i II. 13.729 J

etc.

C'est ainsi que quelques géomètres l'ont employée pour en tirer des approximations ; mais en comparant ses avantages et ses désavantages, on remarquera bientôt que la préparation précédente ne fait que la rendre moins commode : en etTet, dans ces sortes de calculs, on doit bien moins chercher à sommer un petit nombre de termes qu'à le faire très facilement, dùt-on en employer beaucoup plus. Aussi cette raison a-t-elle fait donner la préférence à la première suite , quoiqu'il y faille prendre le double de termes que dans la dernière pour arriver au même degré d'exactitude , car cela est abondamment compensé par la facilité des opérations. On voit en effet qu'ayant une fois la valeur de Vr> ^^^^ autant de décimales ou quelque peu plus qu'on n'en veut employer dans l'approximation que l'on cherche , il n'y a

DU CERCLE. l55

qu'à diviser cette valem^ par 5, et le quotient qui en résulte par 3, et puis le nouveau quotient encore par 3 , et ainsi de suite; après quoi reprenant chacun de ces quotiens, à commencer au premier qu'a donné la division de V j ' par 3, le diviser encore par 3, ensuite le second quotient trouvé ci-devant, par 5 , le suivant par y, etc. , ainsi jusqu'à ce que dans le nombre de chiffres auquel on s'est fixé, il n'y ait plus que des zéros. Alors prenant la somme de tous les termes positifs et celle de tous les termes négatifs, pour ôter celle-ci de la première, le reste est la douzième partie de la circonférence. Nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire de donner un exemple de ce procédé, qui doit paraître assez clair après ce qu'on vient de dire.

Ces moyens d'approximation, incomparablement plus abrégés que l'emploi des polygones inscrits et circonscrits , ont mis les modernes en état de laisser bien loin derrière eux, à cet égard, les anciens. Le nombre obtenu par Liidolphj et si renommé avant la naissance de la nouvelle analyse , n'est plus qu'une petite partie de celui dont nous sommes aujourd'hui

l56 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

en possession. Voici par quels degrés on s'est élevé à l'immense nombre trouvé par deLagnj. Le géomètre anglais, A. Sharp, en employant la méthode précédente, la poussa jusqu'à 7 3 chiffres; il a communiqué son travail dans ses Tables mathématiques^'^. JMachiji , de la Société rojale de Londres, a prolongé l'approximation jusqu'à 100 chiffres; j'ignore, à la vérité, dans quel ouvrage , mais c'est Eiiler qui nous l'apprend ^^\ De Lagnj enfin , enchérissant sur eux, l'a continuée jusqu'à 128; il a fait plus, il l'a vérifiée en calculant la même suite par deux voies différentes^*^, et elles lui ont donné le même résultat. Nous savons par là que

(^'5 Je ne connais point, sous ce titre, d'ouvrage publie' par Sharp; mais ses calculs se trouvent dans les Malhematical Tables de Sherwin, les premières où l'on ait disposé les logarithmes comme ils le sont maintenant dans toutes les tables un peu e'tendues (celles de Callel, par exemple.) f^oj. p. 56 et suiv. de l'introduction de ces tables, 4* étlit, A la page 64 , on trouve le rapport calculé à 100 décimales, ^diX Machin, et dont il est question plus bas. Ce géomètre fit connaître sa méthode dans le Sjnopsis palmariorum Matheseos, publié par TVilliam Jones.

^^■^ Mémoires de Pétersbourg, t. IX, p. 223.

tO Mém. de V Acad. , 1719, p. 1 44-

si le diamètre est l'unité suivie de 127 zéros, la circonierence est plus grande que le nombre suivant : 5 141^9 2G555 89795 23846 26455 85279 60288 4^97 1 69599 57610 68209 74944 6925© 78164 06286 20899 86280 54826 3421 1 70679 82148 08661 5282506647 0958446,...

et qu'elle est moindre que ce même nombre augmenté de l'unité '•'•^.

