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figure semblable à celle d'un croissant. Cette découverte est aujourd'hui si connue, même de ceux qui ne se sont jamais éleve's au-dessus de la Géométrie élémentaire, que je puis me dispenser de l'expliquer ; je le fais d'autant plus volontiers, que je me ménage par là un peu plus d'étendue pour des choses plus intéressantes ^'\

Rien n'était plus propre à entretenir une espérance flatteuse de la quadrature du cercle que cette tlécou verte. Hippocrate s'y livra en effet, et elle le conduisit à un malheureux naufrage, si nous prenons à la rigueur ce que disent Aristote et Eudemus l'historien , de la Géométrie ancienne , cité par SimpUciiis. Tel était le raisonnement dH Hippocrate^ suivant ces auteurs. Il inscrivait à un demi-cercle A {Jig- 2) un demi-hexagone, et sur chacun des côtés il décrivait les demi-cercles B, C, D, puis un

^0 Couîine cette proposition est plus curieuse qu'utile , elle a disparu cle la plupart des élémens ; j'ai donc cru devoir la donner dans une des Additions que j'ai placées à la fin de l'ouvrage , et où l'on trouvera quelques supple'meus dont cet article et les suivans pourraient avoir besoin.

quatrième E, à part. Après quoi il raisonnait ainsi : ces quatre demi-cercles, disait-il, sont égaux au plus grand A ^'\* otant donc ce qu'ils ont de commun, savoir les trois segmens b, c, dj on aura les trois lunules B, C, D, et le demi-cercle E égaux à riiexagone A. Qu'on ôte donc, continuait-il , de cet espace rectiligne la valeur de ces trois lunules, le restant sera égal au demi- cercle E.

Ije faible de ce raisonnement est si aisé à sentir, que , malgré l'autorité des historiens que j'ai cités, je ne puis me persuader qu'^/ppocrate en ait été séduit : en efTet, il est visible que ces lunules ne sont point celles dont il avait précédemment donné la quadrature.

Comment accorder une inattention si grossière avec la sagacité que d'autres découvertes lui supposent? Toujours porté à juger favorablement de ceux qui ont bien mérité des sciences, je crois qu'il faut donner quelque autre sens à cela. Hippocrate ne voulait-il point proposer un moyen qu'il jugeait propre à conduire quelque jour à la quadrature du cercle ? Il avait quarré une espèce de lunule , il pouvait

^') Puisque le diamètre de celui-ci est double du diamètre des autres.

4o HISTOÏKK DK LA QUADRATURE

espérer que quelque autre, plus heureux, quarrerait un jour une de celles qui entraient dans son raisonnement. Dans ce cas, voilà, disait-il, la quadrature du cercle trouvée. C'est ainsi qu'il transformait le problème de la duplication du cube en nn autre, savoir, en celui de l'invention des deux moyennes proportionnelles. Au reste, j'abandonne ce géomètre à son mauvais sort, dans l'esprit de ceux qui croiront devoir déférer davantage aux témoignages à' Aristote , (ÏEudenius et à'EiitociuSj qu'à mes réflexions. Je remarque seulement que les services réels qu'il rendit à la Géométrie de son temps, doivent effacer de son nom la tache que cette erreur y laisserait imprimée, s il n'était connu que par elle '-"^

^■^5 Quoique la découverte de la lunule à^ Hippocraie soit des plus éle'mentaires, plusieurs géomètres modernes de la première classe semblent s'être plu à l'illustrer par diverses additions ingénieuses. M, de T'chiniaiisen a. annoncé {Act. de Leipsic, lôS-j^p. 524), que , tirant une ligne quelconque du centre C {Jig. 3), l'espace courbe AID était encore absolument quarrable, et qu'il était égal au triangle rectiligne ACH , déterminé par le pied de la perpendiculaire DH à AB. La même chose à peu près a été rencontrée par M. Jean Perhs, qui égale à cet espace le triangle ADF, te ijui est plus aise

DU CERCLK. . /) I

Nous devons à Arislote la mémoire de deux géomètres qui prétendirent contribuer de

