POLYGONE CIRCONSCRIT

des côlcs.

Le célèbre M. Hujgens entra peu d'années après SnelliuSy dans la carrière que celui-ci

lygones de 10485760 côtés, qui sont respectivement

3,1415926535897 et 3,1415926535899.

Il donne encore des polygones d'un plus grand nombre de côte's , mais qui ne sont plus dans la progression préce'dente.

DU CERCHi. 71

avait ouverte. Les premiers coups d'essai de ce mathématicien illustre furent d'enrichir la Cycloniëtrie de plusieurs vérités utiles. Ce que Snelliiis avait tenté et laissé à certains égards imparfait, M. ffuj'gens, encore fort jeune, le perfectionna considérablement; car, non -seulement il démontra les théorèmes où son compatriote avait hésité ^"^ , mais il ajouta h sa théorie plusieurs autres propriétés remarquables du cercle, dont quelques-unes lui donnèrent des limites encore plus resserrées que celles que Sjiellius avait déterminées. On va les exposer avec la brièveté qu'exigent les bornes étroites de cet ouvrage; elles sont d'ailleurs dignes d'être connues , et probablement les géomètres les verront avec plaisir.

1°. Tout cercle est plus grand que le polygone inscrit , plus le \ de l'excès de celui-ci ^ sur le poljgone inscrit qui a la moitié moins de côtés; et cela doit s'entendre non-seulement de l'aire du cercle comparée à celle de ces polygones, mais encore de sa circonférence comparée à la leur ^'^ Il suit de là que

C'') De Circuli magniludine inventa, i654, on Opéra varia, p. 3^6.

(') Ibid., pag. 36i et 862, piop. 5 et 7.

']1 nrSTOIRE DE LA QUADRATURE

tout arc de cercle moindre que la demi-circonférence, est plus grand que sa corde augmentée du tiers de la différence entre cette corde et le sinus. Nommant donc C la corde, S le sinus,

l'arc A sera > ^ ~ ^'\

2°. Tout cercle comparé de même au poljgone inscrit j est moindre que les deux tiers de ce polygone plus le -5 du poljgone circonscrit semblable ^*\ D'où l'on peut inférer que tout arc est moindre que les deux tiers de son sinus, augmentés du tiers de sa tangente, ou <1 1 S -f- ^ T, en nommant T la tangente.

Cette seconde proposition, en partie la même, mais plus générale que celle de Snellius, fournit la seconde limite de la circonférence et de l'aire du cercle : la première était par défaut; celle-ci est excédante; mais l'une et l'autre approchent considérablement de la vérité , et M. Hujgens s'en sert avec succès pour le même objet que Snellius. Le travail des approximations en est diminué de plus de la moitié.

Cependant, on doit le remarquer, cette méthode ne l'emporte pas encore sur celle de

CO Opéra varia, ^. 38?,, T" partie delà prop. 19. ^^) Ibid. , p. 365, prop. 9.

SnelliiiSj et même elle reste quelque peu audessous; aussi M. Hujgens ne s'y arréte-t-il pas; et, pour surpasser ce dernier géomètre, il propose bientôt deux autres théorèmes qui resserrent beaucoup plus les limites de la circonférence : il démontre pour cet effet, que,

5°. Tout arc de cercle j, plus petit que la demi-circonjérence , est moindre que sa corde augmente'e d'une ligne qui soit au tiers de sa différence avec son siraiSy comme 4 fois cette corde plus le sinus ^ est à 1 fois la même corde et "^ fois le sinus ^'\

Ceci donne une limite par excès , mais très rapprochée ; elle l'est tellement que , lorsque l'arc n'est que d'un petit nombre de degrés , elle coïncide avec la vraie valeur de cet arc jusqu'à la 10^ décimale, ou même un terme plus éloigné. Il restait à en trouver une aussi exacte et qui fût par défaut ; Hujgens le fait par le procédé suivant : avant trouvé la limite par défaut de l'article i*', et celle par excès de l'article précédent, quon prenne les -^ de leur différence y et quon l'ajoute au double de la corde , augmenté du triple du sinus ; qu'on fasse ensuite la proportion, comme cette somme

tO Jhid., p. 382, 2* partie de la prop. 19.

est àjde celle du sinus et de la corde ^ ainsi leur différence est à un quatrième ferme ; ce terme ajoute' au sinus donnera une ligne moindre que tare , mais aussi voisine de sa vraie valeur que la précédente^'^ L'usage de ces nouvelles limites est merveilleux ; par leur secours , M. Hujgens laisse bien loin derrière lui et les anciens et Snellius lui-même : un exemple fera sentir combien elles approchent de la vérité. En calculant simplement le côté d'un polygone inscrit de 60 cotés, et y appliquant cette méthode, on trouve les 10 premiers chiffres du rapport de Ludolph. On peut juger par là combien davantage on approcherait de la vérité, en employant un polygone d'un plus grand nombre de cotés.

