CHAPITRE IV

Des découvertes faites sur la mesure du cercle, à l'aide des nouveaux calculs, ou Von esquisse, par occasion, l'histoire de la naissance du calcul intégral.

Les découvertes qu'on vient de voir sur la mesure du cercle suffiraient déjà pour donner une grande idée de la sagacité des géomètres qui les ont produites ; mais , sans les déprimer en aucune manière, nous osons dire qu elles ne sont encore qu'une petite partie de ce que la Géométrie a fait à cet égard. C'est proprement aux calculs modernes que nous sommes redevables des grandes lumières sur ce sujet; ce sont les TVallis, les Newton, et quelques illustres analystes, dignes successeurs de ces excellens génies , qui lui ont donné la dernière perfection dont il parait susceptible. L'ordre des progrès de ces découvertes nous engage à développer la naissance du calcul intégral; nous en avons saisi l'occasion avec d'autant plus

d'empressement que c'est le principal endroit par où nous avons espéré de rendre cet ouvrage intéressant pour les géomètres.

Ils savent que l'objet de la Géométrie de l'infini est de trouver le rapport de la somme des élémens infinis en nombres qui croissent ou décroissent suivant une certaine loi et dont une figure est composée, avec la somme des élémens égaux entre eux et au plus grand , et contenus dans un rectangle de même base et de même hauteur. On n'eut pas beaucoup de peine à déterminer ce rapport , quand les élémens suivaient une loi simple , telle que celle des termes d'une progression arithmétique, ou de leurs puissances. Fermât , Descartes et Roberval s'aperçurent , même avant Cavallerî y de la formule générale qui exprime ce rapport : Cavalleri s'y éleva aussi bientôt après de lui-même, dans ses Exercitationes geometricœ. Les ordonnées étant comme les puissances m de l'abscisse, soit entières,

soit fractionnaires , — -r— exprime en général

le rapport de la figure à celle d'un rectangle de même base et même hauteur.

DU CERCLK. I ID

Mais tout cela n'était que quelques rayons écliappés (l'une plus grande lumière, que TVallis dévoila dans son Arithmetica ùifinitorinn, 1657 ^'^. Cet illustre géomètre, en suivant le fil de l'analogie , qui fut toujours sa méthode favorite, ajouta beaucoup à ces découvertes; ce fut, par exemple, l'analogie qui le conduisit à étendre la formule donnée ci-dessus, aux cas même oii l'ordonnée est en raison réciproque de l'abscisse. On lui doit l'ingénieuse idée de regarder les fractions comme des puissances dont les ex-

posans sont négatifs : ainsi — ^^ n'est autre chose

que jc"". Il fit enfin à l'égard de cette sorte de Géométrie, qui s'occupe de la mesure des grandeurs, ce que Descartes avait fait sur celle qui recherche les propriétés des lignes courbes : il y appliqua un calcul commode ; et par là soumit à la Géométrie quantité d'objets qui lui avaient jusqu'alors échappé.

On tire aisément de la théorie de TVallis la mesure de toutes les paraboles , de leurs solides de circonvolution , etc. , de toutes les figures enfin dont les élémens exprimés analytiquement ne renferment point de quantité

CO IVallis Opéra, t. I, p. 355.

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complexe, et de variables sous le signe radical^ ou qui ne peuvent s'en dégager par quelque substitution. Ainsi les figures dont les élémens sont exprimes indéfiniment par («* zh ^*)°, (a*rfca:')', (fl*±x')', etc., se quarreront aisément; car ces expressions sont respectivement ifO'ztzx'^, a^ dz 2a''jc^ ^ x^ f qui donnent,

suivant les principes àeTValliSy x, «'xdr-ô-,

a'^x rr: —7; f- -^ , pour les aires correspondantes aux abscisses x. Ces conséquences sont tout-à-fait conformes au résultat du calcul intégral appliqué aux mêmes exemples.

Il n'y a de la difficulté que dans les termes cilles puissances de a'dz^" sont des nombres fractionnaires, ou lorsqu'elles sont négatives. Le premier cas est celui de l'expression de l'ordonnée du cercle, qui est \/«* — x', ou (a^ — x^y ; X étant l'abscisse prise à compter du centre, et le rayon étant a. On ne connaissait pas encore, à cette époque, la manière de développer cette expression en termes rationnels ; et c'était une condition nécessaire pour y appliquer l'Arithmétique de l'infini.

