II

6, 1 , — , encore 42 , 33 , 22.

Dans la surface du cylindre sont comprises ses deux bases. Cette remarque est attribuée à un nommé Nikon, inconnu jusqu'à la découverte de l'inscription, que M. Ideler a corrigée. {^Correspondance astronomique àe M. de Zach, t. XIII, p. 375, ann. 1825.)

ADDITION à ta page 77.

On peut Tarier beaucoup les constructions du genre de celles qui sont indiquées à l'endroit cité , comme on le voit dans les Institutiones geometriœ sublù» mioris de M. ELrafft; tnaîs la construcUon trouvée par Kochansky, due peut-être à un pur hasard , est remarquable par son exactitude autant que par sa simplicité, et suffit bien à la pratique ; cependant, comme elle n'offre qu'une approximation limitée, elle ne satisCedt pas autant l'esprit qu'un procédé susceptible , au moins intellectuellement, d'une approximation indéfinie. C'est le caractère qu'offre le suivant, tiré des OEuvres posthumes de Descartes {voyez p. 44^ du tome XI de l'édition donnée par M. Cousin).

M Pour quarrer le cercle, dit-il , je ne trouve rien de « meilleur que d'ajouter au quarré donné bf(Jig. 46), « le rectangle cg compris entre les lignes ne, cft, « et égal à la quatrième partie du quarré bf-^ puis le « rectangle dh^ compris entre les lignes da^ dcj et «( égal à la quatrième partie du rectangle précédent; « puis de la même manière le rectangle ei , et ainsi de

M suite à l'infini rectangles qui tous , pris en-

n semble, équivaudront au tiers du quarré bf.

« ae est le diamètre du cercle inscrit dans l'ootogone « isopérimètre au quarré bf; ad^ le diamètre du cercle <« inscrit dans le polygone régulier de seise côtes, iso^. « périmètre au même carré bf; ae le diamètre du «< cercle iniorit dans le polygone de 3a côtés, et

ADDITIONS. 2j5

tt ainsi à Tiiifim. » Cette construction donne une suite infinie d'approximations pour le rayon du cercle dont la circonférence est égale au périmètre du <p]arré bf. On voit d'abord que si l'on fait 06 = 1, tous les rectangles formeront la progression par quotient (ou géométrique)

Pour construire le rectangle cg égal au quart du quarré bf, il suffit d'observer que ce rectangle ayant l'un des angles de sa base supérieure sur la diagonale ak^ il en résulte que bgssac:=ab +bcj d'où bc=zbg — ab^ et par conséquent

bèxM^bg{bg'-ab):=ibf={iab)\

En effet y si l'on prend sur les côtés de l'angle droit bqfy les distances àR et oG égales k\abj que du point G comme centre avec le rayon Ga , on décrive le cercle DoG, et que l'on tire BG, on aura

BGXBD=S* ou BG(BG— DG)=(ia*)»;

or DG = a6 : donc BG=6^, et sera la hauteur du rectangle cherché , ou la distance ûCv

Pour le second rectangle, dhz=\ cg:=s ^/= (J^flô)% on a c% = ad=ac -^cdissbg+cdy d'où dh = chXcd i= ch(ch — bg) = (i^*)*; la dernière égalité se construira en prenant aB'ssJoô, idy=\bg, et B'G' sera la hauteur ch.

En général , si z désigne la hauteur d'un rectangle

^74 ADDITIOIfS.

quelconque de cette opération , fi la hauteur du suivant , et que c* soit le cAté du quarré équivalent à ce dernier, on aura

j^(z' — «)=b:c% ou «^=|z-Hl/pM^.

Je ne m'arrêterai pas ici à démontrer comment cette expression satisfait à la question proposée , parce qu'elle va se présenter d'nne manière très simple , par le procédé qu'a donné M. Schwab pour obtenir le rapport approché de la circonférence au diamètre. {Voy, ses Èlémens de Géométrie, p. 104.)