Le même traité de M. Hujgens contient plusieurs approximations pratiques de la circonférence circulaire , que leur simplicité rend dignes de remarque, et propres à avoir place ici. i". 8 fois le côté du dodécagone moins le rayon diffèrent de la demi-circonférence de moins d'un 4ooo- du diamètre. 2°. Dans un cercle {Jig. 10), dont la demi-circonférence BAC est divisée en 2 également, que l'autre demi-circon-

t') Opéra varia , \t. 385.

ference le soit en 3, en E, F, et qu'on tire AE et AF, les lignes AG-f-GH égalent le ^ de cercle, à moins d'un 5ooo^ près du diamètre. 5°. Qu'on ajoute à 5 diamètres, | du côté du quarré inscrit, la somme e'galera la vraie longueur de la circonférence à un 18000" près du diamètre ^'\ 4°- Je mets ici l'approximation suivante, qui donne indéfiniment la grandeur d'un arc quelconque, quoiqu'elle ait été proposée par M. Hujgejis dans une autre occasion, savoir, dans le cours de sa auerelle avec M. Gregon'^'^. Que ABC (Jïg. 1 1 j soit un arc de cercle qui ne passe pas la demi-circonférence; après l'avoir partagé en 2 également, ainsi que sa corde, par la ligne DB, que AE soit égale aux y de AB, et EF= ,^ ED ; la ligne FB étant tirée, qu'on fasse l'angle FBG droit, la ligne AG sera à très peu près égale à lare AB; car sa difïerence avec cet arc en sera à peine d'un 1400*, lors même qu'il sera égal au quart du cercle, d'un iSooo*" quand il en sera le 6% d'un goooo^ enfin quand il n'en sera que le 8^. Il est aisé de sentir combien petite sera cette erreur dans les cas où l'arc à mesurer sera auto Opéra varia, p. 368, prop. 11.

f'') Jbid,, pag. 475, 481. •

dessous de ces portions de la circonférence; elle deviendra infiniment petite ^^\

Nous devons encore à M. Hujgens un autre ouvrage qui paraît se rapporter à l'objet présent; il est intitulé Theoremata de circuli et hjp. quad. y i65i. M. Hujgens y démontre quelques théorèmes qui durent paraître singuliers dans le temps, mais qui n'auraient pas aujourd'hui le même mérite. C'est que l'on peut déterminer un espace rectiligne qui, sus-

^"^ ^'oici quelques autres moyens d'approcher de très près de la grandeur d'un arc circulaire :

1°. M. Pieté a remarqué que si l'on divise une ligne en moyenne et extrême raison , la ligne entière est fort près des | de la circonférence du cercle décrit sur le petit segment comme diamètre. La différence par excès est au-dessous d'un 20000* du diamètre.

2°. Si l'on fait cette proportion : comme une ligne divisée en moyenne et extrême raison , augmentée du petit segment, est au double de la ligne entière, ainsi celle dont le quarré égale les 5 de celui du rayon est à une quatrième proportionnelle ; cette dernière sera le côté d'un quarré très prochainement égal au cercle; car il en différera de moins d'un 65ooo* par excès. {VietœOpera, p. 891, ?,, 3.) Ces approximations m'ont paru avoir une élégance qui méritait c[u'elles fussent

pendu d'une certaine manière, contre-balance, c'est-à-dire se tienne en équilibre avec un segment de cercle, d'ellipse ou dhjpcrbole. Soit, par exemple, le segment de cercle ou d'ellipse AGB (fig- 12) dont Taxe soit GIH; que le triangle ECF ait sa base EF = AB, et que sa hauteur CD sur l'axe commun , soit = \ GI X IH, le triangle sera en e'quilibre sur le point C, avec le segment AGB ^'\ La même chose arrivera si ce segment est portion d'une hyperbole, comme aGh dont C est

connues. Cependant, de toutes celles que j'ai rencontiées , la suivante, due à un géomètre polonais, le P. Kochanski , me paraît la plus remarquable par sa simplicité et son exactitude.

