CHAPITRE m

Progrès des recherches sur la quadrature du cercle parmi les géomètres modernes^ jusqu'à l'invention des nouveaux calculs.

Les premières années qui suivent la renaissance des Mathématiques en Europe, époque que je fixe au milieu du quinzième siècle, où fleurirent Purbach et Regiomontanus , ne fournissent rien de remarquable à cette Histoire. Le dernier de ces mathématiciens mérite , il est vrai , des éloges pour le soin qu'il prit de combattre les prétendues quadratures du cardinal de Cusa, homme célèbre de son temps , et qui en aurait imposé si l'on pouvait en imposer aux géomètres. Cet examen fournit même à Regiomontanus une occasion de déterminer des limites de la grandeur du cercle , quelque peu plus rapprochées que celles à'Archimède ^"^ :

t"^ De Ouad. circuli ndi'. /\ic, de Cusa

je ne crois cependant pas devoir m'y arrêter pour passer à des objets plus intéressaus ^'\

Métius est le premier des modernes à qui l'on doit quelque invention remarquable sur la mesure du cercle. Le rapport de ii5 à 355, par lequel il exprima celui du diamètre à la circonférence, a une célébrité justement méritée. Ce rapport a , en effet , un avantage bien digne de remarque : c'est qu'il approche tellement de la vérité, qu'étant exprimé en fractions décimales, il ne s'écarte que dans le 8'' chiffre du rapport si connu de 1,0000000000 etc. à 5,i4i59 26535 etc. Soit bonheur , soit adresse , Métius rencontra , de toutes les fractions possibles exprimées en trois chiffres seulement, celle qui est la plus exacte. Au reste, ce Métius n'est point Adrianus Métius y mathématicien connu au commencement du dix-septième siècle , et frère de Jacques Métius y réputé l'inventeur du télescope ; c'est Pierre Métius j le père de l'un et de l'autre , mathématicien des Etats de Hol-

t') Voyez I'Addition à la page 58.

lande, et qui vivait sur la fin du seizième siècle. Je ne fais cette observation que parce que j'ai remarqué qu'on se trompait ordinairement, en attribuant au fils cette invention que lui-même revendique pour son père, dans

ses ouvrages ^'\

Le célèbre M. Viète, dont les travaux ont tant aidé l'Analyse , contribua aussi de quelque chose à la mesure du cercle. On trouve , ce qui mérite d'être observé , dans une expression qu'il donna pour le représenter^"^; on y trouve, dis-je, la première idée d'une suite infinie de termes. Travaillant à iirer quelque parti de cette connaissance, déjà ancienne quoique peu goûtée, que le cercle était le dernier des polygones inscrits ou circonscrits, il démontra que le rapport du quarré inscrit à ce dernier polygone était celui de l/l à i divisé par

V^r+VT X v/î +Vi-f-v/l X etc.,

^') L'ouvrage dans lequel Adrien Méliiis en parle porte le titre de Geometria praclica ; et il dit que son père avait de'jà publie' ce rapport dans une réfutation de la Quadrature du cercle, de Simvn Duchcsnc.

00 T'ictce Opéra , page 4oo.

6o HISTOIRE DE LA. QUADRATURE

et ainsi à l'infini ; de manière que le diamètre étant l'unité, le cercle est l'unité divisée par

2 Vi X V^ï+VT X\/k-\- V^i+\/l X etc.

Il serait laborieux, j'en conviens, de tirer de là une valeur en termes rationnels; ainsi, quoique cette découverte , considérée dans la spéculation, ait sa beauté , je n'y insiste pas beaucoup. J^iète rendit sans doute un plus grand service à la Géométrie , lorsqu'il établit ce rapport approché du diamètre à la circonférence en II chiffres, savoir, comme 1,0000000000 à 5,145926555 -\- ^""^ : l'erreur est moindre que l'unité dans le dernier nombre, qui, finissant par 6, excéderait dès lors la vérité ; c'est ce que nous avons voulu désigner par le signe -|- , qui annonce que le chiffre 5 est moindre qu'il ne faut; 6 — signifierait que 6 est trop grand ^'^. Personne que je connaisse n'en avait encore approché de si près, et cette

(") Ibid., page 892. M. Vieie fleurissait vers la fin du seizième siècle ; il mourut en i6o3, âgé de soixantetrois ans. M. de Thou en a fait un éloge étendu dans son Histoire universelle , liv. 129, vers la fin.