Au lieu de supposer le diamètre connu , et de chercher la circonférence, comme Archimède, ou l'aire, comme Gregory, M. Schwab détermine tant le rayon du cercle circonscrit que celui du cercle inscrit à une auite de polygones réguliers du même périmètre^ mais dont le nombre des c6tés va toujours en doublant ; et il trouve, entre ces rayons, deux relations très remarquables. kR(Jig. 4?) éia^X le demi-côté d'un polygone régulier quelconque , son centre^ OA sera le rayon du cercle inscrit , OB celui du cercle circons- « crit , dont l'arc BC fait partie. Si l'on tire ensuite CB, puis, du point 0, OD perpendiculaire sur GB, enfin DE perpendiculaire sur AC , l'angle ACB et la droite ED étant respectivement les moitiés de l'angle AOB et delà droite AB, EQ sera le demi-côté du polygone qui en contiendra le double de celui auquel appartient AB, et qui aura le même périmètre. Cela posé, si l'on désigne par r et r' les rayons AO et CE des cercles inscrits à ces polygones , par R et R' les rayons

Àt>DItlO)IS. 27&

0& et CD des cercles circonscrits, i®. comme CE==:iAC=i(ÂO + OC) = i(AO + OB), ^ '• + R

on a r = — ■ — ;

a®, le triangle rectangle ODG donnant

CD=OCxCE, il s'ensuit que R'= l/SZ

En mettant dans l'expression de / la valeur de

R=: VÂÔ* + AB*= l/r" -f. c% dans laquelle c représenté le demi*côté AB , on obtiendra

Écrivant ^ z et ~ z^ au lieu de r et de r\ on aura

où z et / représentent les diamètres, et ce qui s'accorde avec la formule tirée de la construction de Descartes.

M. Schwab applique d'abord ses formules à l*hexagone dont le côté est pris pour unité : dans ce cas , on a en premier lieu

et avec ces valeurs on obtient très aisément r' et R'.

Parvenu au polygone de 6 1 44 côtés, M. Schwab trouve

preikant alors r pour le rayon,du.oercle qui $e con-* fond avec le polygone dont le périmètre s= 6, l'auteuy

obtient

ar 2X0,9549296 ^ ^

Dans le quarrë choisi par Descartes, le côté = i f

Je terminerai cette note par l'exposition du déroulement ingénieux de la circonférence, indiqué dans te tome II des anciens Mémoires des Savons étrangers, par Oathier (p. a33).

Ayant tiré deux droites AX, AY {Jig. ifi) , perpendiculaires entre elles, et décrit le demi-cercle AMG, qu'on se propose de rectifier, on prendra , sur AX , les distances

ADr=:2AG, AE=aAD, AF=2AE, etc. ;

on élèvera Ce perpendiculaire sur AG, et terminée â la rencontre c de l'arc kc décrit du point G comme centre, puis on tirera De qu'on prolongera jusqu'à la rencontre de l'arc A^/ décrit du point D comme centre, et ainsi de suite. 11 est d'abord évident que le quadrant Ac est de même longueur que la demi-circonférence AMG ; et Ton aperçoit sans peine qu'en doublant toujouro le rayon des cercles, et formant des angles G, D, E| F, etc. , dont chacun est la moitié de celui qui le précède > on obtient des arcs Ac, Ad, Ae, A/*, etc. de même longueur, mais dont la courbure décroit sans cesse , et qui ont pour limite , sur la droite AY, une portion égale à la demi-circonférence AMG.

Les points G, c, dj e, /, etc. sont tous isolés; mais il est évident qu'ils font partie d'une courbe

ADDITIONS. fànn

continue formée par les extrémités des arcs de même longueurappartenant aux cercles passant par le point A, et décrits, en prenant successivement pour centre tous les points de la ligne AX. On voit facilement que cette courbe est une sorte de spirale qui fait une infinité de révolutions autour du point A ; car les rayons étant pris de plus en plus petits , la longueur de Tare AMG pourra embrasser tel qombrç de çircon|érences qa'on voudra..