3". Que AC {Jig. 6) soit le diamètre d'un demicercle , AF la tan^;ente de 3o°, et que sur la ligne EC, perpendiculaire à l'autre extrémité du diamètre , on prenne CEr^ 3 fois le rayon ; qu'on tire enfin la ligne FE, elle ne différera par défaut que de très peu de chose de la grandeur de la demi-circonférence; car le rayon étant 1,0000000, la ligne FE se trouve de 3, i4i 5333 -1-, etlademi-circonfér. est 3,1 4i 5926 + ; ainsi la différence est seulement ^-UsTSy t)u moins d'un 16000* du rayon. {Actes de Leipsic, t685, p. Sg-j.) Vojez I'Addition à la page 77.

t'J Huygens, Opéra varia , p. 39.3, théorème 6,

le centre ; ce qui se démontre aisément en faisant voir, par les propriétés des sections coniques, que les momens des ligues LK et MN ou mn sont égaux; une analyse très simple suffit pour cela. La formule du centre de gravité, que donne le calcul intégral, fournit le même résultat. La facilité avec laquelle on en tire tous ces théorèmes, qui coûtèrent tant aux Guldùiy aux La Faille ^ etc. , rendent ces vérités peu remarquables aujourd'hui ^"^

Si l'on demandait ce qui s'oppose donc à la découverte de la quadrature du cercle, puisque voilà un segment de cercle en équilibre avec une figure rectiligne , à peu près comme Archimede quarrait jadis la parabole, je répondrai qu'il manque de connaître la position du centre de gravité de ce segment ; si elle était connue, on aurait la quadrature du cercle, non-seulement par cette voie , mais par une infinité d'autres.

t") Le P. Guldin, jésuite , est fort connu comme l'inventeur de la belle propriété du centre de gravité pour mesurer les figures ; et le P. La Faille , de la même société, publia, en i632, un ouvrage très injjénieux, quoique un peu prolixe, où il faisait voir comment le centre de gravité du cercle et sa quadrature tiennent l'un à l'autre.

DU CERCLE. "jg

YITL

On ne doit point ranger parmi les hommes ordinaires qui ont échoué àlaquadrature du cercle un géomètre du milieu du siècle passé (le 17^), qui prétendit à la solution complète de ce fameux problème. Il est aisé d'apercevoir, pour peu qu'on connaisse l'histoire de la Géométrie, que j'entends parler du célèbre P. Grégoire de Saint-T'^incent. On ne peut lui refuser Ja justice de remarquer que personne avant lui ne s'est porté dans cette recherche avec autant de génie, et même, si nous en exceptons son objet principal , avec autant de succès. La quadrature du cercle qu'il manqua fut pour lui l'occasion d'un grand nombre de découvertes dont quelques-unes n'étaient pas , en apparence , d'une difficulté fort inférieure à la quadrature elle-même; telles sont les quadratures absolues d'un grand nombre de figures, soit planes, soit de surface courbe. La propriété remarquable des espaces hyperboliques entre les asymptotes, espaces qui sont les logarithmes des abscisses , est une de ces découvertes incidentes qui doit effacer le souvenir de l'erreur qui termine son ouvrage. Bien éloigné donc d'adopter en tout le jugement que Descartes

porta de ce géomètre , je pense , avec d'autres, dont le sentiment peut sans doute contre-balancer celui du philosophe français, que ses travaux ont droit à notre estime, et même presque à notre admiration. Huy^ens et Lëib- 7iilz lui ont rendu cette justice, le dernier surtout, lorsque, dans Fénuraération de ceux qui ont le mieux mérité de la Géométrie, il Jui donne parmi eux un rang distingué ^''^.

Grégoire de Saint- Vincent nous fait luimême l'histoire de ses tentatives, dans la préface de son ouvrage. La spirale CxJrchinibde lui parut d'abord présenter quelques voies pour arriver à la solution qu'il cherchait avec tant d'ardeur; dans cette espérance, il en étudia les propriétés, et ce furent ses profondes recherches qui lui firent découvrir sa s^ymbolisation avec la parabole. Ce chemin ne l'ajant pas conduit où il désirait, il se tourna vers la quadratrice, qu'il abandonna par le même motif, mais non sans avoir composé sur son sujet un immense traité, qui périt dans l'incendie qui suivit la prise de Prague, en i65i ^*\ Enfin il

^'^^ Actes de Leipsic , 1686, p. 298, ou Leibnilii Opéra, t. III, p. 192.

C*) J>'qyez la préface du livre cité sur la page suivante.