à apercevoir. {Trans. ph.il., 1699, p. l^w^ et Aci. de Leipsic, I noo , p. 3o6.) Voici la de'monstration de l'une et de l'autre. L'arc AI qui mesure l'angle ACI qui est à son centre, est semblable ^0 à la moitié de l'arc AD qui mesure le même angle , parce cju'il est à la circonférence du cercle dont BDA est portion ; donc le segment entier dont AFI est la moitié, est semblable au segment AD, et, par conséquent, ils sont entre eux comme les quarrés des rayons de leurs cercles, c'est-à-dire comme 2 à I. Le demi-segment AFI est donc égal à AD, et le triangle recîiligne ADF est égal à l'espace curviligne triangulaire ADI. A présent , le triangle ACH est à ACB, comme AH à AB, ou le quarré de AD au quarré de AB ; mais c'est encore là la raison du triangle ADF à ACB , à cause qu'ils sont semblables , l'angle ADF étant toujours demi-droit , puisqu'il est appuyé sur le quart de cercle AC , qui se formerait de la continuation du demi-cercle BDxi. Le triangle ADF est donc égal à ACH, et par conséquent l'espace curviligne ADI est égal à l'un ou à l'autre. MM. Grégori , TVallis et Caswel {Act. de Leipsic, lieux cités) ont trouvé divers autres espaces absolument quarrables dans la lunule conjuguée , c'est-à-dire celle qui se formerait par les mêmes circonféi'ences continuées. M. de VHospital a

i'5 C\'si-à-<lirt' ;lu tncnip nniiiliic (le degrés.

leurs lumières à la de'coiiverte de la quadrature du cercle : mais, quoique ce philosophe

donné {Mém. de VAcad., 1701, p. i'^) une niétliode pour retrancher tant qu'on voudra d'espaces absolument quarrables, compris entre deux parallèles, comme GK , soit dans l'ancienne lunule d'Hippocrafe , soit dans celle qui se fait du demi-cercle AEB , et des deux quarts de cercle rentrans, comme BlgC, A/C.

Avant tous ces géomètres, M. /^z>/f? avait imaginé une manière beaucoup plus générale de trouver des lunules absolument quarrables, dont celle à'Hippocrate n'est qu'un cas particulier {Vietœ Opero, p. S^S) ; car, si l'on a un arc de cercle comme ABCDE {fig. 4)' tel qu'étant divisé en un certain nombre de parties, comme ici en 4 (ou phis généralement m), le cjuarré de AE soit à celui de la corde d'une des portions, dans la raison de 4 à i (ou de m à i ) , il est visible que , faisant l'arc sur AE semblable à ceux des segmens AB, BC, etc. , l'espace circulaire courbe ABCDEFA sera égal au polygone rectiligne ABCDEA , ce qui est assez évident pour m'éviter la peine de le démontrer. Or, toutes les fois que m ne surpassera pas 3 , on pourra trouver un pareil arc par la Géométrie plane ; mais le problème sera solide ou plus que solide, quand m sei-a un nombre plus grand. Tout cela se trouve et se démontre aisément à l'aide de la théorie des sections angulaires, ou des relations des cordes des arcs multiples ou sousmultiples. {V. L'Hospital, Sections coniques, p. 4* 5.) Ou trouve dans les Mém. de VAcad. de Berlin,

DU CKRCLE. 45

les desapprouve également, ce serait faire tort à l'un d'eux que de les ranger dans la même

1748 (p. 482), un mémoire de M. Cravier, où, après avoir réfuté l'opinion do M. Heim'us, qui avait prétendu qii' Hijjjjocrale de Chio était le même qu'Ofî'»/pide de Chio {Mcin. de V Acad. de Berlin, i ^4^) P- 4 ^ °)' autre géomètre et astronome pythagoricien, il ajoute quelques découvertes nouvelles sur cette fameuse lunule. Mais il serait long de les expliquer ici, et cette note , où j'ai encore bien des choses ù dire, en deviendrait d'une prolixité excessive.