ADDITION à la page i lo.

Les raisonnemens que nôtres autour ajoute à ce qu>, dit Newton sur l'impossibilité de U quadrature du: cercle y ne passent point encore pour une démonstra;tion complète de cette impossibilité. L'inutilité constante des tentatives faites jusqu'ici par les plus habiles géomètres, dont toute la sagacité s'est montrée dans l'invention des moyens qu'ils ont créés pour attaquer la question, et dans le grand nombre de résultats ap«proximatifs qu'ils ont obtenus;, cette inutilité , dî^-je» établit une tr^ grande probabilité que le problème n'est résoluble que par approximjïtion^

Beaucoup d'autres difficultés du même genre ramèfiient à une semblable conclusion, et font regarder comme certain que , de même qu'il y a des quantités , dites irrationnelles, qui ne peuvent s'exprimer en termes finis, par des nombres, soit entiers, soit fractionnaires , il existe un autre genre de quantités qui ne peuvent, s'exprimer par un nombre fini de termes nonsei^l^ment rationnels , mais irrationnels. Ces d^rnièr^

51^8 ADHITIOIIS,

sont appelées inmscendames. La ebccHniémice et Take du oerde sont telles par raifort an myoïi et aa dijH mètre; mais, ce qu'il faut bien remarquer, les transcendantes se partagent en classes diverses de plus «n plus ëleyées , parce qu'on ne saurait les exprimer les unes par les autres en termes finis. Tels sont les arcs d'ellipse, par exemple, à Tëgard des arcs de cercle, parce que la rectification de la première de ces courbes ne peut être raniene'e à celle de la seconde. Laplaoe a dit à quelques personnes qu'il en avait une démonstration rigoureuse ; mais on ne Ta point retrouvée dans ses papiers. Avec cette démonstration , on eût été pli^ avancé par rapport à l'ellipse que pour le cercle.

Ce qu'il y a de positif sur ce dernier est la démonstration par laquelle Lambert (Mémoires de V Acad. de Berlin j année 1761, p. 266), établit que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre imh^ tionneL Bans la note lY de ses Élémens de Géométrie y M. Legendre , en abrégeant cette démonstration , a fait voir que le quarré du même rapport est aussi un nombre irrationnel. Peut-être s'exprimerait-ôn plus exactement , en disant que ce rapport et son quarré ne sauraient être exprimés en termes rationnels ; car il reste encore à savoir ce que peuvent être les puissances plus élevées , et. s'il en existe aucune qui soit rationnelle.

Si les formes sévères du calcul n'ont pas mené plus loin , il ne faut attacher aucune importance aux considérations vagues par lesquelles Bufibn a tenté d^y suppléer. (Essai (t Arithmétique morale, vers la in.) Ce n'est autre chose que l'abus d'une vaine métaphy-

ftiqoe «ppK^éé à la Géométiiei II en est de ménie de Tàrtide QimdrautPe du Cercle dans le Dictionnaire des MathémtùiqueB de PEne)rchpédie méthodique. Toiites ces idées creuses sur l'infini , qu'on yeut pour ainsi dire manier , ne mènent jamais à rien de solide. On a déjà tu comment elles ont trompé les anciens , ensuite Yiète et Descartes (p. 54 9 27}*

Je tei^nmerai en rappelant ici la déclaration que l'Acttdémie des Sciences , &tiguée des continuelles iin** portumtés des quadrateurs, fit en 177$ {Mémoires de VAcad*, ann. 1776, Histoire ^ p. 6i) :

« L'Académie a pris , cette année , la résolution de 1^ ne plus examiner aucune solution des problèmes de » la duplication du cube , de la trisection de l'angle » ou de la quadrature du cercle j ni aucune machine » annoncée comme un mouvement perpétuel. »

Cette déclaration est accompagnée de réflexions dans lesquelles Gondorcety alors secrétaire perpétuel de l'Académie , développe avec clarté et précision les motife qui appuient la résolution qu'elle a prise.

