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la méthode de JVallis^ donne pour l'aire du

w.» '7'*^ ir'^

cercle la même suite x — -r — -, etc.

Ces trois méthodes différentes, et qui conduisent précisément à la même valeur de l'aire du cercle , doivent se servir de confirmation mutuelle auprès de ceux pour qui cette analyse serait trop relevée : elles n'ont pas besoin de ce secours auprès des géomètres, pour qui elles auront chacune en particulier assez d'évidence. Je remets à tirer plus bas quelques conséquences et à donner quelques détails en faveur de ceux que ces vérités générales ne satisferaient pas.

L'invention des calculs différentiel et intégral, ou, comme on les nomme en Angle-

DU CERCLE. lO:!)

terre, des fluxions ctdesfluentes, succéda bientôt à ces premières découvertes sur la mesure du cercle, et en fournit de nouvelles. L'illustre Newton en était déjà possesseur en 1668. Mercator publiait alors sa Lo^arithmotechnie ^ ouvrage dans lequel, comme on sait, il quarrait l'hyperbole par une suite infinie, et en tirait la construction des logarithmes. C'est une découverlequi, dès les années i665, 1G66, était familière à Newton, inconnu encore et ne cherchant point à se faire connaître; car il raconte qu'il s'amusa alors à calculer les logaritlimes par la quadrature des aires hyperboliques. Pudet dicere, écrivait-il à Oldenhur^h, en 1676, ad quoi Jîgurannn loca lias computationes otiosus eo iempore perduxi. Nam tune sane nimis delectahar inventis hisce.

La publication de l'ouvrage de Mercator, qui aurait excité un autre à divulguer tant de découvertes, faillit au contraire à déterminer Newton à supprimer toutes les siennes. Il se persuada que Mercator, après avoir trouvé la quadrature de l'hyperbole, ne tarderait pas à rencontrer celle du cercle, ou que, si elle lui échappait, d'autres étendraient sa découverte et l'appliqueraient à cette courbe. Il ny avait en effet qu'un pas à faire, et un pas en appa-

l54 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

rence peu difiicile ; mais ce n'est pas là le seul exemple dans l'histoire des sciences, où l'on voit une découverte manquée par celui-là même qui l'avait amenée à sa maturité. Newton enfin ne croyait pas être encore d'un âge assez mûr pour écrire : trait admirable et unique de modestie dans un génie si supérieur ! Qu'il devrait être gravé dans l'esprit de ces hommes dont les ouvrages prématurés annoncent la téméraire entreprise d'instruire le public de ce dont ils ont à peine une légère teinture !

Ce ne fut que sur les instances de Barrow que Newton se détermina à communiquer ses découvertes analytiques. Barrow était venu à connaître sur ces entrefaites cet homme rare, et il en avait senti tout le mérite ; car il était luimême homme de génie et grand géomètre.

NewtoTi lui remit, aussitôt après la publication de la Logarithmotechnie de Mercatorj un écrit intitulé Analjsîs per œquationes numéro terminorum infinitaSj qui fut envoyé à Collins, le i^/ens-e/z/ze de l'Angleterre ^'\ Dans ce traité, imprimé dans le Commercium epistolicunij sur la copie de Collins ^ collationnée au manuscrit de

^0 On sait que celui-ci était en correspondance avec presque tous les sa vans de son temps.

DU CERCLE. l55

Newton j on trouve presque tout le calcul moderne : les quadratures et les rectifications des courbes, soit de celles qui en sont susceptibles en termes finis, soit de celles qui ne les admettent qu'en suite infinie ; la formation de ces suites, leur retour, l'extraction des racines, la résolution approchée des équations de tous les degrés; le principe enfin du calcul des fluxions et des fluentes, qui y est clairement énoncé et déduit du mouvement (p. i4 du Comm. epist.y ou JVewtoni Opiiscula, t. I, p. 18). Une exposition plus détaillée de toutes ces découvertes appartient à une histoire particulière de l'Analyse. On se bornera ici à ce qui regarde spécialement la mesure du cercle, que Weivion, dans cet écrit, perfectionne de bien des manières. Il y enseigne à trouver indéfiniment la grandeur de l'arc, soit par la connaissance du sinus verse, c'est-à-dire de l'abscisse commençant à l'extrémité du diamètre, comme AD (Jïg- ig), soit par celle du sinus droit ou de l'abscisse prenant son origine au centre. Il en fait de même de l'aire; ainsi, supposant le rayon du cercle rgal à I, l'aire du segment BCDE, qui répond à l'abscisse jr ou CD, est égale à l'expression x"^ x^ x''

l3fi HISTOIRE DE LA QUADRATURE

et l'arc BE est égal a la suivante,

, x"^ , 3x^ , Sx'' , a7+-^-4-^ h etc.