<^') Voici l'énoncé de Viète : Le diamètre étant composé de 100 parties, la circonférence est plus grande quc3i4,i59f,^;f^\ et plus petite que 3i4,i59 ,^.^.

DU CERCLE. 6l

approximation peut être regardée comme le premier exemple , le signal de celles que plusieurs géomètres donnèrent dans la suite.

Il semble, en effet, que les géomètres désespérant d'atteindre à la mesure précise du cercle, ont cherché à s'en dédommager par des approximations d'une exactitude fort supérieure à nos besoins. Celle de J^iète fut bientôt effacée par celle à' Adrianus Romanus. Ce géomètre des Pays-Bas calcula laborieusement la grandeurdu coté d'un polygone de 1 073741 824 côtés ^'^, et détermina, parce moyen, le rapport en 16 chiffres, de 1,000000000000000 à 3, i4i5g 26535 89795 ; mais ce travail de Romanus, quelque grand qu'il soit, est cependant encore beaucoup inférieur à celui que Ludolph van Ceulen ^"^ y son contemporain,

^0 Le nombre ci-dessus est la So*" puissance de 2.

^"^ Ludolph était de Cologne, d'où lui vient son nom de van Ceulen ; car Cologne se dit , en hollandais, Ceulen. Il fut long-temps professeur de Mathématiques en Hollande, à Amsterdam ou à Breda. On ne sait presque rien de lui , parce que Valere André ne l'a pas mis dans sa Bibliothèque belgique.

eut le courage d'entreprendre. On doit à celuici un rapport exprimé en 56 chiffres : le diamètre étant l'unité suivie de 55 zéros, la circonférence est entre le nombre.

3 i4i59 26555 89793 2584626435 85279 5o288, et celui qui a seulement une unité de plus.

Quant au procédé de Ludolph, il est nécessaire de le rapporter ici , pour donner une idée du travail immense qu'il surmonta. Il supposa d'abord le rajon égal à l'unité suivie de 75 zéros, et, d'après cet immense rayon, il calcula les cordes des arcs continuellement décroissans, depuis le quart du cercle jusqu'à l'arcquin'est que le 568954881474^91 o5252'' de la circonférence ^'\: il calcula de même le côté du polygone circonscrit correspondant à cet arc, et ayant trouvé les longueurs de ces polygones, il les compara ensemble. Or, il trouva qu'ils coïncidaient dans leurs 56 premiers chiffres; d'où il conclut que ces 56 premiers chiffres exprimaient , à moins d'une unité près , la grandeur de la circonférence : cela est aisé à sentir. La suite des opérations de Ludolph est exposée dans quelques-uns de

'-'^ Le nombre ci-dessus est la 65*= puissance de 2.

ses ouvrages '^"^ , où les géomètres de soq temps purent l'examiner. Le P. Griember^cr, un de ceux qui eurent le courage de le faire, assura le monde savant de leur justesse, et, par conséquent, de celle de l'approximation qu'il en tirait ^*\

Ludolph avait quelque raison de s'applaudir de son invention; à l'exemple à'Archimède , il voulut eu transmettre la mémoire à la postérité, par un monument qui y eût rapport; et il souhaita, pour cet effet, qu'on gravât ces deux nombres sur son tombeau ^'\ Cette disposition a été exécutée , et ce monument géométrique subsiste encore aujourd'hui , à ce que j'ai lu quelque part.

Cependant, à apprécier au juste le travail immense de Ludolph , il est bien plus propre à lui procurer la réputation d'un infatigable calculateur que d'un homme de génie. On

^"^^ Fuiid. Geom. , lib. 6^ de circula et adscriptis. Zetematum (cest-k-à'ire problematum) Geom. epilogismus, p. g2.

^*^ Riccioli, Almag. novum.

'^"^ Snellii cjrcLom. , pr. 3i, p.55.

fait, et avec quelque raison, en Mathématiques, peu de cas de ce qui n'est que le fruit de la patience. Sans rabaisser donc le mérite de Ludolphy que nous savons d'ailleurs avoir été un habile analyste, il me paraît que le géomètre dont je vais parler mérite plus d'éloges pour les découvertes qu'il ajouta à la Cyclométrie.

fVillebrord Snellius j c'est ce géomètre , se proposa d'abréger ces pénibles opérations , par le moyen de quelques propriétés du cercle qui donnassent des limites plus rapprochées que les polygones inscrits et circonscrits, traités à la manière à'Archimèdey et il y réussit assez heureusement. H sut démêler deux théorèmes propres à son dessein, et qui lui feraient encore plus d'honneur, s'il avait pu parvenir à les démontrer parfaitement : en effet, l'espèce de démonstration qu'il en donne n'est pas absolument convaincante. 11 suffit ici qu'il ne se trompe pas; car l'illustre M. Huj^ens les établit dans la suite avec toute la rigueur géométrique. Voici ces théorèmes fondamentaux de Snellius ^"^ :