ADDITION à la page i6i.

Montuda ignorant où le géomètre anglais Machin avait publié ses calculs sur le rapport du diamètre à la circonférence (p. i56)j n'a pu parler de la méthode suivie par ce géomètre , l'une des plus simples et des plus faciles à mettre en pratique. Elle est encore fondée sur la série qui exprime l'arc par sa tangente ; mais on y détermine d'abord l'arc qui répond à une tangente exprimée par une petite fraction

28o ADDITIOHS.

et l'on répète cet arc un nombre de fois raffisant pour que le produit diffère peu de Farc de 45^. Le choix de la première tangente étant arbitraire, on peut varier les formules ; mais ici je ne m'arrêterai qu'à un seul cas y suflbant pour bien fiûre comprendre et ap~ préder cette méthode, exposée dans le recueil intitulé Scriptores logarithnuc£,jfM'i/L.'Nisiseresit. III, p. i58), qu'on trouve encore dans XeDéveloppemefU de la partie élémentaire des Mathématiques, par Bertrand deGenève (t. II, p. 43a) , et dans d'autres ouvrages plus récens.

L'arc dont la tangente &= g, étant répété 4 fois , en

donne un qui diffère fort peu de celui de 45^ dont la tangente ?x i ; car la formule

a tanga

tang 2a = :-2-

' I — tangû*'

lorsqu'on y £ût tang « ■= g , conduit d'abord à

* lo 5 ,

tang aas= — s=— ; et changeant ensuite tai^ acn

tang aa, la mèi^e formule donne ti^g Âass —

fractiop qui ne diffère de Tunité que de — : Tare £a

surpasse donc de très peu celui de 45^.

Pour en découvrir l'excès, on a la formule ,

^^rtçfA^B)^ tang A- tang B ^^ ^ i-f tangAtangB'

dans laquelle on fera tong A = —, tang B = i ; avec

ces valeurs , on trouvera tang {^a — 45®) =-0- • M ««i*

de là que

4,,^45. = -L - j^ + g^- etc. ;

mais tang a étant 7, ou en déduit

et par conséquent

puis mettant cette expression dans celle de 4^— -45^7 on en tire

Ces deux séries sont très convergentes , la seconde surtout ; et si la première l'est moins , on en est dédom- , mage par la facilité de son évaluation. En effet , la suite des fractions

formant une progression par quotient , dont la raison est -7 , on passera d'un terme au suivant en divisant

le premier .ytr loo , et multipliftat ensuite k quotient par 4.

Yen la fin du siècle dernier, Yéga poussa jusqu^à i4o ^^nmi^Um. ]e r^iport du diamètre à la circonféimce. Le voici, tA qu'on le trouve dans Tédition du Thésaurus logarithmorutn completus de Ylacq, donnée par Yéga, en 1794 (p. 633) ,

Ce nombre contient i3 cbifTres décimaux de plus que celui qu'a trouvé de Lagny, et qui est rapporté sur la page 157. Au bas de cette page ^ j'ai cité , d'après Montucla, une addition de 27 chifiires décimaux qui en portent le nombre à i54 ; mais il n'y a que les 9 premiers qui soient les mêmes dans ces deux additions : les autres sont donc douteux. La différence tiendraitelle à une erreur de transcription faite par Montucla? C'est ce que j^ignore, n'ayant pu remonter à la première source de l'addition qu'il rapporte» Quant à Yéga f il a répété , en 1 797, dans ses tables de logarithmes , en 2 vol. in-4°9 le résultat cÎHiessusj mais,^ en 1789, il en avait donné un autre y en i44 chif&res, qui diffère de celui-ci à partir de la 127' décimale : il se termine par

(F'ojr. les Nova acta Acad, petrop, , t. IX^ p. 4^ de l'Histoire.)

