BC

d'où BD — BC = BC — DG; puis, D=- ^.

Cette expression conduit à une autre plus connue,

en observant que la proportion A : C : ; C : B , donne

A4-C:C-4-B::A:C; et prenant la valeur de C -}- B

2 4B pour la mettre dans celle de D, il viendra D = .

DU CEHCLE. 99

celle qu'on vient de décrire, et qui peut se disposer ainsi :

que chaque terme , C, par exemple, soit composé de A et B, comme E l'est de G et D, etc.; et que de même D soit composé de A, B, comme F de C, D, etc. C'est encore une conséquence de la génération de cette suite, que chaque terme , le dixième , par exemple , après A , B, soit composé de A, B comme le dixième après E, F l'est de ces derniers. Par conséquent, le terme infiniment éloigné, et qui l'est parla également de tous ceux de la suite , sera semblablement composé de chacun des couples A, B, ou C, D, ou E , F, etc. ; et si , malgré ce raisonnement, on pouvait encore douter de la certitude de cette conclusion, on la confirmerait en remarquant que lorsque, par sa nature, le dernier terme est assignable, on le trouve par cette voie (^voyez prop. 7 et suiv.), ce qui ne serait point, si cette propriété du dernier terme était fausse : on peut encore s'en assurer par d'autres raisonnemens.

Si l'on examine à présent la nature des premiers termes de cette suite , on s'apercevra

lOO HISTOIRE DK LA QUADRATURE

que le dernier terme cherché est inassignabîe aualytiquement et en termes finis; car, prenant pour les termes A, B, des expressions de la forme a^-\-a''b et ab^-^b^, afin d'éviter que C, D deviennent irrationnels, on a pour ceuxci a^b -j- b^a et ^b^'a. Cela étant , le dernier ternie S de cette suite convergente, qui exprime le secteur circulaire ou hyperbolique, devrait être une quantité composée des termes a^-^a^b et rt^*-j- b^j comme de ceux-ci, a*b-\-b'^a et 2^*«; c'est-à-dire que les mêmes opérations analytiques qui formeraient ce terme S des deux premiers , étant appliquées aux deux seconds, devraient produire la même quantité : or, c'est ce qui ne se peut en aucune manière ; car le terme a^ , puissance plus élevée qu'aucune autre de la même lettre dans les autres termes, donnera nécessairement clans les produits semblables, une puissance plus élevée , et il en résultera aussi une expression plus composée des premiers termes, qui le sont davantage que les seconds. Le dernier terme S ne peut donc s'exprimer analytiquement en termes finis , puisqu'il faudrait pour cela que cette expression analytique fût un même produit résultant de deux couples de grandeurs, qui, soumis aux mêmes opéra-

DU CERCLE. ÎOI

tions, doivent donner des produits diflerens et inégaux. On peut voir ce raisonnement plus développé dans la proposition ii du traité de Gregory. J'ajouterai à ces raisons que ce n'est que dans l'infini que peut disparaître cette inégalité; ainsi l'expression du dernier terme S doit être d'une composition d'un degré infini : or, c'est ce qui n'est susceptible d'aucune résolution analytique en termes finis.

Les démonstrations négatives semblent avoir ce défaut, de ne point porter la même lumière que les positives; et c'est peut-être par cette raison que celles qui ont eu pour objet de démontrer l'impossibilité de la quadrature du cercle n'ont jamais eu un grand succès. Celle-ci ne parut point concluante à Huygens : prié d'en dire son avis, de même que du reste de l'ouvrage , il l'exposa par un écrit qui parut dans le Journal des Savaiis y du 2 juillet 1668; il y prétendit renverser entièrement les démonstrations de Gregorj. Celui-ci répondit peu après dans les Transactions philosophiques ^ n" Zj; il y convint de quelques inadvertances qui avaient procuré à son adversaire un léger avantage; il y établissait d'ailleurs assez solidement d'autres points contestés par Hujgens, pour que celui-ci s'y rendit; mais il persista

dans un nouvel écrit, insëi é dans ie même journal de la même anne'e ; il persista , dis-je, à prétendre que la démonstration principale ne concluait pas tout ce que Gregorj en inférait. A la vérité , il paraissait se rendre sur l'impossibilité de la quadrature indéfinie ; mais il niait toujours que l'on put en conclure la même chose à l'égard de celle du cercle entier, ou de quelqu'un de ses segmens ou secteurs déterminés. Gregoiy répondit de nouveau à ces objections, et fit un dernier effort pour y établir son sentiment. On trouve eatre autres, dans la réplique, un raisonnement qui parait conclure qu'afin que la raison d'un secteur, à l'un des polygones inscrits, fût exprimée analytiquement, il faudrait que cette expression fût d'un degré infiniment élevé. Cette conséquence est conforme à ce qui est toujours arrivé par quelque méthode qu'on ait entrepris de résoudre ce famieux problème ; l'analyse a toujours donné des expressions en termes infinis, qui ne sont que des équations d'un degré infini. 11 résulte de là une grande présomption en faveur du raisonnement de Gregorj. Les géomèîres admettent aujourd'hui, d'une commune voix, que la quadrature indéfinie du cercle est impossible j mais, quant à la quadrature définie,

