i à 3, 1 4229 un peu pltid exact que celui de 7 à 22 équivalent à 3,1428. La valeur assignée pat Ptolémée à la cordé de l'arc de |^ de degré, revê^ nantà 0,0130926, n'est pas fort exacte; rigoureusement calculée, elle est de 0,0130898, et en la multipliant par 240, on trouve 3,i4i552, résultat vrai jusqu'à la 4* décimale. Mai» cette détermination n'était pas le but de l'astronome , qui ne poussait ses calculs que jusqu'où l'exigeait l'exactitude des observations , fort imparfaites alors.

L'astronomie indienne nous fournit aussi le rapport de i25o à 3927, qui revient à i : 3,i4i6, et ne diflere de 1 : 3, 141 5g que d'un 1 00000* d'unité : il est par conséquent beaucoup plus précis que celui d'Archinoiède. Qn le trouve à la page 217 du tome II de la traduction anglaise de V Ajeen-^Akbery, par Gladwin , édition de 1800. Si l'on s*en rapportait aux idées des partisans de la haute antiquité des sciences dans rinde , il faudrait le regarder comme bien antérieur , non pas seulement à celui de Ptolémée, mais à celui d'Archimède.

Lorsqu'au renouvellement des sciences, dans le quinûème siècle, on sentit la nécessité de tables trigonométric^ues très étendues , Rhéticus , astronome allemand, calcula, vers 1474 > des tables de sinus et de cosinus de dix en dix secondes , et pour un rayon de I 00000 00000 00000 , ce qui répond à i5 décimales. Si l'on compare le sinus d'un très petit arc à la tangente correspondante, et qu'on se borne aux chiffres qui sont communs aux deux nombres, ces mêmes chiffres appartiennent à l'arc. Si l'on part du sinus de 10" égal à 4 8481 3 68092 , et qu'on le multiplie, par 64800 , nombre de fois que l'arc de i o" est contenu dans 180% on trouve 3, 14 15926623 61600 , qui est exact jusqu'à la 8* décimale. Il ne paraît pas que Rhéticus ait tiré cette conséquence de ses tables ; on sait seulement que Purbach supposait le rapport du diamètre àla circonférence égal à celui de 120 à 377, peu différent de i à 3,i4ï6 (Delambre, Hisi. dcVAstr, du moyen âge, p. 282). H ^aut observer d'ailleurs que les tables de Rhéticus n'ont été publiées qu'en i6i3,

d'après les corrections faites dans le seizième siècle par Pitiscus, sous le titre de Thésaurus Maihematicus , sive canon sinuum ad radium i 00000 00000 00000 , et ad dena quœque scrupula secunda quadrantis, FraACOfurti, 161 3.

Suffisant pour la pratique , dans beaucoup de cas, le rapport trouve' par Ârchimède paraît avoir été très employé' par les anciens, qui Tont appliqué à la mesure des corps ronds. Dans le second volume du Voyage pitto^ resque de la Grèce, par Ghoiseul-Gouffier , il est parlé d'une inscription grecque trouvée dans les ruines de Pergame, qui contient les rapports du cube au cylindre et à la spbère inscrits , savoir, les nombres 42, 33, 22. Delambre , consulté par Ghoiseul-Gouffier, paraît étonné de ces résultats , qui néanmoins se présentent tout de suite , au moyen du rapport 7 à 22 , donné par Archimède. En effet, en prenant pour unité le rayon du cercle , les volumes des trois corps proposés sont

exprimes respectivement par o, 2.— , x . — , ou par

2, — , —^r ou enfin par 421 33, 22.

Les surfaces sont : 24» 4' 1" ^' — » 4* — > ^^