Mais quelque commode que soit la méthode expliquée dans l'article XVII , du moins si nous la comparons au procédé laborieux des

f'^ Le ii4* chiffre du rapport ci-dessus, tel que l'a donné de hagnj, était un y ; mais Vcga a montré qu'il devait être remplacé par un 8 {Voj. à la page 633 de l'édition qu'il a donnée des tables de Vlac). Le même a poussé l'approximation jusqu'à la i4o^ décimale , ou à i4i chiffres. On trouve dans le 4* ^'olume de la 2* édition de VHistoire des Mathémaliques de Montucla (p. 640), la correction dont je viens de parler, et il dit en outre que M. de Zacli a vu, dans un manuscrit de la bibliothèque de Balcliff, à Oxford , le calcul poussé jusqu'à i55 chiffres (ou i54 décimales), et qu'après le dernier chiffre 6 du nombre indiqué cidessus , il faut ajouter

og5 5o582 23172 53594081284802.

l58 HISTOIRE DE l.A QUADRATl RR

anciens, on ne peut cependant se dissimuler qu'elle n'avait pas encore atteint sa perfection lors même qu'on en faisait un si grand usage; car la suite employée par Sharp, Machin et de Lagnjy a un défaut qui en diminue beaucoup le mérite. Ce défaut consiste dans cette immense extraction de racine qui doit servir de préliminaire au calcul , à cause de l'expression irrationnelle \/j qui multiplie toute la suite. D'un autre côté, si l'on emploie celle de l^^'*, elle ne converge pas sensiblement. Néanmoins , il fallait nécessairement opter entre l'une ou l'autre : car ce sont les plus simples de celles qu'on pouvait employer, toutes les tangentes rationnelles qui ne surpassent pas le ravon , n'appartenant point à des arcs commensurables avec la circonférence, et toutes celles qui appartiennent à de petites portions commensurables de cette circonférence étant extrêmement compliquées d'irrationalités. Euler a cherché à donner à cette méthode le degré de perfection qui lui manquait, et il y a réussi des deux manières que je vais exposer.

La première a pour objet de délivrer la suite

DU CERCLK. l5c)

(le l'arc par la tangente, de l'irrationnalité qui en rend le calcul si incommode; elle est fondée sur une propriété des tangentes au cercle qui donne cette analogie : comme la différence du rectangle des deux tangentes avec le quarrédii j^ajoUj est à ce quarré^ ainsi la somme des tangentes est à la tangente de la somme des arcs. 11 en conclut que l'arc de 45", le seul commensurable avec la circonférence, et ayant en même temps une tangente rationnelle, âe peut diviser en deux arcs dont les tangentes sont aussi rationnelles ; et comme elles seront chacune moindre que l'unité , elles donneront pour leur arc correspondant , deux suites toutes rationnelles et fort convergentes. 11 est bien vrai que l'arc que chacune exprimera, considéré à part, sera incommensurable avec la circonférence; mais cela n'importe en rien , puisque leur somme sera commensurable avec elle. INommant ainsi la tangente de 45°= i, et les deux

tangentes cherchées -, ^, on a, suivant le théo-

reme précèdent , i = . , et de la b = — ■ — ,

ce qui donne 2 et 3 pour les moindres et les plus simples valeurs àe aet b : un de ces deux arcs sera donc

l60 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

et le second sera

— etc. ,

et consëquemment l'arc entier de 45° sera égal à la somme de ces deux suites.

On pourrait, parle même artifice, substituer à chacune, ou à celle qu'on voudrait, de ces deux suites, deux autres qui seraient encore plus convergentes. Ainsi l'arc dont la tangente est 4 se partage de nouveau en deux autres, dont les tangentes sont ^ et 4 ; mais cela est inutile , et deviendrait même plus nuisible qu'avantageux : car, dans le calcul de la seconde suite, on aurait à diviser continuellement par 49? ce qui est moins facile que deux divisions par un nombre simple. Les deux premières suites remplissent presque tout l'objet qu'on peut se proposer : car je remarque, ce qui est essentiel, que le calcul de chacun de leurs termes est peu laborieux, à quelque nombre de décimales qu'on veuille les pousser; la raison en est qu'on rencontrera le plus souvent des nombres dont les chiffres seront ou continuellement les mêmes, comme 4 = 0, 53355 etc. ,