DU CERCLE. 8l

s'attacha à comparer divers corps, les mis cylindriques ou segmens de ceux-ci , avec d'autres formes de diffërentes manières, à étudier profondément leurs rapports, et les rapports même de leurs rapports, ce qui l'engagea à se former plusieurs nouvelles théories qui lui fournirent une foule de découvertes, ou du moins de vérités qui, quoique fort aisées à en juger par notre analyse, ne laissaient pas de fatiguer les géomètres de son temps. C'est le résultat de ces dernières recherches, combinées et dirigées dans la vue de la quadrature du cercle, qu'il publia dans son ouvrage intitulé Quad, circuli et hjperbolœ^ 1647^'^-

La prétention de Grégoire de Saint-T^incent était d'une nature à ne pas échapper au sévère examen des géomètres. Son ouvrage n'eut pas plus tôt paru , qu'on s'empressa de toutes pai-ts à approfondir ses raisonnemens et sa méthode : le nom de l'auteur annonçait des efforts dignes

<^0 Le titre complet de l'ouvrage est Problema anstriacum , plus ultra quadralura circuli, Antverpiae , 1647, ii^-f"» 2 vol. Sur le faux titre on a ajouté et sectionum coni. La dédicace , passablement ridicule, est adressée domui Austriacce semper augustœ. L'auteur était jésuite.

d'attention. 11 ne se bornait pas, en vulgaire géomètre, à la quadrature définie du cercle et du cercle seul; il embrassait également dans ses vues l'hyperbole et les segmens quelconques de ces figures ; il donnait enfin quatre méthodes différentes pour parvenir au même but. La célébrité de la discussion à laquelle cet ouvrage donna lieu m'engage à la rapporter avec quelque étendue; on va donc expliquer la première et la principale de ces méthodes ; quoiqu'elle aboutisse à une erreur, elle est fondée sur une si fine théorie de Géométrie, qu'on croit faire quelque plaisir aux géomètres en la leur présentant.

1°. Qu'on imagine, dit Grégoire de Saintf^incent^ sur un même axe AB {fig- i3), un demi-cercle AYB et deux paraboles égales situées en sens contraires , ABLC , BAPD , et dont les ordonnées AC, BD sont égales entre elles et à AB ou à leur paramètre commun. Il démontrait d'abord , et c'est une vérité avouée par la saine Géométrie , que si l'on imagine la parabole ACB dressée ou relevée perpendiculairement au plan de la figure , et que l'on conçoive un solide dont les coupes perpendiculaires à ce plan soient toujours les rectangles formés sur les lignes GL et GP, ce so-

lide sera égal au cylindre construit sur la base circulaire AYi>^ et dont la hauteur est BD; et, de plus, chaque segment de ce solide parabolique, comme celui qui a pour base AGP, est égal au segment correspondant du cylindre, ou AGS X BD^'^. De là il suit que, si l'on a la mesure absolue de ces segmens du premier solide, ou du solide entier, on aura la quadrature du cercle; car la grandeur du segment de cylindre donnera celle de sa base circulaire. On parviendrait aussi à cette quadrature , en connaissant simplement le rapport de ces segmens ; car dès lors on aurait celui des segmens circulaires AGS, ARY : or, il est reconnu qu'il ne faut rien de plus pour la quadrature du cercle, même indéfinie.

t'3 T. II, p. 794, 1127 et I i3i.

Cette ge'ne'ration de solides a e'té nomme'e par Gre'goire de Saint- Vincent, Duc tus plani in planutn (p. 704). C'est une pareille géne'ration qu'il faut entendre, sur la page suivante , quand Montucla dit : « Il se formera » du segment parabolique AGI , par son correspon- » dant AGHC un solide, etc. » Plus loin il avait écrit AGI X AGHC ; mais l'emploi du signe X peut induire ici en erreur, puisqu'il ne s'agit point du tout d'une multiplication : c'est pourquoi j'y ai substitué le viioX. par, d'après la phrase que jeViens de citer.