1°. Si Von prolonge le diamètre AB d'un

(a) J/Qjez son hvre intitulé Çyçlometricus, prop. ^.-j, 29, et les Opéra varia d'Huygens, p. 376.

cercle^ en D (fig. 7), de manière que BD soit égale au rayon ^ toute ligne menée par ce point et rencontrant la circonférence du cercle, retranche de la tangente AG un segment AF moindre que l'arc contigu AE.

2°. Mais si df (fig. 8) est tirée de manière que le segment dl soit égal au rayon y dans ce cas y le segment af de la tangente sera plus grand que Varc ae; et, comme alors la tangente aj est égale à deux fois le sinus du tiers de l'arc ae, plus une fois la tangente de ce tiers, il en suit que deuocfois le sinus plus unejois la tangente d'un arc forment une somme très approchante de lagrandeurdu triple de cet arc.

En fournissant des limites d'autant plus resserrées que les arcs sont plus petits, ces deux théorèmes réduisent à moins de la moitié le travail des approximations, qui jusqu'alors avaient exigé de si laborieux calculs. Snellius en donne plusieurs exemples , qui mettent dans un grand jour l'avantage de sa méthode ^"^ Archimède avait été obligé d'employer deux polygones, l'un inscrit, l'autre circonscrit, de 96 côtés chacun , pour en tirer son rapport de 7 122. Le géomètre moderne y parvient

C") Cjrclometricus , prop. 3i.

par la connaissance du seul coté de l'hexagone; et le polygone de 96 côtés lui donne le rapport de 1,0000000 à 3,1415926. Il détermine enfin et vérifie celui de Ludolph, par un polygone qui n'aurait donné à ce géomètre que les 17 premiers chiflres de son rapport : il est de la nature de l'opération de Snellius de donner toujours plus du double de chiffres vrais que ne le fait la méthode ordinaire , sans exiger plus de travail. Il aurait pu , avec le côté du dernier polygone de Ludolph, s'il eût été parfaitement exact dans tous ses chiffres, trouver une approximation en 76 chiffres : le manque de cette condition (car il est évident qu'un grand nombre des derniers chiffres était incertain) l'empêcha d'aller aussi loin.

Je dois faire honneur à Snellius d'une remarque utile qu'il fait , concernant le calcul des côtés des polygones qui naissent de la sous-division continuelle d'un arc. Si BD (Jig.g), dit-il ^''^, est la corde d'un arc quelconque , et qu'on prenne la moitié AF de son supplément DA, la corde BF est moyenne proportionnelle entre le rayon et le diamètre augmenté de la corde

C'O Cjclornelriciis, prop. i et 2.

DU CKRCLE. 67

précédente ; mais la corde AF est moyenne proportionnelle entre le même rayon et le diamètre moins la même corde. Ces deux théorèmes, qu'il est facile de vérifier par lanalyse, lui fournissent une suite d'expressions commodes à trouver sans aucun calcul, pour les côtés des polygones quelconques formés par la bissection continuelle d'un arc dont la corde est connue. Il trouve donc aisément, à l'aide de ces deux théorèmes, que le rayon étant l'unité, et BD le coté du triangle équilatéral,

égal à \/5 , on a BF = V 2 -f- \/5 ......

et BG =Y 2 -{- V 2 -f- \/3 ; de même

AF=: V2 — \ 3, et AG le côté du dodéca-

cagone =y 2 — V 2 -|- \/5. La loi de la progression est aisée à voir. Où il y trois divisions successives , il y a trois termes enveloppés continuellement par le signe radical, de manière que chacun embrasse tout le reste de l'expression. Tous les signes sont positifs pour les cordes BF, BG; et pour les cordes AD, AF, AG, le premier seul est négatif. Tous les nombres sont 2, ou, plus généralement, le produit du rayon par lo diamètre, et le dernier, la valeur de la première corde BD, Si

Ion voulait, après cela, trouver la corde du 45^ polygone, à commencer du quarré inscrit, c'est-à-dire la corde de la 70568744^77^^4 de la circonférence ^'^ , la corde du quarré

étaut \ 2f quand le diamètre est 2, on aurait, tout d'un coup.