r-^ T-r ?i — etc., qui est com

posée de fractions assez sensiblement décroissantes.

On s'engagerait au reste dans d'étranges calculs, si l'on entreprenait de sommer ces fractions à la manière ordinaire : la méthode des fractions décimales en diminuera considérablement la fatigue.

Cependant cette méthode elle-même ne suffirait pas, si l'on n'usait encore de quelque adresse pour s'épargner quantité d'opérations superflues. En effet, en calculant chaque terme de la manière qui se présente d'abord , il faudrait, après avoir trouvé le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, augmenter le numérateur d'un certain nombre de zéros, et puis diviser par le dénominateur , qui bientôt serait composé d'une multitude de chiffres. Or, on voit aisément combien ce procédé serait laborieux et incommode; au lieu qu'avec un peu d'attention , il se présente un moyen de l'abréger considérablement. Ce moyen consiste à mettre la suite proposée sous une autre forme , dans laquelle

DU CERCLE. I/Jq

chaque terme se déduit du précèdent, en l'affectant d'un coefficient dont la progression est facile à apercevoir. Ayant, par exemple, nomme' le premier terme négatif A, le second

est = -r-^— ;, comme il est aisé de le vérifier

en mettant au lieu de A sa valeur ; nommant ensuite B ce second terme , le troisième

devient C= -r- — 7, et le quatrième D = 5—^, 6.7.4' ^ 8.9.4

de manière que la suite entière paraît sous

cette forme :

2 2.6.4 4-^-4 ^-T-i *^-9-4 10,11,4 — etc. ,

où il suffit de la plus légère inspection pour la continuera 1 infini.

Supposons donc à présent qu'il s'agisse de déterminer avec 9 décimales, l'aire du quart de cercle , comparée au quarré du rayon ; nous emploierons pour cela la suite préparée comme l'on vient de voir, où labscisse x a été faite = \, afin de trouver le segment BCDE. J'ai calculé en particulier chaque terme jusqu'à 12 décimales, afin d'être assuré que la neuvième du résultat est exacte. Nous aurons donc d'abord ^ = o, 5oooo 00000 00 et -^^

l5o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

= 0,02085 55355 55; ensuite multipliant ce nombre par 3 , et le divisant par le produit de

4, 5, 4 > ou 80, on a pour quotient

0,00078 12499 99 > ^^ même, multipliant celui-ci par i5 et divisant par 168, on trouve le terme C = o, 00006 97544 64 > et ainsi à l'égard des autres ; on range enfin tous ces termes , affectes du même signe, dans une colonne, comme on le voit ici :

Otons la somme de ces termes, 002169 etc.

DU CERCLE. l5l

(le ^, ou o,5oooetc., le reste sera

o, 4785057587 54; mais il faut retrancher de là le triangle CDE, dont l'aire est égale à

^Vt ^^ 4\/5 = o, 2i65o655o94^- La soustraction faite, on trouve 0,261799387808, pour la valeur du secteur BCDE, qui, multipliée par 5 , donne pour le quart de cercle 0,785598165424, le quarré du rajon étant 1,000000000000. Or, cette expression, qui excède un peu la vérité, parce que dans tous les termes négatifs le dernier chiffre est moindre que le véritable , quoique de moins d'une unité; cette expression , dis-je, coïncide avec celle de Liidolph '^usqu au. dixième chiffre inclusivement : car la raison du quart de cercle au quarré du rayon est la même que celle de l'arc de 4^° au rayon; par conséquent l'arc de 45° est exprimé par le nombre ci-dessus; donc en le quadruplant on aura la demi-circonférence comparée au rayon , ou la raison de la circonférence entière au diamètre. Or ce nombre multiplié par 4 est 5, i4i59 26556 96, ce qui convient avec le nombre de Ludolph jusqu'au onzième chiffre, qui est un peu trop grand dans cette expression, par la raison que nous en avons donnée plus haut.

l52 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Mais. si l'on voulait avoir une expression certainement au-dessous de la vérité , pour la comparer à la première, et être plus assuré des vraies limites de la circonférence, on l'aurait aisément en supposant les onze derniers termes de la suite ci-dessus augmentés d'une unité ; à l'égard des deux premiers, le peu dont ils s'écartent de l'exactitude, par défaut, ne saurait contre-balancer l'excès qu'on donne à tous les autres. On aura par ce moyen la somme 0,02x694261257, surpassant celle de tous les termes négatifs; lorsqu'elle sera olée de -^ ou o, Sooooetc. , elle laissera nécessairement un reste plus petit que le véritable; et achevant cette opération comme la première , on trouvera la fraction 0,78559 8i653 91, qui, multipliée par 4.'. donne pour valeur approchée de la circonférence 5, 14 169 26555 64 , qui ne pèche par défaut que dans le douzième chiffre.

On procéderait de même avec la plupart des autres suites proposées plus haut; mais en considérant les moyens d'approximation qu'elles présentent , il est aisé d'apercevoir qu'elles n'ont pas toutes le même avantage , et que ia

DU CERCLE. l55

plupart sont peu propres à donner ces immenses approximations de l'aire du cercle qu'on connaît aujourd'hui ; aussi ne s'en est-on point servi indifféremment : on a donné la préférence à celle où t étant la tangente, l'arc est

exprime par t — 0 + ^ r etc. 11 ne s agit

pour cela que d'assigner à t une valeur moindre que l'unité, en la choisissant telle, qu'elle appartienne en même temps à un arc commensurable avec la circonférence entière; car il est visible que si l'on supposait ^ = i , dans lequel cas l'arc correspondant serait de 45", la suite se réduirait h i — -7 ~1~^ — etc.; mais il faudrait une somme immense de ses termes pour en tirer une approximation avec dix chiffres : ainsi, quoique remarquable dans la théorie par son élégance , elle ne serait ici d'aucun usage. Pour

l'y rendre propre, il faut faire tz= \/} ; l'arc correspondant sera alors de 5o°, ou la douzième partie de la circonférence , et la suite se transformera en celle-ci :

\/\V\ — T^-\ \ ^ l-Q-^^ etc. I,

^L 3.3 9.5 27.7 bi.9 J'

où chaque ternie est moindre que le tiers du précédent ; on pouriait même la rendre plus

l54 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

convergente en ajoutant les termes deux à deux, le second avec le troisième, le quatrième avec le cinquième, etc. et divisant ensuite par 4 > ce qui donnerait la quarantehuitième partie de la circonférence exprimée de cette manière :

iv/f^