g , ensuite plus grande que

puismonidre que 5 o c rV/ "> ^t amsi de suite

à l'infini. Or, il sera aisé d'assigner parla quel nombre de termes il faudrait employer pour arriver à un degré d'exactitude requis. Au reste, si quelqu'un doutait de la vérité de cette expression, je remarquerai en sa faveur qu'elle se réduit à la suite si connue pour le cercle,

I — T+^ — etc. Euler le démontre dans les Mémoires de P étershourg'^''^ , dans l'un desquels ce savant géomètre enseigne à transformer de différentes manières les suites infinies pour les réduire à la forme qu'on juge la plus avantageuse; ceux qui ne se rendent qu'à la multitude des preuves, regarderont celle-ci comme une confirmation frappante de la vérité de l'une et de l'autre suite.

TVallis paraît être dans une opinion fort semblable à celle de Grei^orj&nv la quadrature du cercle; il penche beaucoup à la regarder comme absolument impossible : les paroles suivantes contiennent son sentiment à ce sujet ; elles sont remarquables. « Je suis fort » porté à croire, dit-il, ce que j'ai soupçonné » dès le commencement, que le rapport du )) cercle à une figure rectiligae, est d'une na- » ture à ne pouvoir être désigné par aucune » expression encore reçue, pas même par des » nombres irrationnels; de sorte qu'il serait » peut-être nécessaire d'introduire quelque nouw velle manière d'expression autre que les

t") T. IX, ann. 1787, p. 178.

» nombres rationnels et irrationnels. ^"^ j) Une des raisons qui déterminaient JVallis à cette manière de penser, était la remarque qu'il faisait, que la Géométrie connaît dès long-temps une infinité de grandeurs absolument irréductibles à des nombres rationnels. L'ordre et l'analogie ne conduisent-elles pas à penser, en conséquence, qu'il peut y en avoir d'autres qui soient, à l'égard des nombres irrationnels eux-mêmes, ce que ceux-ci sont à l'égard des premiers? J'ajouterai que la Géométrie ne se borne pas à ce seul exemple ; il y a des ordres entiers de problèmes absolument irréductibles à d'autres inférieurs : la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole parait être de cette nature , comparée à la quadrature de ces courbes, et celles-ci le sont probablement de même , comparées à quelque figure recti ligne que l'on voudra , soit rationnelle, soit irrationnelle au quarré de leur diamètre. Dans ce cas, il est aussi chimérique de chercher la quadrature du cercle et de l'hyperbole autrement que par approximation , que de prétendre assigner exactement la racine d'an nombre qui n'est pas un quarré.

^") Ariihm. injîn., prop. 190, scholiinn Algehva , c. 83 {Opéra, t. I, p. 465; t. Il, p 353.)

122 HISTOIRE l)E LA QUADRATURE

La découverte qu'on vient d'exposer fut bientôt suivie d'une autre qui ne lui cède point en beauté; elle est due à milord Brouncker que Wallis, travaillant à interpoler sa suite I, I, ^, etc. , consulta sur la manière dont on pourrait y parvenir. Brouncker s y appliqua; et pendant que TValliSj guidé par son analyse, rencontrait l'expression qu'on a déjà fait connaître, il trouva de son côté la suivante. C'est l'unité divisée par

2 + itf

etc.

La nature de cette expression est aisée à apercevoir; la voici cependant plus développée pour ceux h qui elle ne serait pas assez évidente : c'est une fraction qui diffère des autres en ce que, dans celles-ci, le dénominateur est un nombre entier fini et terminé; mais celle que donne milord Brouncker a pour dénominateur un nombre entier plus une fraction, dont le dénominateur est lui-même composé de la même manière, et ainsi à l'infini. Ici l'en-

tier du dénominateur est toujours i , et les nume'rateurs des fractions sont successivement les quarrés des nombres impairs i, 5, 5, 7, etc. Cette suite infiniment prolongée exprime le rapport du quarré du diamètre au cercle , en faisant le diamètre égal à l'unité ; mais lorsqu'on la terminera, on aura alternativement des limites par excès et par défaut : ainsi i -f-|

est trop grand, i -\ est trop petit, etc.

Au reste, ces limites seront beaucoup plus resserrées si l'on fait toujours le dernier dénominateur égal à la racine de son numérateur augmenté de 2; on aura alors alternativement

dont la première est encore plus grande que la vérité, la seconde moindre, la troisième plus grande, et ainsi à l'infini. Une invention si remarquable méritait d'être confirmée par une démonstration : TVallis en a donné une à la fin de son Arithmétique des infinis ; mais on ne connaît point l'analjse qui y conduisit my\ovà.Brouncher^ et l'on doit regretter, avec

Euler ^"^y qu'elle n'ait jamais été communiquée.