Au reste , les coeffîciens r: , 7- , — , etc. sont

equivalens a — ^, — y-=,j — 1-7^ — , etc. , ce ^ 2. 3'2. 4.52. 4- 0.7

qui donne le moyen de continuer la progression. Mais si l'on veut la grandeur du segment ADE , nommant AD = x, et le rayon i , sa valeur est

.6.8.io.i3.i6 ^t^-J'

qui, à partir du troisième terme , présente une loi facile à saisir, si l'on observe que le dernier facteur du diviseur va toujours en doublant. Les dénominations restant les mêmes, la valeur de l'arc AE est

v/^jfli-l-^x+T-x'H x^^ p- jc^+etc. I

L 6 4*^ H2 ' ll52 !

On peut enfin , par la méthode du retour des suites, trouver la grandeur du sinus, soit verse, soit droit, étant donné l'arc ou l'aire. Newton en offre quelques exemples : l'arc AE étant s,

le rayon i, le sinus verse AD est égal à la suite

ou ^-4 7-^ f-etc. ,

et le sinus DE à celle-ci :

z^ z" zi z9 e

Il est aisé d'apercevoir que les diviseurs numériques sont ici les produits successifs 2.5, 2.5.4.5, 2.5.4.5.6.7, etc.

Les découvertes de Newton ayant été publiées et communiquées à divers géomètres, par l'entremise de Collins, celui qui se hâta le plus d'y ajouter, et qui le fit le plus heureusement, fut Jacques Gregorj ; c'était un géomètre de grande espérance, un homme à seconder Newton^ si la mort ne l'eût enlevé à la fleur de son âge. Il l'avait précédé dans l'invention du télescope catadloptrique, et il marcha de près sur ses traces dans quelques-unes de ses découvertes analytiques.

l58 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

A peu près dans le même temps que Newton se disposait à répondre aux instances âeBarroWy Gregoiy publiait dans ses Exercitationes Geometricce, une suite infinie pour exprimer l'aire du cercle : cet ouvrage parut peu après celui de Mercator. La suite de Gregorj est celle-ci :

3 90 J "jÔGif"- 113400^^ "^f^^^^ood^

Le rayon est désigné dans cette expression par r; ci est la moitié du côté du quarré inscrit, et e la différence du rayon avec ce côté ^'^ Cette suite convei ge assez rapidement ; elle n'a que le désavantage d'être formée de termes un peu compliqués, et dont on n'aperçoit pas la loi.

Gregory fut bientôt informé par CoU'ins, de la découverte de Newton, sur l'aire des courbes, et eut communication de quelques-unes des suites de ce dernier; mais préoccupé de sa méthode et de la suite qu'il avait trouvée , il crut d'abord que celles de iVeu'^o^î devaient avoir la même origine, ce qui les lui rendit moins remarquables. Voyant même qu'elles ne se rapportaient point aux siennes , il conçut quelques doutes sur leur légitimité ; mais ce ne fut

(^') Coniviercium epistolicum, p. 39-40.

DU CERCLE. iSq

qu'un sentiment passager, auquel succéda bientôt celui de la justice que méritaient les inventions de Newton. Non -seulement Grcgorj s'assura de leur vérité , mais à l'aide d'une profonde méditation , il parvint à découvrir la méthode que Newton s'était formée. On lui rend ce témoignage dans plusieurs endroits du Commercium epistS"^. Il renvoya bientôt après à Colliîis la suite pour exprimer l'arc par la tan-

f t^ f gente, savoir, ^ = i— — + ^^ — — + etc.,

où t est la tangente, r le rayon, et a l'arc cherché. Cette suite, l'une des plus élégantes par sa simplicité et la régularité de la loi de ses termes, est, tout compensé, celle qui, maniée avec adresse , fournit les approximations les plus commodes. Gregojy donna aussi des suites pour exprimer, par l'arc, la tangente et la sécante, et même pour en tirer immédiatement leurs logarithmes. La rectification de Tellipse et de l'hyperbole en suites infinies, que CoLlins ne lui avait point communiquée, était aussi de ce nombre. Je n'ai fait mention de ces dernières découvertes , étrangères à mon sujet, que pour justifier les éloges que j'ai

COPag. 29, 48, 71.

l/jO HISTOIRE DE LA QUADRATURE

donnés à ce grand géomètre : je reprends le i\\ de mon histoire.