QBK»i qttll enk^okp si l'on 8%^ tient attjf i!26 décimales eonforme» de ebaqae cAvé , l^appr oximation est encore prodigiense ; et pour en Mre nûeost jtiger, nous teneiidrons sar ce qu'on lit à la page 7, où l'on né TOii qu'une apprédaâon un pen yagoe.

II suffit de 16 décimales pour obtenir à moins d'an millième de millimètre (moins de ^^ de ligne) la circonférence d'un cercle dont le rayon serait ^al à la distance nioyenne de la terre au Soldd. En effet, cette dUtance est de 152688700 kilomètres ; en la doublant, on aura le diamètro égal à 3p53774qo Idloiuètres^ et poYir le convertir en millièmes dç millimètres, il faut le multiplier par le produit 1000.1000= 1 000000, ce qui ne fera encore qu'un nombre de i5 chiffres. Si donc on multiplie ce nombre par le rapport de la circonférence au diamètre , la 16^ décimale n'influera pas sur les unités duprodtdt. Cette approxiination est déjà très remarquable > puisque, l'épaisseur d'un cheveu moyen étant environ la 10* partie du millimètre, le millième de ce dernier est à peine le centième de l'épaisseur du cheveu.

Que serait-ce donc si , comme l'auteur, on prenait 35 décimales, c'est-à-dire 19 chiffres de plus que cidessus, de sorte que la (ïemière décimale ne serait que la loooo 00000 00000 00000^ partie de celle de l'exemple précédent? Qu'on juge par là de ce que serait l'approximation donnée par 126 décimales. Ceci montre avec la dernière évidence combien il est inutile de prendre la peine de démêler les paralogismes des quadrateurs , quand on a un moyen si simple et si sur d'apprécier leurs inventions.

a84 ADDITIOMS.

Au moment où j'écris ceci, un journal {le Courrier fran^us du samedi , a4 jttittet i83o) annonce une non- Telle tentatiTe y donnant le rapport de 700 à 2207» ce <Itti revient à 3,i5,., , résultat déjà fsiutif au second chiffire décimal.

ADDiTion à la page i68.

L'assertion &ite par l'auteur, sur cette page, peut aisément se vérifier, en déterminant, par le moyen des séries qui expriment les lignes trigonométriques, celles de la figure 2 1 ; mais je me bornerai à donner le calcul numérique du cas où il s'agit de Tare de 60*, déjà fort grand*

Soit CiB=ea=: I , BF=(^=: sinus verse de B6; on aura CF=si — v, eFsssS — •*, eB = 3; et puisque

rf : FG :: eB : BA, a viendra BA=s ^^~:Î:!, Mais

comme AE = ^B *» -s BF sr i «*— 7 |f , on en conclura

EF=AE + AF=i — gi^ + a — 1^=3— |v; et la proportion EF : FG :: EB : BB donnera

gg\ a» / (i5— y) y/at^— y*

Si Ton Eut «^s-, ces formules conduisent à

BA=i|^=i,o3923o5, BHi55gv/3 = 1,0464473.

Ces deux valeurs ne diffèrent que d'environ 0,007 ; or.

ADDITIOnS. ri85

Tare de 60» = ^ de i^i/^tÔQaù e'tant 1,0471975, on

voit qu'il excède peu les lignes Bh et BH , et qu'il approche beaucoup plus de la seconde que de la pre-^ mière. ,

ADDITION à la page a^S.