Les fractions de cette forme ont plusieurs propriétés remarquables, qui leur ont mérité l'attention spéciale (ÏEuler : on voit sur ce sujet un savant écrit de ce géomètre, dans les Mémoires de Pétersbourg ^''K Parmi plusieurs usages auxquels il les emploie , il y en a un qui appartient à l'objet présent. Il s'en est servi pour résoudre ce problème : une fraction ejcpriniée par de grands nombres étant donnée y par exemple ^ la raison de la circonférence au diamètre y de 3i4ï5926555etc. à loooooooooo etc., // s'agit de trouver toutes les fractions en moindres termes ^ qui approchent de si près de la proposée qu'il soit impossible d'en approcher davantage sans j employer de plus grands nombres. On veut, par exemple, trouver dans les fractions dont le numérateur ne passe pas lo, ou loo, ou looo, celle qui diflère le moins qu'il est possible de la vé-

C") Mémoires de Pétersbourg, t. IX, p. i o i , et Opuscula analytica, t. Il , p. 149.

C*) Mémoires de Pc tersbourg, t. IX, p. 98.

rite ; il faut pour cela réduire ce rapport en fraction continue ; c'est ce qu'on fera en divisant 5i/^i5etc. pan 0000 etc. Le quotient est 5, ensuite on divisera loooo etc. par le reste i4i5 etc., et l'on trouvera 7; on continuera de même, en divisant i4i5etc. , par le reste de celle-ci , et l'on aura 1 5, et ainsi de suite : la fraction continue sera donc

ig2-f- etc.

ce qui donne la solution du problème ^'\ En effet, j est moindre qu'il ne faut; vient ensuite la fraction ^% trouvée par Archimède , et qui, de toutes celles dont le numérateur ne passe

t^O L'opération ne peut pas se faire sur des nombres indéfinis, comme l'auteur semble l'indiquer ici; de plus, il faut avoir une attention dont il ne parle pas. Le rapport proposé n'étant jamais rigoureusement exact, quelque grand que soit le nombre des chiffres qu'on y emploie, on ne doit pas pousser ce calcul jusqu'à la fin : il faut opérer en même temps sur deux fractions , l'une plus petite , l'autre plus grande que le rapport exact , et se borner aux quotiens qui sont communs aux deux.

pas 100, est la plus exacte par excès. Les trois premiers termes donnent ^; et avec un terme de plus on a celle de Metius, ^ , qui est excédante : ces dernières sont les plus exactes (l'une par défaut, l'autre par excès), de toutes celles qui n'ont pas un numérateur plus grand que looo. Celle de Mefdus surtout approche extrêmement de la vérité ; on en voit la raison dans la fraction continue , c'est que le terme suivant ^^ est très petit. En poursuivant, on obtient les rapports -^J^, -^^, -S77? ^^4^, etc., qui ont des propriétés semblables, et qu Enler enseigne à trouver par un mo yen fort simple. JValliSy qui a résolu ce problème par une méthode beaucoup plus laborieuse , a donné une table de ces fractions poussée assez

loin ^^^.

VIIÏ.

C'est une remarque digne d'attention dans l'histoire des sciences, que les découvertes les plus heureuses ont presque toujours été pré-

CO Algehra, cap. i o et 1 1 {Opéra, t. II, p. 40 et 49) CO.

(') Ce sujet a cie traite de nouveau jiar Lagrange, dans le second

volume des Elémens d'Algèbre d'Eulcr. Voyez aussi le Com~

plément des Elémens d'Algèbre, à l'usage de VÉcole centrale

des Qualre-IVations.

cédces de quelques légères ébauches qui en ont été l'occasion et le motif. Cela se vérifie ici : les idées de TVallis sur les interpolations, mises en œuvre plus heureusement TpdiY Newton, ont été le principe de presque toutes les découvertes de la nouvelle Analyse. Les suites infinies, dans la forme où nous les employons, le développement des puissances , ou le fameux binôme de NewtOTi et un grand nombre de nouvelles expressions de l'aire du cercle, furent le premier fruit des tentatives que ce géomètre fît pour surmonter l'obstacle qui avait arrêté Wallis. Il nous raconte lui-même le progrès de ces découvertes, dans sa seconde lettre, écrite à Oldembourg en 1676^"^ Nous ne saurions suivre un guide plus sûr.

Wallis, comme on l'a vu , avait réduit la quadrature du cercle à effectuer par les principes de \ Arithmétique des infinis, la sommation du terme \J\ — .r', sommation qui, dans le cas défini du quart de cercle, ou de... r = i, est le terme à interpoler entre les deux premiers de la suite hypergéométrique,

^■^5 Commercium Epislolicum de analjsi promota, édit. in-4°, 17 12, p. 67, ou Neutoni Opuscula, t. 1", p. 328.