On doit reconnaître, et c'est une vérité dont le Commercium epistoUciun fournit des preuves, que toutes ces nouveautés brillantes d'anal jse prirent naissance en Angleterre, et que les géomètres du continent y eurent alors peu de part : ce fut seulement quelques années après (en 1674) ^ï^e Leibnitz trouva sa suite pour le cercle, savoir, i' — -|+j — 4+ etc., le diamètre étant l'unité. On ne peut disconvenir que cette suite soit la même au fond que celle de Gregorj'y qui trouvait (faisant le rayon = 1 et la tangente aussi = i) la même expression pour le demi-quart de cercle, ou l'arc de /^5°; cependant plusieurs circonstances doivent écarter l'imputation de plagiat intentée à ce sujet contre Leibnitz.

i*. Cette découverte est chez lui une suite de la méthode de transformation qu'il avait imaginée pour débarrasser l'expression de l'ordonnée du cercle de l'irrationnalité qui l'accompagne, afin d'y appliquer le développement de Mercaior. Cette méthode, exposée au long

dans le cours d'Ozrif/am, avait été communiquée aux géomètres vers Tan 1674- Leilmitz s'est plaint plusieurs fois du silence de cet écrivain sur l'auteur de cette ingénieuse invention, dont on serait ainsi tenté de faire honneur à Ozajuiniy si l'on ne savait que ce mathématicien était d'une classe bien inférieure à celle des analystes dont il est question ici.

2". La bonne foi de Leibnitz paraît évidemment dans les lettres qu'il écrivait sur cela à Oldejiburghy en 1674, et dans lesquelles il lui faisait part de sa découverte avec une sorte de transport ^'^. Croira-t-on qu'il eût été si peu fin que de tenir un pareil langage s'il l'avait reçue de Collins ou d'Oldenburghj comme on Fa prétendu faire soupçonner? Les réponses de Collins le lui auraient bien rappelé; mais ce secrétaire de la Société royale de Londres se contente, au contraire, d'informer LeihnitZj, comme pour la première fois, des progrès que Newton et Gregoiy axaient faits dans l'analyse. Ces raisons me font penser qu'il y aurait de Tinjustice à dépouiller Leibnitz de cette découverte, comme ont voulu faire quelques partisans trop zélés de la gloire de la nation anglaise.

C") Comm. epist. , p. 37.

1^2 HlSTOiRE DE LA QUADRATURE

Newton j plus équitable, et sachant que ce qui s'était présenté à Gregojy pouvait aussi avoir été trouvé par Leihnitz au-delà des mers, ne fait point de difficulté de Fappeler la suite de LeibTiitz^"^. Celui-ci avait eu dessein de la publier dans un traité particulier qu'il se proposait d'intituler Quadratura arithmetica ; il est souvent parlé de ce projet dans le Commercium epîstolicum. Sans doute , lorsque Leibnitz fut en possession de plus grandes découvertes, celle-ci ne lui parut plus assez remarquable pour en faire la matière d'un ouvrage : il en donna le précis dans les Actes de LeipsiCj année 1682 (p. 41) > sous le titre de De verâ proportione circuit ad quadratum circumscriptum in numeris rationalihus .

Les raisons que je viens de présenter pour disculper Leihnitz de l'accusation de plagiat intentée contre lui , recevront un nouveau poids de la remarque suivante : c'est que la découverte dont il est ici question semble n'avoir pas été d'une difficulté si grande, qu'elle ne

^'') Comm. epist. , p. ijg, et ailleurs.

se soit présentée en même temps à divers géomètres. Elle n'a point échappé à de Lagnj, si nous l'en croj oiis lui-même : il nous assure, dans les Mémoires de VAcad. de 17 ig (p. 144) qu'il avait trouvé, dès l'année 1682, la même suite, nullement informé encore de ce que Gregojy et Leibnitz avaient fait à ce sujet; et l'on n'en sera point surpris , car cette année-là est la première où fut publiée la suite en question dans les Actes de Leipsic. De Lagnj j alors à Toulouse, ne pouvait que difficilement avoir connaissance, soit des lettres de Leibnitz et de Newton y toujours restées entre des mains privées, soit de ces journaux que l'Allemagne voyait tout nouvellement paraître. Ajoutons à cela que la méthode de de Lagny, de même que celle de Leibnitz, dont elle diffère cependant, donne du poids à ce qu'il dit; car elle parait avoir été imaginée dans les mêmes vues, je veux dire pour éviter l'irrationnalité, qui seule empêchait d'appliquer au cercle la méthode de division de Mercator, la seule encore connue pour quarrer les figures. Si de Lagny a pu faire cette découverte, ne sera-t-il pas vraisemblable que Leibnitz, qui a donné des preuves d'un génie fort supérieur, l'ait aussi faite dans les mêmes circonstances ?