' = o, aSoooo etc. , ou qui reviendront après certaines périodes; ainsi le seul travail consistera presque à ajouter les termes corres-

pondans des deux suites — rH"'P — V~^ ^^^'^

-\ — ^ — etc. , et à les diviser ensuite suc-

cessivement par 5, 5, 7, 9, 11, etc. Il faudra de ces termes environ autant qu'on aura dessein d'employer de chiffres dans l'approximation. Si quelqu'un la voulait pousser à i5o décimales , il y parviendrait avec beaucoup moins de peine qu il n'en a coûté à de Lagny pour le faire jusqu'à 127^'^

Le second désavantage, non-seulement de la suite I — |r~f" s — ^^c. et des autres qui appartiennent au cercle , mais encore de la plupart de celles qu'on emploie dans l'analyse moderne, est d'être assez souvent trop peu convergentes. Elles ne sont plus dès lors d'un usage commode, et cet inconvénient les ren-

^0 Le procédé imaginé par Machin, antérieurement à celui à'Euler, a été repris avec succès par P'ega et d'autres. On le trouve dans ^ADDITIO^ à la page 161.

drait inutiles dans un grand nombre de cas, si l'on n'était parvenu à y remédier. Quelques géomètres se sont appliqués à donner à la méthode des suites cette perfection essentielle. Je n'ai point encore pu voir le traité De SummatioTie et interpolatioiie serierwn de Stirling^'^; il doit contenir d'excellentes choses à cet égard. Ce que j'en vais dire est tiré des savans Mémoires d'Euler ^"^^ et du livre que Thomas Simpson a publié sous le titre de The doctrine and application of fluxions ^ etc. ^*\

Soit 1°. la suite t r"~l~^ — ^tc, ou en faisant ^=-, celle-ci: ;+— ^ — ■ —-{-etc., que

l'on a vu désigner l'arc de cercle, dont la tangente est t ou -. Il faut d'abord avoir ajouté un certain nombre de termes du commencé-

es Il faut que ce livre ait toujours été fort rare, car il a paru en i ^So. C'est en effet un ouvrage des plus remarquables pour cette époque ; on y trouve (pag. Sa, 42, 46, 56, 60, 64, 68) la sommation approchée de séries qui se rapportent à la quadrature du cercle.

C") Comm. Acad. Petrop., t. IX, p. 227 ; et t. VIII, p. i53.

C*J Part. II, sect. 7, p. 4o3.

DU CERCLE. l65

ment de cette suite ; plus on en aura pris , plus exacte sera Tapproximation qu'on tirera de l'expression suivante. Nommons , pour abréger, S la somme de ces premiers termes, 7i leur nombre, et posons 2n — i = /•, i-{-p'' = m; on aura alors, suivant les principes d'Eulery la somme entière de la suite égale à

mi" mr^

etc.).

Ainsi l'on l'ëduit la sommation d'une suite qui ne converge presque pas sensiblement, à celle d'une autre qui converge fort vite , et l'on transforme une suite qui est déjà convergente, en une autre qui l'est beaucoup plus : on abrège donc par là considérablement le calcul dans tous les cas. Pour en donner un exemple, je vais choisir le plus désavantageux , celui où la tangente étant l'unité, la suite est I — \-\-\ — 4 + etc. Suivant la méthode diEuler, les six premiers termes suffiront pour prévenir une erreur d'un looooo^; or, ces six premiers termes ajoutés ensemble font 0,744012, et en employant la formule, on a j9=i, et 14-^;' = 2, 271 — 1 = 11; de ma-