Ce morceau de Géométrie est le plus ancien de ceux qui nous ont été transmis avec un nom connu et une date certaine : c'est ce qui rend précieuse pour l'his^ toire de la science cette partie du commentaire d'£utocitis sur les œuvres d'Archimède. Celui-ci, après avoir trouvé la mesure du volume de la sphère , se propose de déterminer le rayon de celle dont le vo-^ lume est égal à celui d'un cylindre ou d'un cône donnés {Archimed. , Desphœraet cylindro, lib. II, prop. 2), ce qui revient à résoudre une équation du 3*^ degré à deux termes j tar a étant le rayon de la base , soit du cylindre , soit du cône , h leur hauteur, sr le rapport de la circonférence au diamètre , et x le rayon de la

sphère cherchée, on a pour le cylindre, ^woifl =s ^a'A ,

et poui* le cône, %:x'^ = -^a^h, , équations qui revien*

nent à x^ =c {T^ojrez p. 218, note.)

On peut être surpris de lire au commencement du %y y que « la solution de Platon a le défaut de ne M pouvoir être avouée par la Géométrie , » quand on voit plus loin (p. 282) , les éloges que notre auteur donne à la solution de Nicomède , laquelle suppose aussi l'usage d'un instrument. Celui-ci peut être plus

286 AIMHTlOMfi.

commode que le châssis proposé par Platon ; mais it n'en est pas moins une machine di£férente de la règle et du compas, seuls admis dans la solution graphi<pie rigoureuse des problèmes de G^omécrie.

Au fond c'est toujours une courbe qu'il faut décrire | et il est aisé de saisir la génération de celle qui répond à l'usage du châssis représenté dans la figure ^5*,

Quand on le place au hasard , en mettant la base FG sur le point E (^^. aS* et aS) , et l'un de ses angles sur BA , en un point quelconque D , puis qu'on fait mouvoir la traverse jusqu'à ce qu'elle passe par le point A, l'angle droit G peut tomber sur une infinité de points différons. Cette opération revient à mener arbitrairement la droite £D {Jig* 49) > P^^^ à élever d'abord sur celle-ci une perpendiculaire indéfinie DG , sur laquelle on en abaisse ensuite une du point A, et l'on marque le point de rencontre G de ces deux perpendiculaires. En donnant diverses positions à la ligne ED , et répétant la cons-> traction que l'on vient d'indiquer, on trouvera autant de points C', G"... qu'on voudra de la courbe décrite par l'angle du châssis, lorsqu'on le fait mouvoir pour arriver dans le prolongement de B£.

Pour obtenir l'équation de cette courbe , on fera AB=a, BE = *,AP=:«:r^PC=5:j-; on aura

pg:aP::be:BD, on j:x::b:BD=z—;

et comme le triangle rectangle DCA donne .

ÂPXPD=:PC*, et que PD = AB ^ BD-- AP , il vient

A0DiTi<»ia. 1187

xfa + —'^x\:=jr\ otij^+xy—a3fy—bx*=:04

Cette équation appartient à la 34' espèce dans l'énumération des Ëgnes du troisième ordre , Êiite par Newton {Opuscula, 1. 1*', p. 258). Elle est représentée dans la figure 5o.

La solution du problème de la duplication du cube, répondant au cas où l'angle droit C (Jig, 49) tombe sur la ligne BE, c'est-à-dire à l'intersection de cette droite et de la courbe CCC , alors x=za, ce qui réduit l'équation précédente àj^=«'^.

La lettre dTÉratostbènes , citée p. 23o , est un monument curieux de la Géométrie ancienne. On y voit l'importance qu'on attachait alors au problème de la duplication du cube, puisque ce géomètre appendit dans un temple l'instrument qu'il avait imaginé , et qu'il le crut digne d'être consacré à la divinité. Sur la colonne qui portait cette offrande, était gravé le résumé de la démonstration du procédé. Enfin , il célébra sa découverte par une épigramme qu'Eutocius nous a con- 8ei*vée et dont Montucla a fait mention à la page 2a5; mais comme il n'y en a point de version latine dans l'édition à*Archimhde par Torelli , j'ai cru devoir rapporter la traduction que M. Reimer a donnée à la page i47 de l'ouvrage que j'ai cité p. 217.