l44 HISTOIRE DE LA OUADRATURË

Depuis que le calcul intégral a fait des progrès parmi les géomètres , rien n'est plus connu que les différentes expressions qu'on vient de donner du cercle et de ses parties : il ne faut qu'être initié dans ce calcul pour les trouver. On ne s'attachera donc point à les développer ici par son moyen ; ceux qui l'ignorent peuvent consulter les ouvrages qui en ont traité : voici seulement quelques expressions du cercle, qu'on n'a pas pu faire connaître dans le cours de la narration précédente.

Si la corde d'un arc est Xf le diamètre i, le segment est égal à

Cela est aisé à démontrer, soit eu le tirant immédiatement de l'expression du petit triangle

ABC (fis- 20), qui est — ;^= , soit en le

dérivant de la suite qui exprime le demi-segment ADE, la demi-corde AE étant = '-x.

On a donné précédemment, d'après Leibnitz et Gregorij, la suite i — f + 1 — t + etc., pour l'expression de l'arc de 45°, ou de l'aire du quart

DU CERCLE. IZj5

de cercle, le rayon étant i. Newton a trouvé que la suite i + 4 — 4^ — T+f+r; — etc., exprimait aussi l'arc de r)0°, la corde étant l'unité, et le rajon étant conséquemment y '

Voici encore une autre manière d'exprimer l'aire du cercle. Que le diamètre soit i , et la tangente i = ^, l'aire de tout le cercle sera la somme de ces trois suites:

^*+ -5- — -^ H etc.,

t^—- + ^ — etc. ('>

Je passe à présent a montrer l'usage de ces expressions, qu'on n'a encore envisagées que d'une manière générale.

Il est d'abord évident que chacune de ces suites fournit un moyen commode pour trouver la grandeur approchée de tout segment , de tout secteur, de tout arc de cercle , lorsque la valeur de l'indéterminée qui lui convient

t') Commercium epistolicum , p. 77 et 7g.

l/fi HISTOIRE DE LA QUADRATURE

sera assez petite pour faire converger la suite rapidement : je vais m expliquer par un exemple. Que l'on demande l'aire du segment BCDE {Jig. ig), où l'abcisse n'est qu'une petite partie, par exemple un tiers du rayon ; alors la suite qui convient à ce cas , savoir,

se réduira à

3 2.3.27 2.4-5.243 ou -^ — 4- — — — etc.

— etc. ,

Or il est visible que les deux premiers termes seuls donnent la grandeur de ce segment à moins d'un gooo^ près. Ainsi, le plus souvent, un très léger calcul approche extrêmement de la vérité ; et dans d'autres cas moins avantageux, l'emploi de 4> 5 ou 6 termes suflira. Je ne m'arrête pas davantage à ceci ; dans d'autres cas où la suite ne serait pas fort convergente, on pourra même éviter la peine de sommer un nombre médiocre de termes : 11 y a des méthodes que l'on indiquera, et par lesquelles on convertit une suite peu convergente en une autre qui l'est beaucoup.

Lorsque ion a voulu obtenir par ces suites, de grandes approximations de la valeur entière du cercle, on a cherché, pour diminuer le travail , les cas les plus avantageux pour les faire converger. Si voulant, par exemple, exprimer l'aire du quart de cercle , on s'était contenté de donner à l'abscisse jc la valeur i qui lui convient alors, dans la suite

JC — 77 jc^ — -7- jc^ x'^ — etc., on aurait eu

I — r — 7 etc. , qui est en effet la

vraie grandeur du quart de cercle. Mais comme cette suite converge peu, il faudrait sommer un grand nombre de termes , peut être trente ou quarante, pour en tirer une approximation seulement en dix décimales; au lieu qu'en faisant x égal à -^, le travail est considérablement abrégé ; car alors l'arc BE étant le ^ du quart de cercle, si de la valeur de BCDE on ôte le triangle CDE connu , le reste , savoir, le secteur BCE , triplé , sera le quart de cercle. Or la valeur de BCDE converge assez rapidement pour la trouver sans beaucoup de peine ;

car la suite x 7; 7—? 7-7; etc. ,

l48 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

lorsqu'on fait x= -, se convertit en t^s