L'invention à^ Hippocrate de Cliio n'est qu'un exemple particulier d'un espace circulaire absolument cjuarrable ; on peut en trouver une infinité d'autres , et divers géomètres en ont donné des exemples. On a un ouvrage de M. Arihus de Lionne , évèque de Gap , intitulé Curvilineorum amœnior conlemplalio , où ce prélat géomètre a doimé un grand nombre de pareils espaces : ce que j'ai dit plus haut des additions de MM, Tchirnausen et Perks à la lunule à^ Hippocrale , ne lui avait pas échappé. M. Varignon en a donné un nouvel exemple dans les Mémoires de V Académie, de 1 703 (p. 21) ; il y fait voir que, si l'on a deux cercles concentriques et un secteur ACB [fig- 5), et qu'on prenne l'arc DF à DE , comme CA" — CD* ; CD^, l'espace EDFAB est égal au triangle rectiligne CFA ; car le secteur CFD est au secteur GDE comme FD : DE; conséquemment comme CA'^ — CD" à CD'*, par la construction. Or, cette dernière raison est encore celle de la

classe ^'\ Brjson raisonnait bien mal pour un géomètre, si c'en était un, lorsqu'il prétendait que le cercle était moyen proportionnel entre le quarré inscrit et le circonscrit, il était aisé de voir dès lors que ce moyen proportionnel était seulement l'octogone; car, en général, deux polygones semblables étant inscrits et circonscrits au cercle , le moyen proportionnel entre eux deux est l'inscrit qui a le double de côtés.

Il y a plus de justesse dans la prétention du géomètre Antiphon: celui-ci regardait le cercle comme un polygone d'une infinité de cotés;

portion circulaire EBAD au secteur DEC ; le secteur CFD est donc égal à EBAD, et ajoutant de part et d'autre FAD, on a EDFAB= au triangle ACF. Un jeune géomètre, le frère de M. Clairaut , de l'Académie des Sciences , âgé de quatorze ans , donna , en 1780, un petit ouvrage très ingénieux sur ces espaces circulaires absolument quarrables, dont il a trouvé un grand nombre au-delà de ceux qui étaient déjà connus. On a quelque chose de semblable de M. Saulmon {Mém. de VAcad., I7i3, Hisl. , p. Sg) ; mais je ne m'arrête pas davantage à ces curiosités géométriques, afin d'abréger. Ceux qui eu seraient plus amateurs qu'elles ne méritent ordinairement peuvent consulter les livres et les endroits cités,

i'^ Voyez, à la fin du livre, Addition à la page 38.

DU GF.KCLK. /p

c'est du moins ce qu'il est naturel de conjecturer d'après ce qu'il disait, que l'arc, diminuant de plus en plus, se confondait enfin avec sa corde. Mais cette idée fut mal accueillie des anciens; le temps n'était pas encore venu où l'on oserait, qu'on me permette ce terme, envisager de face l'infini. Au surplus, c'était une idée stérile dans ce temps-là. Comment déterminer la raison d'un polygone inscrit au dernier de cette suite infinie, qui se confond enfin avec le cercle? Vihte l'a fait, à la vérité, parmi nous, par le moyen d'une suite infinie de termes, mais sans beaucoup d'avantage pour la mesure du cercle. (Vietœ Opera^ p. 4oo.) On en parlera quand il en sera temps.

On aura quelque lieu de s'étonner que, malgré les recherches de tant de géomètres pour quarrer le cercle , on ait été jusqu'au temps ^Archimède ^"^ sans en connaître, du moins à peu près la grandeur^'^ j'entends dire

^") Architnede fleurissait vers le milieu du troisième siècle avant Jésus-Christ, et fut tué , fort âgé, à la prise de Syracuse, l'an 212 avant l'ère cluétienue.