' DU CERCLE. lOD

on suspend encore son jugement. L'impossibilité de la première espèce de quadrature n'entraîne pas nécessairement celle de la seconde , puisque Bernoulli a démontré qu'il y avait des courbes qui , quoique non quarrables indéfiniment, ne laissent pas d'ofïrir un ou plusieurs espaces déterminés absolument quarrables ; on n'a point encore démontré que cela ne puisse pas arriver dans le cercle.

f'^ Après avoir réfléchi encore plus attentivement sur le raisonnement de Grc^orj, il me paraît avoir eu raison d'en déduire l'impossibilité de la quadrature même définie du cercle ; car s'il est vrai, comme il semble qu'on ne peut le lui contester, qu'en général le rapport d'un segment ou d'un secteur au polygone inscrit ou circonscrit ne peut être exprimé par une fonction finie , il est évident que cela aura également lieu à l'égard du cercle entier, et de quelque segment ou secteur particulier que ce soit. Il n'y aura donc dans le cercle aucun segment ou secteur dont le rapport avec une figure rectiiigne paisse Hre exprimé en termes finis; ce qui exclut la quadrature du cercle

^'^ Cet alinéa était luie addition faite par l'auteur à la fin de l'ouvrage , on l'a mise à sa place.

entier, et de tout autre segment quelconque. Il y eut aussi quelques contestations entre ces deux géomètres, sur le mérite des approximations qu'ils avaient données dans leurs ouvrages. Hujgejis non-seulement mit celles de Gregory au-dessous des siennes, mais il remarqua que quelques-unes d'entre elles étaient les mêmes que celles qu'il avait déjà publiées dans d'autres termes. La remarque était vraie; cependant le travail de Gregorj ne laisse pas d'avoir quelque avantage, et de l'emporter, à certains égards, sur celui de Hujgens. En Ctïet , les approximations que celui-ci avait bornées au cercle , et cela parce que sa méthode ne pouvait le conduire plus loin ; ces approximations, dis-je, conviennent également à l'hyperbole. La méthode du géomètre anglais ne sépare point ces deux courbes, qui tiennent l'une à l'autre par tant de propriétés analogues. Cette raison me détermine à les remettre ici sous ce point de vue plus général. Que A, C représentent deux polygones ou secteurs de polygones CAB, CADB ii.scrits de suite, comme on l'a déjà expliqué , soit au cercle, soit à l'ellipse ou à rhyperbole {fig- i5, 16, 17), et que B, D soient les polygones circonscrits correspondans CÂFB , CAGEB; le secteur est plus

grand que le polygone Crfcle tiers de la difl'érence entre A et C. Le signe plus est pour le cercle, et le signe moins pour l'hyperbole; mais le même secteur est moindre que la seconde des deux moyennes, soit arithmétiques, soit géométriques, entre les polygones C, D. J'entends par la seconde, la plus voisine du polygone circonscrit, qui est la plus grande dans le cercle et l'ellipse, et la moindre dans l'hyperbole. Les deux limites sont

4C — A , C + 2D par conséquent ^^—^ — et — ^ — .

Huj^ens revendiquait ces deux déterminations ; mais on peut dire qu'indépendamment de la généralité que leur donnait Gregoiy, la méthode qui l'y conduisait les lui rendait propres. Gregory ajoute qu'on en approchera de plus près en prenant entre les limites précédentes la plus grande des quatre moyennes

arithmétiques, savoir -p , d ou il resuite le triple des chiffres exacts dans l'approximation qu'on en tire; je veux dire que si les limites précédentes donnent une valeur de la courbe qui ne diffère de la véritable que d'un looooo^, la dernière en donnera une qui ne dififérera que d'un i oooooooooo oooc/. Ap-

pliquons, avec Gregory^ ces vérite's plus particulièrement aux arcs de cercle.

Si A est la corde d'un arc et B les deux

cordes, prises ensemlDle, des moitiés de cet arc,

qu'on fasse, i**. A-|-B : B :: 2B : C, on aura

8C-f8B— A , , ,, , yç p plus grande que 1 arc , la clit-

férence n'étant qu'environ 3:;^, lorsque l'arc égale le quart du cercle, et beaucoup moindre quand il est une moindre portion de la circonférence ; 2°. soit A : B :: B : D ; alors...