I, jy Ys> ^^^' ^^lli^ avait bien remarqué que

si, dans la suite x^œ — -^j^ 0 — f" Â^î^t^,,

on pouvait trouver le terme moyen entre les deux premiers, on aurait quelque chose de plus parfait que la quadrature qu'on a fait connaître ^"^j car on aurait alors la mesure indéfinie du segment correspondant à l'abscisse x : mais il ne put y parvenir, quoiqu'il se fût assez bien mis sur la voie : la réussite en était réservée aux premiers essais de Newton.

Pour suivre plus aisément la marche de ce puissant génie dans cette recherche, il nous faut exposer plus distinctement les expressions qu'on a données ci-dessus ; elles sont :

Ce nombre suffira pour l'objet qu'on se propose»

Newton remarquait donc d'abord que toutes

ces expressions commençaient par a:, que tous

^"^ Algebra, c. 82 {Opéra, t. Il, p. 352).

leurs termes étaient alternativement positifs et négatifs; que les puissances de x allaient toujours en croissant, comme x , jc^, x'^, etc. : il ne s'agissait que de trouver les coefficiens. Pour cela, il observait que la première expression, x, équivalant à x — f oc^ y les coefficiens des termes qui occupent le second rang perpendiculaire , sont successivement f , 7 , -^ > etc. ; ainsi l'expression à insérer entre X — jX^ et X — ^^^f doit avoir un coefficient moyen

arithmétique entre ^ et ;,, savoir, |. Les deux

premiers termes seront donc x—^or'; et comme

les dénominateurs croissent arithmétiquement et sont 3, 5, 7, etc., tout est fait à cet égard: il ne reste plus à déterminer que les numérateurs de ces coefficiens. C'est aussi précisément le nœud de la difficulté ; et il y eut bien de la sagacité à remarquer, comme fît Newton^ que m étant le numérateur du coefficient du second terme , ceux des suivans étaient succes-

sivement — ^^ -, — ^ ^ -, etc.,...

ainsi qu'il est aisé de le vérifier sur les termes

où ces coefficiens sont connus. -

Appliquons à présent cette dernière remarque

1 5o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

à l'expression oo — ^ x\ — etc. , où le numérateur du second terme est -. En mettant cette valeur à la place de m, dans les formules ci-dessus, on trouve pour les termes suivans, — i, +^,

— es* ^^^' Ainsi , ayant égard à la succession des

signes, on a pour le troisième terme, — 1«^% ^^

bien, — y-JC^'f pour le quatrième, — - x^, ou jc^f etc., d'où il résulte enfin l'expression

'V* ^--« '>^3 ____ 'vw __. ^y»7 ^^ 'Y*9 .i^H» Pfp

OU, afin de mieux voir la loi de sa conti-

nuation , x x^ j—z x^ -r-c — ^

/-V"o — X,^ — etc. : telle est la première

suite qui ait été donnée pour Taire du cercle. Si le détail où l'on vient d'entrer a déplu à quelque lecteur, on le prie de taire attention que la nature de cette découverte, l'une des plus intéressantes de l'Analyse , demandait ce détail. La vraie histoire des sciences consiste à développer autant qu'il se peut le procédé même de l'invention; et cela est d'autant plus nécessaire, que ce procédé est ordinaire-

DU CERCLE. lot

ment différent de celui que l'on expose dans la suite.

Newton ne tarda pas à découvrir un moyen plus court et plus simple de parvenir à la même vérité : il s'aperçut bientôt après qu'il ne s'agissait que de développer le terme \/i — x*, en expressions rationnelles; il le fit d'abord en insérant, par une méthode semblable, un nouveau terme entre le premier et le second de la suite

1 , 1 — .r* , I — ax* + x^, etc.

Ici il ne faut qu'omettre les diviseurs 3, 5, 7, etc. de la précédente, et diminuer de l'unité l'exposant de chaque puissance de x : on a alors

I x^ — qX^ -^x^ ^ x^ — etc.

2 O lO I20

Cette remarque mit Newton en possession de sa formule pour élever le binôme a^b a. une puissance quelconque m y formule qui sert encore à extraire les racines, en faisant m un nombre fractionnaire. Il s'aperçut enfin que, pour trouver la valeur rationnelle de V^i — x* ,

j:)"?. histoihe de la quadrature

il n'y avait qu'à en extraire la racine quarrée par le procédé ordinaire : seulement , de même que dans les extractions de racines des nombres qui ne sont pas des puissances exactes, l'opération ne se terminera pas. Par cette méthode , la plus simple de toutes, du moins dans ce cas particulier, on trouve... V^i — x", comme ci-devant, égal à

I — — — V; —^ ^ — etc., ce qui, suivant