l64 HISTOIRE DE LA QUADRATUKE

nière que le comple'ment qu'il faut ajouter à cette somme , est , " , + o -| ■

' a. II 4.11^ ' ' 11+

-|- o — - — g , c'est-à-dire ce que deviennent les

six premiers termes de la seconde suite, multiplies par — ou I. Ces termes, réduits en fractions décimales et réunis, font 0,041 586, qui, ajoutés à 0,744012, donnent 0,786398 pour la grandeur de l'arc de 4^°» ou pour celle du quart de cercle , comparé au quarré du rayon. Ou en tire 5,141592, pour le rapport delà circonférence au diamètre, ce qui s'accorde avec les sept premiers chiffres du nombre de Liidolpli. Il aurait fallu environ 1 000000 termes de la suite i — y + f — etc., pour trouver une approximation aussi exacte: on doit juger par là de la précision de celles que donnera la môme méthode appliquée à des suites déjà médiocrement convergentes.

lia série suivante, qui a le même objet que celle qu'on vient de voir, est due à Simpson; elle a quelque avantage sur l'autre , en ce qu'elle est plus aisée à continuer, la loi de la progression des coefficiens étant plus apparente. Je conserve ici les mêmes dénominations que dans la première formule que j'ai

DU CERCLE. l65

déjà donnée, à cela près que r=: 2« -f- i, et m=: I -{-t""; alors on a, suivant Simpson, pour la valeur très convergente de la suite

t — ^ "f" etc. , cette formule :

rm \ ~* (r -f- 2) m (r +2) (r + 4) m' , 2.4.6^5

(r+2) (/• + 4; (r + 6; (r+8)m^ -h etc.).

Le signe dr signifie qu'il faut ajouter, si le premier terme qui suit ceux qu'on a renfermés dans la somme S est positif, et soustraire , s'il est négatif. Cette méthode égale la précédente en exactitude. En l'appliquant à I — 4 + l — etc. , six termes seulement de cette suite, joints aux six premiers de la seconde, donnent, comme ci-devant, l'expression 0,^85398 pour la valeur du quart de cercle, le quarré du rayon étant i.

La plupart des autres suites qu'on peut employer pour trouver l'aire du cercle sont susceptibles d'abréviations semblablables; mais il serait trop long d'en exposer ici la théorie générale, qui dépend de celle de la sommation

l66 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

des suites. Le simple historique auquel on s'est borné ne permet pas d'entrer dans ces détails, et l'on se contentera d'avoir indiqué les livreS où l'on peut les trouver.

Les suites infinies fournissent enfin des moyens commodes pour obtenir des constructions géométriques ou des expressions analytiques, qui représentent, à très peu de chose près, des espaces ou des arcs circulaires; car on peut combiner de telle manière deux grandeurs, que la suite dans laquelle elles se résoudront coïncide dans ses premiers termes avec celle qui représente la valeur de l'arc, ou de l'espace circulaire qu'on veut réduire en ligne droite ou en figure rectiligne. En prenant donc cette première suite, ou la grandeur finie qu'elle exprime, pour la dernière, on approche beaucoup de la valeur de celle-ci, puisque ce moyen en donne non-seulement les premiers termes, mais encore une partie de tous les autres. Les exemples suivans, dont quelques-uns sont tirés des Lettres de Newton ^ et de son Traité des fluxions ^"^^ vont

W Voyez Comni. epist. , p. 56 et suiv., et Newtoni Opuscula , t I, p. 420.

éclaircir cela. Ce qu'on y exécute sur le cercle, peut commodément se pratiquer dans une infinité d'autres cas et sur d'autres courbes dont on a quelquefois besoin de calculer l'aire approchée, avec plus de promptitude que de précision.