2°. Grégoire de Saint-J^incent chercha donc à mesurer ces solides , ou à assigner du moins leurs rapports; or il crut y parvenir de la manière suivante. Imaginons, outre les deux paraboles ABC, ABD, deux autres AI/D, CH/2B {Jig' i4)> cjui touchent leur axe commun en A, B; qu'on tire ensuite les diagonales AD, CB; il se formera du segment parabolique AGI, par son correspondant AGHC, un solide fort irrégulier, mais dont la solidité absolue est assignable : on connaîtra donc la raison de ce solide AGI par AGHC à celui de GI/R par GH/zR. Pour abréger, je les nommerai respectivement A , B : dans le cas particulier où AG=le demirayon, ils sont comme 55 à 2o3^'^

Il se formera aussi du triangle AGO par AGKC un solide tout rectiligne dont on aura la grandeur absolue , de même que celle du solide de GOoR par GKYR , et par conséquent leur rapport, qui, dans le même cas de AG=le demi-rayon, est 5 : 1 1 ; nommons-les C et D. C'est de la connaissance de ces solides et de leurs raisons que Grégoire de Saint-T^iiicent déduisait celle des deux premiers, dont on a vu que dépendait la quadrature du cercle;

t'^ Ibid, p. 1121 et II 33.

nu CERCLE. 85

il le faisait par le raisounemcut qui suit : Si Ton tire une perpendiculaire quelconque à AB, comme MN , on a, par les propriétés des coniques, les lignes GM, GL, GK continuement proportionnelles , de même que GM, GK, GH, de manière qu'en interposant une moyenne GA entre GK et GH, on a les cinq lignes GJM, GL, GK, GA , GH en proportion continue. Par la même raison, les lignes GN, GP, GO, GcT, Gï sont continuement proportionnelles , et par conséquent les rectangles GM X GN, GL X GP, GK X GO, G A x GcT, GH X GI le sont aussi ; et la même chose arrive partout ailleurs où l'on tire une parallèle à MN : on y a les rectangles gm X gn^ S^XgP? g^ X g(^ > §^' X g(^', ghxgi.en proportion continue. Par conséquent, le rapport des rectangles GK X GO et gk x go, les troisièmes en ordre , sera doublé de celui des précédens, GL X GP, glxgp; et la raison des derniers, GH X GI, gh x gi, sera quadruplée de celle de ceux que je viens de nommer. On le verra sans peine, en considérant ces deux suites de quantités continuement proportionnelles : I, 2, 4? 8, i6, etc. et i, 5, g, 27, 81, etc., où l'on voit que la raison de 4 à g est doublée de celle de 2 à 5 , et celle de 1 6 à 8 1 , quadruplée

de cette même raison. Par conséquent, la raison des rectangles de l'ordre de GH X GI , ^h X %i, sera doublée de celle des rectangles de Tordre de GK X GO, g A- x go- Il y aura donc, entre les élémens semblables des solides AGI/J/îZ/'AGHC, GI/R par GH/zR, c'est-à-dire A , B, une raison semblablement multipliée de la raison qui règne entre les élémens analogues des solides AGO parAGKC, GRoO/jrtrGRYK, c'est-à-dire C, D, comme celle-ci l'est de la raison des élémens des solides AGP par AGKC , GRpP par GRZL , ou E et F. Grégoire de Saint-Vincent concluait enfin de tout ce raisonnement , que la raison des premiers solides A, B, contenait celle des solides C, D, comme celle-ci contenait la troisième, savoir celle des solides E, F. Or, les deux premières raisons sont toujours données: la dernière le sera donc aussi ; et l'on a fait voir que cette raison étant une fois connue, on était en possession de la quadrature du cercle ; par conséquent , cette quadrature , disait-il , est trouvée.

Tel était le raisonnement de ce fameux géomètre, raisonnement qui se soutient conformément à la saine Géométrie, jusqu'à la dernière conclusion exclusivement, où se trouve l'erreur. J'en vais développer les preuves, en même

D[J CERCLE. 8y

temps que je rendrai compte des contradictions et des querelles qui s'élevèrent à ce sujet. Descartes fut un des premiers qui porta quelque jugement sur la prétendue quadrature et le livre du géomètre flamand; il leur fut très peu favorable : la quadrature fut déclarée fausse, et le livre traité de médiocre et même d'embrouillé. On trouve les raisons de ce jugement dans une lettre écrite à Schooten^"^, on n'en admettra cependant que la première partie; car, quant à la médiocrité, nous avons fait voir qxïllujgefis et Leîbnitz en pensaient bien autrement ; et , quant à l'obscurité , nous pouvons dire que Descartes n'y en trouva qu'à cause du dégoût violent qu'il avait pris pour la méthode des géomètres anciens^''; car Grégoire de Saint-T'^mcent est un des plus intelligibles de ceux qui ont suivi cette route diflicile. Je reviens à la lettre de Descartes; il y dit avoir suivi pied à pied Grégoire de Saint-Vincent , depuis la proposition où il conclut sa quadra-

^'^^ Lettres de Descartes, in-4", t. III, lettre 117*, et tomeX, p. 819, de l'édition française donnée par M. Cousin.