PFalliSy après avoir quarré un grand nombre de figures, se trouva donc arrêté comme on l'avait été jusqu'alors à la mesure du cercle : il tenta de surmonter cet obstacle; et, au défaut d'une méthode directe, il imagina les interpolatiojis y auxquelles on a même donné son nom , car on les appelle souvent wallisiennes. Cette méthode d'interpolation consiste à observer, dans une suite de termes quelconques, la loi générale qui règne entre eux, et à insérer entre deux termes, un ou plusieurs autres qui suivent aussi cette loi. C'est ainsi, pour en donner un exemple assez simple, qu'ayant la progression des nombres triangulaires o , i , 5, 6, lO, i5, etc., dans laquelle on voudrait insérer un terme entre chacun d'eux , on remarquerait que leur ditïérence croissant en progression arithmétique , il faut que cette loi s'observe encore entre les termes de la nouvelle progression, c'est-à-dire que la différence y croisse encore arithmétiquement. Pour y parvenir, soient x ei z les deux termes à insérer entre o et i, i et 5, d'où naîtra la suite o, jc, i, z, 3; on aura d'abord X, I— .%■, z — I en proportion arithmétique

Ilb HISTOIRE DE LA QUADRATURE

continue ; ce qui donnera x = — ~. La seconde équation viendra des trois différences I — a: y z — I, 3 — 5, qui doivent encore former une progression arithmétique continue, ce

qui donnera s == — 5 — . Or, cette valeur de z

substituée dans la première expression de œ, donnera enfin jc = ^ ; on trouvera de même s = i -|: la suite interpolée sera donc o,^, i>ï !■. 3,4 1 > 6, etc., dont les différences sont encore en progression arithmétique, savoir, |^, | , ^, etc. Tel est l'esprit des interpolations ; et en voilà assez pour mettre les personnes intelligentes en état d'aller plus loin dans l'occasion : appliquons ceci à la mesure du cercle.

On remarquera donc, avec TV^alliSy qu'on aune suite d'expressions, comme (a* — «^*)% («* — x^y, (a* — ^")% (rt* — x^f, etc., dont les exposans des puissances, savoir, o, 1,2, 5, etc., croissent arithmétiquement^"'; on a aussi les sommes des élémens que ces expressions désignent, ou les rapports des figures composées de ces élémens au rectangle de même base et même hauteur : dans le cas particulier où

C") jirithmetica infinitorum. et Algebra {Opéra, 1. 1, p. 443; t. II, p. 344, 356).

x-=.ay ils sont respectivement, i,|> 75?^^» 6*c.,

ou, pour observer plus facilement la loi qui

2 2.4 2.4.6 . ^ , règne entre eux, i,^, ô~i>3^~> etc. Ur, quon

insère dans la suite des expressions (ûî* — •3?*)°»

(a" — x"") , etc., celle-ci : («* — ^*)% elle tombera entre la première et la seconde, comme

(«* — oc^Yy («" — x.'^y tomberont entre la seconde et la troisième, la troisième et la quatrième; et il se formera une progression régulière de l'expression (û* — .r*), dont les exposans seront successivement o, 7, i, i 7, 2,2^, etc., encore arithmétiquement croissans, mais par des différences qui ne seront que la moitié des précédentes. Or, ne pouvant avoir directement les sommations de ces termes nouveaux , oa

les conclurait du moins de la suite

ï> i» 7^> i"^> etc., SI Ion pouvait y insérer de nouveaux termes entre le premier et le second, le second et le troisième, etc., et que ces nouveaux termes , d'après l'esprit de rinterpoiation , suivissent exactement la loi qui règne dans cette progression , de même que

leurs correspondans (a* — ^*)', etc. suivent la loi de la progression où on les a insérés. Le problème de la quadrature du cercle , envisagé de

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cette manière, se réduit donc à interpoler entre I ^t y le terme qui convient à la progression . .

Il serait long, et beaucoup plus que les limites de cet ouvrage ne me le permettent, de développer tout le reste de la théorie, toutes les remarques adroites que fait }Vallis dans cette vue; il trouve enfin que ce terme est