Qu'on veuille donc trouver l'arc, la corde étant donnée ; on sait que celui-là étant z ,

la corde est z — -t-Z — - -f- . . • — etc. ;

nous la nommerons A ; soit B la corde de la moitié de cet arc ; elle est

+ , , o ; — etc. Si l'on combine ces

deux grandeurs en ôtant la première de huit fois la seconde, le reste sera très prochainement égal h trois fois l'arc ; car de

Ôtant A, le reste est 3s— ~ — - — etc. Or,

comme son second terme et les suivans , pour peu que z soit moindre que l'unité , sont très petits, il s'ensuit qu'on peut les négliger entièrement, et que 8B — A=5z. Il est donc vrai, ainsi quHujgcns l'a démontré, que huit fois la corde de la moitié d'un arc moins la corde de l'arc entier, égalent trois fois l'arc, ou que huit

l68 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

fois la corde d'un arc moins celle de l'arc double, diffèrent très peu du sextuple de cet arc. On peut encore dire que quatre fois la corde moins le sinus d'un arc sont égales, à une très petite différence près, à cet arc triplé.

On trouve de même que si l'on prolonge le

diamètre BA [Jîg. 21) de la quantité

AE = CB— ^BF, l'arc BG excède très peu le segment de la tangente BH, coupé par la ligne EGH. Cette proposition démontre la vérité de celle de Snellius, qui, faisant Ae = au rajon, disait que BA était moindre que l'arc BG [vojez ci-dessus, p. G4). Cette dernière est vraie à plus forte raison , car la ligne Ae étant toujours plus grande que AE, la ligne BA est nécessairement moindre que BH. Mais de cela même il est aisé de conclure que BH approche bien plus près de la légitime valeur de BG que BA, qui cependant, comme nous l'avons fait voir, en est très peu éloignée "^'^

Quand on a la grandeur d'un arc, il est fort facile de trouver l'aire du secteur ou du segment : ainsi les méthodes précédentes pourraient suffire à cet objet. Cependant comme on

(^0 Montucla n'a point fait ce qu'il dit ici ; mais voyez I'Addition à la page 168.

peut le faire immédiatement, en voici quelques moyens que nous fournit Newton dans les endroits cités^'\ Le segment BGF étant proposé, on pourra prendre pour sa valeur l'expression

^BFT "BG -j- GF j. Mais si l'on veut une

plus grande exactitude , qu'on divise BF en deux également au point I, alors le rectangle

-^ BF(4GI -j- BG) approchera tellement de

la valeur exacte du segment BFG, que lors même que ce segment deviendra le quart de cercle, le rectangle s'éloignera à peine de la vérité d'une i5ou^ partie de l'aire totale.

Leihiùtz, dans une de ses lettres à Newton, a donné, pour trouver l'arc, par le cosinus,

l'expression V^6 — \/il^c-\- 12, dans laquelle c désigne le cosinus, le rayon étant 1. Ici l'erreur, selon la remarque de Newton, sera

— + - — 7 + etc. , la lettre v désignant le

sinus verse , ou i — c \ cette erreur sera donc fort petite quand v sera moindre que le tiers du rayon. Cette condition est nécessaire pour employer avec quelque sûreté la formule précédente; mais il vaudra encore mieux se servir

^'^ Commercium epistolicum, p. 67, 62, 80.

de la suivante , due à Newton : v étant toujours le sinus verse , qu'on fasse comme. . . .

120 — i^v est à 120 — 17^, ainsi la corde \/iv est à une quatrième proportionnelle ; elle approchera si près de l'arc correspondant, que l'er-

reursera seulement d environ ■ . .^ , ce qui

égalera à peine cinq secondes lorsque l'arc ne surpassera pas 4^°, et serait même moindre qu'une seconde s'il n'était que de 5o°.

Après avoir exposé les découvertes de ces grands hommes , qui semblent ne rien laisser à désirer sur ce sujet, me sera-t-il permis de faire part d'une méthode qui m'a paru commode pour déterminer par approximation la valeur de ces différens espaces, ou arcs circulaires? Elle est fondée sur un certain moyen de trouver la somme approchée des suites qui les expriment; moyen que j'ai autrefois appliqué , avec quelques changemens , à former des règles commodes et exactes pour toiser les surfaces des voûtes en cul-de-four, surhaussées ou surbaissées y c'est-à-dire, pour m'énoncer en termes plus intelligibles aux géomètres, des sphéroïdes allongés ou «platis; car on sait, pour peu qu'on ait passé les bornes de la Géométrie ordinaire , que les surfaces de ces corps sui-

vent le même rapport que des espaces elliptiques ou hyperboliques. Soit donc un segment circulaire BFG (Jig. 21) dont l'abscisse est œ f le diamètre l'unitë; on a vu qu'il se réduit à la suite, \/x{jX — jX* — kx^ — ^^X^