^') Voyez dans l'édition française des (Euvres de Descartes, déjà citée , t. XI , p. 219.

ture jusqu'à une autre qu'il appelle en preuve et qui est fausse ^'^ : elle l'est en effet visiblement, suivant le sens que lui donne Descartes; mais il y a lieu à contestation si on l'entend dans celui que les défenseurs du P. de Snmt- Vincent lui ont donne , suivant la doctrine et l'instruction de leur maître : ainsi la décision du philosoplie français ne tranche point la difficulté.

Descartes se contenta de communiquer ce qu'il pensait sur Grégoire de Saiiit-T'incent à quelques-uns de ceux qui le consultèrent; mais plusieurs autres géomètres écrivirent pour le réfuter : à la vérité, tous ne le firent pas aussi heureusement. Roberval et quelques autres, pour renverser l'édiHce élevé par le géomètre flamand , l'attaquèrent dans les endroits où il était le plus solide. Ils établirent un faux système de proportions, ce qui donna lieu à im défenseur de la quadrature proposée de les réfuter eux-mêmes avec succès et avec solidité. Hujgens et le P. Lcotaiid, jésuite et géomètre habile , attaquèrent les prétentions de Grégoire de Saint-V^incejit avec plus de justesse; l'un, dans un petit écrit intitulé Eoce-

(^0 En réti'Oj^radaut de la page 1 134 à 1 121, prop. 3g.

DU CERCI.K. 89

tasis [seu exameji) CjcLometriœ Gregorli à Sancto J^incentio y î659/'', modèle de netteté et de précision; Vautre, dans un ouvrage plus étendu et intitulé , Examen novœ quadraturœ, etc. , 1664.

Grégoire de Saini-P^incent trouva de son coté de zélés défenseurs dans quelques-uns de ses disciples : deux surtout se distinguèrent dans cette lice , Xavier Ajnsconi et Alphonse de Sarassa. Celui-ci y parut le premier, pour réfuter les prétentions de Roherval et de ses adliérens, et surtout le jugement que le père Mersenne avait imprimé dans le Novanun ob~ servationwn phj sic o-mathematic arum tomus tertiiiSy cjuihus accessit Aristarchus Samius de mundi Systemate, Parisiis, 1647 (p. 72). Ce père y avait parlé de la manière la plus méprisante du livre de Grégoire de Saint-J^'incent , sans nommer l'auteur; et, quant à la quadrature en question ^ il la rejetait, fondé sur cette seule raison que son auteur paraissait la réduire à ce problème : étant données trois grandeurs et les logarithmes de deux y trouver celui de la troisième; problème qu'il regardait comme aussi insoluble que celui de la quadrature du

^'^ ï^or. les Opéra varia de Hujgen.s, p. 828.

go HISTOIRE DE LA QUADRATURE

cercle, he P. Mersenne avait tort; mais, supposant même qu'il eût eu raison , c'aurait encore été une grande et belle découverte que de réduire ces deux problèmes très distincts, à n'être plus qu'une même et unique question. On regarderait comme une des vérités les plus remarquables et les plus utiles de la Géométrie , une liaison bien établie entre la quadrature du cercle et celle de l'hyperbole, liaison telle que l'une étant connue, l'autre le fût nécessairement. C'était cependant ce que le P. Mersenne reprochait à Grégoire de Samt-P''ince7it; et , comme je l'ai déjà dit , il se trompait même en cela : ainsi Sarassa n'eut pas de peine à lui répondre avec avantage , et à détruire victorieusement ses objections.

Quant à Hujgens et le P. Léotaudy ils portèrent des coups plus réels à la quadrature prétendue : ils la réduisirent à examiner de quel sens était susceptible cette conséquence de Grégoire de Saint-Vincent, que la raison des deux premiers solides contenait celle des deux seconds, comme celle-ci contenait la troisième; et ils firent voir que, de quelque côté qu'on l'entendît, il n'en résultait rien qui approchât de la quadrature du cercle. En effet, on ne peut donner à ces paroles que ces deux