f') Cela n'est pas prol>able ; mais l'injuste mépris

avec quelque exactitude suffisante peur la pratique. Le géomètre de Sjracuse, quoique entièrement livré à la théorie la plus sublime, sentit, ce me semble, le premier, l'utilité de cette connaissance ; ses découvertes sur un grand nombre de corps et de surfaces , qui le ramenaient continuellement à la mesure du cercle , tournèrent nécessairement ses vues de ce côté : laissant donc la recherche de la quadrature absolue, qu'il jugea très difficile, peutêtre impossible , il se borna à en approcher d'assez près, et il rendit par là un service considérable aux arts. Nous devons à ces sages vues le livre de Diniensione circuïi , livre où il démontre ces deux vérités d'un usage si journalier : l'une, que le cercle et tout secteur de cercle est égal au triangle rectangle formé de sa circonférence pour base, et du rayon pour hauteur j l'autre, que la circojiférence du cercle est moindre que 3 fois et les - du diamètre , mais quelle est plus grande que 3 fois et les ^° de ce même diamètre ^ d'où il suit que la cir-

que Platon et son école avaient pour tout ce qui était sensible et applicable , n'a laissé venir jusqu'à nous aucun des procédés de calcul et de Géométrie usités dans le commerce et les arts de construction.

conférence diflère peu de la première de ces limites, et qu'elle est, à peu de chose près, égale à 5 fois et ^ du diamètre, ou qu'elle lui est à très peu près, comme 22 kj y et le cercle au quarré du diamètre, comme 11 à 14. La pratique des arts, que l'on servira toujours utilement quand , à une exactitude médiocre, on alliera une grande facilité, a adopté ce rapport, le plus exact de tous ceux qu'on puisse donner en aussi peu de chiffres. Archimèdey comme nous en assure son commentateur Eiitocius ^"^^ se proposa ce seul objet; sans cela, il lui aurait été facile d'atteindre par sa méthode à une plus grande précision; mais celle-ci est suffisante dans les cas les plus ordinaires, et il n'y a plus que les derniers des artisans qui l'ignorent , ou qui négligent de s'en servir.

Tout le monde, du moins le monde géomètre, sait de quelle manière Arcliimède parvint à cette approximation ; mais il ne sera peut-être pas inutile de l'exposer pour ceux qui, peu versés dans la Géométrie, n'en au-

"^"^ Comm. in librurn de. Dim. circuli.

/j8 HISTOIRE DE LA QUADRATURi:

raient pas une idée distincte. 11 est clair, par les plus communes notions, que la circonférence du cercle est moindre que le polygone circonscrit, et plus grande que l'inscrit. Archimède inscrivit donc et circonscrivit au cercle deux polygones de g6 côtés chacun, et calcula, par les propriétés du cercle, la longueur de leur contour : or, ce calcul lui montra que le contour du polygone inscrit était plus grand que 5 r° du diamètre , et que celui du circonscrit était moindre que 5 1-ii, ou 3; du diamètre. 11 est donc nécessaire d'en conclure que la circonférence qui est elle-même plus grande que le contour du polygone inscrit, surpasse, à plus forte raison , 3 fois le diamètre , plus ses r, , et que la même circonférence, qui est moindre que le contour du polygone circonscrit, est moindre que 3 fois le diamètre avec ^.

Plusieurs personnes intéressées à se faire illusion pour maintenir quelque prétendue quadrature , ont cherché à éluder cette démonstration : elles ont objecté, avec une sorte de confiance capable d'en imposer, que l'impossibilité d'extraire exactement les racines de

DU CERCLK. 49

plusieurs quarrés qui entrent dans le calcul iX Archimede , a dû nécessairement l'entraîner dans quelques légères erreurs, et que ces erreurs, accumulées dans une longue suite d'opérations, ont pu lui faire prendre un nombre trop grand pour le polygone inscrit , ou un trop petit pour le circonscrit , suivant que ces racines auraient été prises par excès ou par défaut. L'objection est raisonnable ; mais cependant elle ne prouve rien de plus, sinon que ceux qui l'élèvent ne se sont pas donné la peine de consulter l'écrit àiArchiniède. En effet, ce géomètre avait trop de sagacité pour ne pas la prévenir, et la manière dont il fait son calcul ne lui laisse aucun lieu; car il ne prend point la valeur approchée du côté du polygone pour sa valeur exacte. Mais s'agit-il, par exemple, du côté du polygone inscrit, son raisonnement et son calcul sont arrangés de manière que , prenant les racines par défaut , cette erreur, qu'on ne peut éviter, lui produit nécessairement un nombre moindre que le véritable, pour la grandeur du côté du polygone inscrit. Ce nombre , multiplié par celui des côtés du polygone , est 6356 , le diamètre étant 2017 \ : il conclut donc bien légitimement que le polygone inscrit est plus grand que