—x^ — etc.)^'^. Pour en trouver la somme

approchée, je cherche une expression qui se résolve en une suite à peu de chose près égale à celle-là; c'est ce qu'on obtient de f x Vx — nx*, dont le développement est Vx[j,jc — inx" — - n'^jc^ — A rJx^ — -^ n^x'^ — etc.V Je remarque enfin que si je donne à 71 une valeur telle que les seconds termes de chaque suite soient égaux, ce qui suffira si jc n'est qu'une petite partie du diamètre , alors on aura les deux premiers termes avec une partie de chacun des suivans, et par conséquent, à peu de chose près, la somme de la suite. Afin donc de déterminer /z , j'égale les seconds termes jcT'et jWj:*, d'oùje tire n-=.y', ainsi l'expression ■^xS'X — 4^% sera la valeur approchée du segment circulaire , quand son abscisse ne pas-

^'^ Sur la page i36, l'auteur a en efFet rapporté une expression du segment circulaire ; mais pour l'approprier au cas ci-dessus, il faut en prendre le quart et y changer x en ix.

sera pas le quart ou les ^ du diamètre. En effet, dans la suite donnée ci-dessus, mettant à la place de n et de ses puissances , leurs valeurs , elle se re'duit à \/x (jX — | X* — -^^X^ —x^ — etc.), dont la différence avec la pre-

looo /' i

mière , n'est que \/'ôc[-^^x'^ -]r ~^x^ -{^ eic). Lors donc que :x; sera seulement 4> cette différence ne montera qu'à A — I — ] — {-etc., ce

qui sera une très petite valeur.

Mais quand il s'agira d'évaluer un segment dont l'abscisse sera plus grande qu'un quart du diamètre, alors il faudra faire en sorte que les troisièmes termes des deux suites soient égaux entre eux, ce qui rendra la dernière beaucoup plus approchante de la première, pourvu qu'on ait l'attention de ne pas négliger la différence qui se trouvera alors entre les deux seconds termes. Égalons donc ^-^ /z'x^ à ^^x^', nous tirerons de là 7z = \/i; et cette valeur, substituée dans la seconde suite , la transformera

en celle - ci : \/x (^\ x — | y/^ x'' — ^ x"^ '—:^\/lx^—rî^x'—eic.), dont la différence avec celle qui exprime l'aire du segment , est \/a: [ ( \/Z -^ l^^x' + o — ~ X^ — 43.^^ — etc.j De là il suit qu'en ajoutant

à l'expression jxyœ — ^'V^^ , la valeur de

X* sj'x ( V^ir — t)> ^"^ aura, à peu de chose près, la somme delà suite qui exprime la grandeur du segment BFG. Et en effet, lorsque x deviendra égale au rayon ou à ^ , puisque le diamètre est I, la différence sera seulement. . . . 7^5 + 17^^ + G*c. ; mais tous ces termes et les suivans ne peuvent faire, comme l'on voit, qu'une très petite quantité'. Cette différence serait encore beaucoup moindre si la grandeur de x n'était que de y ou ^ : on pourra donc, pour celle d'un segment circulaire quelconque dont l'abscisse est :x;, et le diamètre l'unité , prendre

\x\/x-^x^ \/f + ^^ \/x{ Vir — j)^% ou 1 X \/x — o, 654^" + o, o 1 1 8 rv'' s/x.

On peut traiter de même la suite

X — — — : ^^ etc., qui exprime

l'aire du segment circulaire BCED {fig, 19), l'abscisse étant prise à compter du centre (p. 1 55); car réduisant en suite l'expression indéterminée X V^i — "^% puis comparant le troisième terme -q- au troisième de la première suite, 7-,

l'74 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

on trouve /i'= 4, et alors x y i — x" Vj =

X— \ \/\x' — ^x' — ^^\/ïx' — 4^3— etc.