Si cnbnm brevi tempore dnplum , o optime, constraere Vu, lia nt omnif figura solida in aliam Bene posnt transformari : hoc tîbi perficietur, et si stabnlum, Aut granariam sabterraneam , aut cavae cïsterna altam spatinm- Hoc (instramento) metiri yelis , qaando médias terminis extremî» Concurrentes întra dnplices snmseris regnlas.

a68 additiomsa

Ne ta Afchyta diflkilliinit opeimûonibaf cylindtoraitt i

Ne Menachnueit io oonci tecandii ternaruf

Operam impendas; neqne tî qaa dinaï Endozi

Gnm in Hnaît tpeciet deicribimr.

Hiice aotem in ubellis média infiniu conuroai

Commode, inde a parro fando ezonnt.

Felik Plolomae pater, qabd Ûio naa pnbcflceiis,

Qoscaoqae et MuaU et Regîbnt cara annt,

Ipae largitnt et ! Impotteram aoiem, 6 cœlestis Japiter,

Et ioepcra ex tna accipiat manu !

Et bac <]aîdem ita perficiancarl Dicat aatem qais donariam TÎdensi

Cyrenai boc eat Eratosibenis.

Le prix qu'Êratosthènes mettait à son invention pouvant faire désirer de savoir en quoi elle consiste , nous allons suppléer à Vomission que notre auteur a fiiite sur ce sujet.

Soient trois planches rectangulaires ABCD (Jig. 5i), k'VCVy A'B'G'D", de même hauteur et glissant entre des rainures parallèles , AB" , DC^, en soite que la planche du milieu A'fi'G^D' étant file , on puisse fidre avancer sur celle-ci la première ABCD, tandis qu'on iaît passer dessous la trobième A'B'CD^. Par suite du recouvrement de ces planches , la première cache une partie de la diagonale de la seconde , et eelle-ci une partie de la diagonale de la troisième* C'est ce que montre la figure 52, dans laquelle les lignes ponctuées A'D', A'I)^ marquent les bords ca* chës par le recouvrement , E et E' les intersections des diagonales avec les bords BC et B^C. Cela posé , si AD représente Tune de grandeurs données, E^C^ l'autre, et que les planches aient été disposées de manière que les points E et E' tombent en ligne droite avec les

ADJHTIONS. ^Sq

points A et E\ les lignes EC et EC seront les moyennes dierchées.

En effet , les triangles semblables D AC , CEC, CVC, donnent d'abord

AD : CD :: CE : ce, ad : cd :: ce' : ce* ;

d'où <-/v CPxCE ^^CDXC^'

mais pour que les points A» E^ E', E'' soient en ligne droite , il £iut que l'on ait

AD — CE CE — CE' CE^-^dS" CD ce "^ ce '

or, si Ton met pour €C, CC, leur valeur, la largeur CD de la planche ABCD disparaîtra comme diviseur commun; il viendra

faisant évanouir les dénominateurs, et réduisant, on trouvera

CE=ADxCE', CExêÊ'=ÏDxCE', ce qui donne les proportions

AD: ce:: CE: CE', ad:ce::CE':ce%

qui reviennent à

AD : CE :: CE : ce' :: ce' : ce*.

Je terminerai ei^ observant qu'il faut ajouter aux

39^ ADlMTlQirs.

sources indiquées par Montuda , le recueil intitulé f^eterum Mathematicorum Opéra, dans lequel se trouvent les solutions de Héron d'Alexandrie (p. i43) et de Philon de Bysance (p. St) , et en rappelant que DesearteSy dans le second livre de sa Géométrie, et au commencement du troisième , donne un procédé pour obtenir, par une combinaison, d'équerres, autant de moyennes proportionnelles qu'on voudra, entre deux grandeurs données.

riN DES ADDITIONS.