5o HISTOIKE DE LA QUADRATURE

6336. Or, comme cette raison est certainement plus grande que celle de 5 '^ à i , il est évident que la circonférence du cercle est au diamètre en une raison plus grande que celle de 3 ^ à I, ou qu'elle est plus grande que 3 fois le diamètre et r,. Un artifice semblable fait conclure à Archimède que le contour du polygone circonscrit est moindre que 14688 , le diamètre étant 4673 \ ; d'où il conclut que la circonférence est moindre que 3 fois le diamètre et ^. On peut s'assurer de tout ceci dans le Commejitaire d'Eutocius, qui , sentant toute l'importance de ce procédé ingénieux , l'a développé avec soin. La conséquence ^Archimède est inébranlable.

M. de Lagnj a remarqué dans le calcul d^ Archimède une nouvelle finesse que personne n'y avait aperçue avant lui. Le géomètre grec suppose que le rayon est à la tangente de 3o°, comme 265 à 1 53; ces deux lignes sont d'ailleurs comme V^3 : t , de sorte qu'il est évident c^ Archimède extrayant la racine de 3 , l'a déterminée prochainement égale à ^^. Or, cette valeur est précisément une de celles qu'une analyse assez fine fait rencontrer en cherchant les fractions rationnelles les plus simples eu

DU CERCLK. 5l

même temps , et les plus approchantes de la racine cherchée; car '^ équivalent en fractions décimales à 1,732026 etc., qui ne s'écartent de la vraie racine de 5, savoir i,732o5o etc., que de ~^^ ou moins d'un 4oooo*" : mais la valeur

ïoooooo 1^ '

trouvée par Archimède a sans doute l'avantage d'être beaucoup plus simple. Comme une exactitude si recherchée ne peut pas être un effet du hasard, ce nous est une nouvelle raison de remarquer le génie de ce grand homme, dans le choix adroit qu'il a su faire des nombres les plus avantageux.

Ce ne sont pas seulement les géomètres modernes qui , atTectant une précision plus grande que celle &' Archimède ^ ont cherché à approcher de plus près du cercle; l'antiquité eut aussi ses laborieux approximateurs; il est, à la vérité, fort probable que la grande difficulté des opérations de leur Arithmétique ne leur permit pas d'aller bien loin. On sait que cette difficulté était si grande, qu'il leur était absolument impossible de manier des chiffres aussi considérables que les nôtres ; ainsi , ils durent rester beaucoup au-dessous des modernes.

ApoUoiiius^"^ y le célèbre géomètre, est un de ces anciens approximateurs; il donna un rapport plus approchant de la vérité que celui ^ Archiniedef dans l'ouvrage intitulé Q.xutoQqoç^ mot dont on ne sait point la signification , et l'ouvrage est un de ceux de cet auteur qui se sont perdus ^'\ Eutocius nous apprend cela dans son Commentaire sur Archimede ; il nous cite aussi un autre géomètre , nommé Philon de Gadare ^*^ \^7rQyaê'ct^ct}v~\ qui, à l'exemple ai Appollonius j avait enchéri sur le géomètre

(") Jpollonius de Perge fleurissait environ 200 ans avant Jésus-Christ,

0) Hallej-, ge'omètre très érudit , auquel on doit la belle e'dition des Sections coniques à' Apollonius , dit, à la fin de sa pre'face , qu'il faudrait changer ce mot en n>turoKios , qui indiquerait alors que le but de l'ouvrage était de donner le moyen d'effectuer avec promptitude et facilité le calcul des grands nombres. Cette opinion a été partagée , à ce qu'il paraît , par Torelli, dans l'édition à' Archimede, qu'il a donnée avec le plus grand soin. A la vérité, il a laissé dans le texte l'ancien mot (page 216, en haut) ; mais la version latine porte Ocjylocio; et Ocjlociuni indique un remède propre à faciliter et hâter V accouchement.