Or, cette suite et lo précédente ne diffèrent

dans leurs seconds termes, que de yj/^^ — ji)x^

(qu'il faut ajouter à xy i — jc^s/j, ou... ^Vi — o?447"^")> ^^> après le troisième terme, que de la quantité — 3^^^ — .^x^ — etc. Conséquemment, lorsque x n'est que la moitié ou les deux tiers du rayon , cette dernière quantité s'évanouit presque, à cause de l'élévation des puissances x^, x^ et suivantes; car,

dans le premier cas , elle se réduit à

-1 [-^, — h etc. du quarré du rayon.

b84oo • 184320 ' T J

Il est facile d'apercevoir qu'on pourrait sans peine approcher davantage en suivant le même procédé, c'est-à-dire en déterminant n par le moyen d'un terme plus éloigné de la suite, et puis ajoutant ou retranchant la différence des seconds et troisièmes termes de la nouvelle suite avec ceux de la première. En effet, à mesure que la coïncidence s'établira entre deux termes plus éloignés , ces suites se rapprocheront davantage l'une de l'autre dans les termes qui viendront après ; et comme les différences des coefficiens de ces termes ne

peuvent manquer d'être des fractions, parce qu'eux-mêmes sont nécessairement des fractions, et que de plus, elles affecteront des termes où x est déjà élevé à une haute puissance, cela rendra nécessairement la valeur de toutes ces différences peu considérable, et même insensible dans bien des cas.

Ces diverses expressions, comme aussi les suites extrêmement convergentes qui donnent le sinus, la tangente, etc., par l'arc, peuvent être fort utiles dans certaines circonstances. Un astronome qui , dans des pays éloignés , serait privé de ses tables par quelque accident, se verrait absolument déconcerté; mais avec ces formules , il pourrait continuer ses calculs, et tirer les résultats de ses observations. Plusieurs auteurs ont traité de ces moyens de se passer des tables ; entre autres, Snellius, dans sa Cjclométrie, HujgenSy dans le traité de Circidi niagiùtudiiie inventa , LeibnitZj dans un écrit inséré dans les j4ctes de LeipsiCy sous le titre de Trigonometria canonica à tabularum necessitate liberata '^"^^ et plusieurs autres.

(") Hugenii Opéra varia, p. 887 , et Act. erud., aiin. 1691 , p. 178.

ïyÔ HISTOIRE DE LA. QUADRATURE

Je ne saurais passer sous silence l'ingénieuse méthode pour la quadrature approchée des courbes, dont Newton a donné la première idée dans son traité intitulé Methodus differentialis^'^ . Elle consiste à déterminer, par le moyen de plusieurs ordonnées de la courbe proposée , également ou inégalement distantes entre elles, l'équation d'une autre courbe de genre parabolique qui passe par toutes leurs extrémités ^"^ On appelle ici courbes de genre parabolique celles qui ont une équation de cette forme : « + /^jc + c^* + dx^ -j- etc., parce que ce sont en effet des paraboles de genre supérieur, comme on le voit dans Vénuniération des lignes du troisième ordre, donnée par Newton^"^, Or, comme une courbe de cette nature est toujours absolument quarrable, qu'elle serre de très près la courbe proposée, et d'au-

^'5 Newtoni Opusciila, t. J, p. o.'jZ.

^°^ On s'est borné ici au cas où les ordonnées sont également distantes entre elles , la solution étant considérablement compliquée dans celui où leurs distances entre elles sont inégales.

<^') Newtoni Opuscula , t. I, p. 24? •

DU CEKCLIs. I'7'7

tant plus qu'elle passe par les extrémités d'un plus grand nombre d'ordonnées, il s^ensuit qu'on aura, en la quarnint, l'aire approchée de la première.