DU ci;r,CLE. gi

sens ; uue raison est h une autre comme une troisième à une quatrième, quand, étant réduites à un même conséquent, leurs antécécédens sont proportionnels; ou bien lorsque la première raison est autant multipliée de la seconde que la troisième l'est de la quatrième. 11 ne resuite rien d'avantageux de ces deux sens pour la quadrature contestée. Il n'y en avait plus qu'un troisième à discuter, et c'était le dernier retranchement où les défenseurs de la quadrature pussent se retirer : il leur restait, dis-je, à maintenir que la première raison, savoir, celle des solides A, B, était composée d'une suite de raisons partielles, semblablement multipliées de chacune des raisons partielles qui composent la raison totale de C, D, comme celles-ci étaient multipliées de celles qui composaient la raison cherchée de E, F. Mais quel avantage peut-on tirer de là pour la détermination de cette raison , disait le P. Léotaud? elle est encore aussi inconnue qu'auparavant. Pourquoi enfin, remarquait-il avec Hujgens j si cette dernière raison était donnée par les précédentes, pourquoi le P. Grégoire de Saint-Vmcent avait-il négligé de l'assigner? N'est-ce pas que réellement cette conséquence , la première raison contient la

seconde comme celle - ci la troisième , n'est qu'une phrase vide de sens, qui laisse encore la question indécise et à résoudre ?

Ce fut pour re'pondre à ces adversaires (j^ Ajnscom y autre disciple du P. de Saint- J^incent y parut dans la lice. Il publia un livre intitulé Deductio quadraturarum à P. G. à S. Vincent, expositarum , contre Huygens et Léotaud principalement, et , par occasion, contre les autres contradicteurs de son n^aître. Le nœud de la principale difficulté à résoudre était dans quel sens ou devait entendre ce rapport de raisons , le fondement de la quadrature. .^j-7z^607w prétendit , dans cette réponse, que cette troisième manière qaHuygens n'avait pas même soupçonnée , à cause de son éloignement du sens ordinaire, que Leotaiid avait rejetée comme ne pouvant conduire à rien , et aussi difficile à déterminer que la quadrature elle-même, était cependant la véritable, la seule que Grégoire de Saint-J^inceîit eût entendue ; que cette dernière raison enfin pouvait se déterminer par des rapports d'espaces hyperboliques; car, disait-il, si l'on prend deux espaces hyperboliques entre les asymptotes, et que ces espaces soient tels que chaque partie de l'un soit semblablement multiple de

DU CERCLK. g3

chaque partie de l'autre, comme les premières raisons partielles sont multipliées des secondes, le premier de ces espaces sera autant multiple du second que la première raison totale contient la seconde. Le nombre qui exprimera le rapport de ces espaces hyperboliques sera donc l'exposant du rapport multiplié de la première à la seconde, c'est-à-dire que, si ii est ce nombre, et que la première raison, savoir, celle des solides A, B, soit R, la seconde ou celle des solides C , D, soit P ; la raison R sera multipliée suivant l'exposant n de la raison P, et par conséquent celle-ci le sera semblablement de la troisième cherchée ; elle est par conséquent donnée et connue, suivant lui. Au reste, ce nouveau défenseur de Grégou^e de Saint -Vincent tombait encore, malgré les instances de Hujgens et de Léotaud, dans le même défaut que son maître. Le moyen le plus aisé de confondre ses adversaires , qui prétendaient cette dernière raison inassignable, était sans doute de l'assigner; il ne le faisait cependant point encore , ce qui prouve évidemment, comme le remarquait HuygenSy que lui et son maître ne cherchaient qu'à prolonger la querelle, sans se mettre en peine d'éclaircir la vérité, ou plutôt en craignaient le

g4 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

succès : ils espéraient du moins par là, laisser la question indécise aux yeux de la postérité et de leurs contemporains. Mais le P. Léotaud paraît l'avoir terminée dès lors entièrement; il n'attendait que cette explication du sens des paroles de Grégoire de Saint-Vincent , pour lui donner le dernier coup. En l'admettant de même que la manière dont ils prétendaient l'assigner, par le moyen de ces espaces hyperboliques dont j'ai parlé , il lit voir qu'il en résultait précisément le second sens qu'euxmêmes avaient rejeté. Son raisonnement est légitime : enefrct,le moyen indiqué ^2iY Ajnscom donnerait deux espaces hyperboliques nécessairement doubles l'un de l'autre; et par conséquent la première raison serait doublée de la seconde , et celle-ci le serait par conséquent de la troisième. Or, tout cela est faux, car on ne peut pas dire que la raison de 55 à 2o5 soit, en aucune manière doublée de celle de 5 à 1 1 . Il est bien clair par là que Grégoire de Saint- Pincent se trompait , et l'on n'en peut douter, quoi qu'en ait dit son panégyriste, le P. Castel, dans sa préface au Traité du calcul intégral de Stone.