^ sera moindre que 1 arc et en différera à peine d'un 60000^, lors même qu'il égalera le quart du cercle ; 5°. qu'on prenne enfin entre ces limites la seconde des six moyennes arithmétiques ( en commençant par la plus grande), elle sera moindre que l'arc, et l'erreur n'égalera pas 30^^, dans le cas où il serait un quart de cercle. Ces dernières approximations de Gregorj l'emportent incontestablement sur celles de son adversaire ; elles ont même cet avantage , d'être sans comparaison plus aisées à calculer. On peut voir toutes les pièces de cette contestation littéraire dans les Opéra varia de Hujgens (p. 4o5> et les Remarques de HujgenSj p. 4^5); on y trouve

même le traité de Gregory, qui y a été inséré sans doute pour épargner au lecteur la peine de recourir à un ouvrage devenu rare et diflicile à se procurer.

Je dois remarquer ici que Gregorj n'est pas le seul qui ait réputé la quadrature du cercle impossible; divers autres avant et après lui l'ont regardée comme telle; et il faut convenir que, quoique leur sentiment ne soit pas appuyé sur une démonstration complète , il a néanmoins une probabilité qui approche beaucoup de la certitude : en effet, quel motif d'en juger ainsi ne fournissent pas tant d'efforts superflus qui ont eu ce fameux problème pour objet? Quand je parle d'efforts superflus, je suis bien éloigné de penser aux ridicules tentatives de ces hommes à qui l'on ne saurait accorder le titre de géomètre sans l'avilir et le prostituer; mais un grand nombre de génies supérieurs, les Archimède , les Apollonuis ^ les HujgenSy les Gregorj j les Wallis, etc. , sans parler de tant d'autres plus modernes, qui, après des peines inutiles, se sont vus réduits à perfectionner seulement la méthode d'approxi-

mation : tous ces génies, dis-je, semblent fournir de cette impossibilité une preuve qui approche beaucoup de la démonstration. Au reste, ceci ne regarde que la quadrature définie du cercle; c'est une vérité aujourd'hui reconnue, que l'indéfinie est impossible, comme l'illustre Newton l'a démontré dans ses Principes : il y fait voir que non-seulement le cercle, mais qu'aucune courbe rentrant en elle-même comme le cercle, l'ellipse, etc., n'est susceptible de quadrature indéfinie générale, non plus que de rectification, car l'équation qui exprimerait indéfiniment cette aire devrait être d'un degré infini. La manière dont JVewton établit cette vérité est particulière^'', j'en donnerai une autre plus bas. Après JVewton^, je trouve , dans les Mém. de V Académie avant 1699 (t. II, p. 29.0), Rolle cité comme ayant démontré la même chose. Saurin l'a fait encore dans les Mémoires de 1720 (p. i5). En voici une démonstration très simple.

Que l'on ait quarré Taire indéfinie du cercle

^') Philos 0 phi œ natiiralis principia Mathematica, lib. I, lemma XXVIII , p. 1 06 de l'édition de 1726, et t. I", p. 1 16 de la traduction française par M°* Duchâlelet.

OU le segment correspondant à une abscisse quelconque x ou CP {Ji^- 18), et qu'il soit exprimé par X, qui est une fonction quelconque de Xy c'est-à-dire une expression formée de x et de ses puissances combinées , comme l'on voudra, avec des coefficiens constans j puisque cette fonction est d'un degré déterminé, l'exposant de la plus haute puissance de x sera un nombre iinin; et il est évident qu'on aura par une équation finie le rapport des secteurs ACB, BCE, savoir, en otant du segment AP, le triangle CBP et l'ajoutant à BPE. Le rapport des arcs AB , BE quelconques étant donné , on aura conséquemment par une équation finie, celui de CP, CE, ou CP, PE; c'est-à-dire qu'on pourra indéfiniment diviser la circonférence du cercle en deux parties en raison quelconque , en n'ayant à résoudre qu'une équation d'un degré déterminé n. Mais la théorie des sections angulaires nous apprend que cela est impossible; car la raison proposée entre les arcs AB, AE, étant exprimée par deux nombres premiers entre eux et plus grands que n, l'équation qui en résultera sera nécessairement d'un degré plus élevé que n ; et si ce rapport est irrationnel, il faudra nécessairement une équation d'un degré infini.

Quel que soit le nombre n , il ne peut donc être fini et déterminé , puisqu'il doit répondre à tous les cas imaginables des sections angulaires, et qu'il y en a une infinité qui conduisent à des équations d'un degré infini ^'\ '

CO yojez I'Addition à la p. iio.

ou CERCLE. 1 I I

\\A>H-\\VVVVVV\AA;V\V\\\\\\\V\V\\'VV\X\/VVVVVVVV\\\VVVVVVXVVKA^\VVVVV\\V\VVVVV\V\\\\^