L étendue et l'objet de cet écrit ne me permettent pas de développer ici les propositions fondamentales dont Newton tait usage pour parvenir à la solution de ce problème. Je me contenterai de présenter cette solution ellemême , et j'indiquerai un moyen simple et lumineux de s'assurer de son exactitude.

Soit donc donné le nombre et la grandeur de plusieurs ordonnées également distantes entre elles, A,B, C, D, E (/%. 2a); nous supposerons ici qu'il y en a cinq; on prendra leurs différences A — B, B — C, C — D, D — E, qu'on écrira avec les signes qui leur conviennent, suivant qu elles se trouveront positives ou négatives, le terme à soustraire pouvant être plus petit ou plus grand que celui dont on doit le retrancher. Nous nommerons, pour abréger, ces premières diflérences «, Z», c, J; on prendra ensuite les différences de cellesci, a — ^, h—^c, etc., que nous appellerons encore, pour simplifier, d, b' , c', et dont les différences prises dans le même ordre seront représentées par a", V\ enfin nous pose-

lyS HISTOIRE DE LA. QUADRATURE

rons pour la dernière différence, a' — b"=La"', Cela fait, soit toujours m l'ordonnée du milieu , qui est ici C j que l'on nomme p la

moyenne arithmétique entre les deux

différences moyennes Z» et c; que l'on fasse

h' = q, = r, a"' = s, et ainsi de suite,

si le nombre des ordonnées surpasse 5. Ici s est le dernier terme, et quelquefois, suivant la nature de la progression des ordonnées, la suite des différences se terminera plus tôt : mais cela ne jettera aucune difficulté dans la solution; les termes qui manqueront seront simplement réputés o.

Après cette première préparation , on formera les produits successifs des termes de cette progression :

c'est-à-dire qu'on multipliera le premier terme parle second, puis le produit parle troisième terme, etc. ; cela donnera la suite des produits

i,j?, — , — ^ — , v^—, etc., qu'on multipliera

respectivement par m^p, q, r, s, etc. Ces produits, ajoutés ensemble, donneront la valeur

DU CERCLE. I-jg

do l'ordonnée correspondante à l'abscisse Jc; ainsi l'ëquation de la courbe sera

Il faut remarquer qu'alors les abscisses x prennent leur origine au point F, qu'elles s'étendent positivement de F vers H, et négativement de F vers h; c'est-à-dire que la valeur de X est positive pour la partie FGIH de la courbe, et qu'elle doit être négative pour la partie FG//« , suivant les règles si connues aujourd'hui, dans l'analyse des courbes. Ainsi, pour avoir l'ordonnée po , il faudrait, dans l'équation précédente , changer les signes de toutes les puissances impaires de oc.

Il est aisé de s'assurer, par la métliode suivante, de la justesse de la solution qu'on vient de voir; il n'y a qu'à examiner si- lorsque les abscisses deviennent. .... o, FQ, FH, F^, F^, il en résulte les ordonnées FG, QR, III, qr, hi. A l'égard de la première, cela est évident ; car quand x = o, il ne reste pour la valeur de l'expression que le premier terme ;?z, qui est égal h l'ordonnée moyenne C ou FG. Pour démontrer les autres cas, il faut développer les différences que nous avons désignées par des

l8o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

lettres simples; ce procédé nous donnera. . . ,

A — B, B — C, C — D, D — E, pour les pre-

mieres, et — — , pour p, qui représente la

moyenne entre les deux du milieu. Les secondes diflérences seront. ... A — 2B -{- C , B — 2C + D, C — 2D-J-E, dont la moyenne B — 2C-I-D est q. Les troisièmes différences sont A— 5B + 5C— D, B — 5C-|-5D— E, et la quatrième A — 4^ + ^^ — 4'-^~}~E. Ici nous remarquerons en passant que les coefficiens de ces expressions sont toujours ceux du binôme a — by élevé à la puissance indiquée par le rang de la différence. Faisons à présent x=i ou FQ;

l'équation se réduit à j z=iTn-{-p~\- -\ et si ,

au lieu de w, p^ q, on met leurs valeurs trouvées ci-dessus , elle devient