Quant aux autres quadratures que proposait Grégoire de Saint-Vincent , elles aboutissent

DU CERCLE. gS

toutes à UM semblable raisonnement, qui compare plusieurs raisons entre elles j ainsi le défaut objecté à la première se trouve dans celles-ci. Un géomètre allemand , nommé Kinner, dont j'ai l'ouvrage, entreprit cependant la défense de la seconde ; mais cette défense , comme celles de Sarassa et Ajnscom^ solide dans les points non contestés, ne résout pas plus qu'elles le nœud de la difficulté.

La querelle entre Grégoire de Saint-Vincent ou ses disciples, et les contradicteurs de sa quadrature, était à peine finie, qu'un ouvrage publié par un géomètre anglais occasiona une nouvelle discussion; la cause en était d'une nature bien différente de celle qu'on vient de voir. Jacques Gre^ory^ c'est ce géomètre, prétendit démontrer, dans un traité intitulé Vera circuli et hjperholœ quadratura^^^ ^ que ces quadratures étaient impossibles. Le titre de ce livre, quoique contradictoire, ce semble, avec son objet, ne l'est cependant pas en Géo-

f') Patavii, i668, ou les Opéra varia de Hujgens, p. 407.

g6 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

métrie ; c'est résoudre un problème que d'en de'montrer l'impossibilité : ainsi Gregoiy ayant, à son avis, démontré celle de la quadrature du cercle , pouvait donner légitimement à son ouvrage le titre qu'il porte. Les quadratures approchées qu'il y donne sont les seules vraies, puisqu'elles sont les seules qui soient possibles.

GiTgorj établissait cette impossibilité sur quelques propriétés des polygones inscrits et circonscrits, et sur la nature de certaines suites qu'il nomme convergentes. Elles dillèrent des suites ordinaires en ce que , dans celles-ci , ce serait la somme de tous les termes qui donnerait la vraie valeur cherchée, et qu'on en approche d'autant plus qu'on en prend un plus grand nombre : dans les suites de Gregorjj chaque terme exprime la valeur cherchée d'autant plus exactement qu'il est plus éloigné du premier.

Si CADB {Jig' i5, i6, 17) représente un secteur circulaire, elliptique ou hyperbolique, après avoir tiré la corde AB , le diamètre CF, les tangentes AF, BF, puis encore les cordes AD, BD et la tangente GDE, on aura quatre secteurs de polygone, dont deux inscrits et deux circonscrits. Or, le rapport de ces figures

est tel, que le poljgone CADB est moyen géométrique entre l'inscrit CAB et le circonscrit correspondant CAFB , et que le polygone CAGDEB est moyen harmonique entre CAFB et CADB. Si l'on continue à l'infini une inscription et une circonscription semblables, il se formera une suite infinie de polygones inscrits et circonscrits qui observeront toujours la loi précédente; ce qui fournit une méthode très simple pour déterminer tous ces polygones, les deux premiers seuls étant donnés^ car, soient A et B ceux-ci ; le second inscrit (î sera moyen géométrique entre A et B, et le second circonscrit D sera moyen harmonique entre C et B; de même le troisième inscrit E sera moyen géométrique entre C et D, et le troisième circonscrit moyen harmonique entre Eet D, et ainsi à l'infini ^'\ Cette suite enfin se terminera à deux termes égaux entre eux et au secteur que je nomme S; et l'on aurait consé-

^0 La proportion harmonique, dont on ne s'occupe plus dans les livres élémentaires , se compose de trois termes tels que la différence entre le i *"■ et le i^ est à lu différence entre le 2* et le 3^ comme le i" est au 3^ : c'est ce qui arrive aux nombi'es 3 , 4 > 6 , puisque

quemment la quadrature du cercle et de l'hyperbole, si l'on pouvait exprimer ce dernier terme.

îi n'est pas douteux que la loi d'une progression semblable ne puisse être telle qu'il soit possible , dans certains cas , de trouver cette terminaison. Gregory en donne quelques exemples où il réussit lieureusement; mais, dans celui dont il s'agit ici, non-seulement il désespère d'y réussir, mais il entreprend même de prouver qu'il est impossible de le faire : son raisonnement approche beaucoup de la démonstration, et se réduit au suivant.

Il est de la nature d'une suite semblable à

4 — 3 16 — 4*«^*^* ^^^ nombres étant employés dans la théorie des accords musicaux, ont fait donner à cette proportion l'épithète d'harmonique. Dans le cas des polygones C , D et B , on aura