^*) Il est mal à propos nommé Gadiianus par la plupart de ceux qui l'ont connu ; la ville de Gadare était une ville d'Asie. On ignore le temps où il vivait.

de Syracuse , et probablement sur yfppollonius même, auquel il est postérieur. L'un et l'autre, suivant le récit d'Eutocius, avaient poussé leurs approximations à de grands nombres. Ce commentateur, en nous apprenant que dans le rapport qu'ils avaient donné il entrait des myriades, c'est-à-dire des dix-millièmes ^'\ nous donne lieu de juger qu'ils avaient prévenu une pareille erreur au moins , et peut-être une plus considérable ; car, comme on ne connaissait point alors les fractions décimales , il est probable qu'ils avaient rencontré quelqu'une des fractions de la suite ■^, g-3, J-^-, ^^3, dont la dernière équivaut à une approximation en 10 décimales au moins.

(0 Ceci n'est pas tout-à-fait exact. La Mjriade est une collection de 10000 unités ; et les ge'omètres furent bientôt obligés de fornner des myriades de divers ordres , dans une progression croissante , comme on peut le voir dans ce que Delambre nous a donné sur l'Arithmétique des Grecs, à la fin de la traduction française à! Àrchimede par Peyrard , et dans VHistoire de r Astronomie ancienne (t. II , p. 3) : il n'est donc pas question de dix-millièmes dans le passage indiqué ci dessus ; il en résulte seulement que les nouveaux rapports ne pouvaient s'exprimer que par de grands nombres.

La découverte ai Archimede sur les spirales , quoique peu utile à la mesure du cercle, comme je l'ai déjà annoncé [chap. I", § 6), a cependant avec elle une sorte d'affinité qui ne me permet pas de. la passer sous silence. Elle sert du moins à démontrer ce dont quelques géomètres ont sérieusement douté : s'il était possible qu'une ligne droite égalât une courbe. Viete le révoquait en doute, se fondant sur le paradoxe de l'angle de contingence moindre que tout angle rectiligue, qu'on n'avait pas encore développé; et Descartes donna presque dans le même sentiment, du moins il doutait fort qu on trouvât jamais la rectification d'aucune courbe ; mais ces deux illustres géomètres ne faisaient pas attention dans ce moment à la vérité démontrée par Archimede j et Wete surtout était monté sur le ton de paradoxe , lorsqu'il avançait cette opinion ^'\ 11 est aujourd'hui connu, je dirais presque trivial, que toute tangente à la spirale détermine une ligne droite égale à un arc de

C') Vojez , à la fin du livre, I'Additiox ;'i la y. 38.

DU CF.RCLK.

cercle aisénictil assignable. A quoi tient-il donc, dira quelqu'un , que l'on n'ait la quadrature du cercle ? J'en ai déjà donné la raison; il faudrait pouvoir tirer cette tangente d'une manière qui ne dépendît pas de la rectification de cet arc, et c'est ce qui est impossible.

xn.

Le même inconvénient, si cependant on peut donner ce nom à ce qui paraît devoir être ainsi dans la nature; le même inconvénient, dis-je, se rencontre dans toutes les autres courbes décrites par une combinaison de mouvement rectiligne et circulaire. Dans toutes ces courbes, la tangente détermine une ligne droite égale , ou en rapport donné avec un arc de cercle ; mais il est facile de se convaincre, à laide d'une certaine métaphysique de Géométrie, qu'on n'en doit jamais rien attendre pour la quadrature du cercle. En effet, si quelque construction géométrique , où il n'entrerait que des lignes droites , pouvait déterminer la position de la tangente à une courbe de cette nature, ce serait résoudre un problème sans avoir égard à ses conditions essentiellement détcrminatrices ; car il est aisé

(le sentir que la situation de la tangente dépendant ne'cessairement des propriétés de la formation de la courbe , si cette courbe est décrite par une combinaison de mouvemens , il faut connaître leur rapport; et par conséquent dans les cas dont il s'agit ici, celui du mouvement circulaire avec le rectiligne , ce qui est précisément ce que Ton cherche. Le seul moyen de l'éviter serait de trouver quelque autre construction qui n'employât qu'un mouvement rectiligne; mais il y aurait de l'absurdité à le tenter seulement , puisque ce serait visiblement changer la nature de la courbe.

DU CKKCLE. 57

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