C-{ 1 — — = B, c'est-à-dire la

valeur de QR. Qu'on fasse jc= — 2 ou Y h, on aura 7^ = m — 9.p-\-Q.q — r-\-\sy oii, mettant au lieu de ?72, p, q, r, s, leurs valeurs en A, B, C, D, E, tout se réduit à^ = E, ou hi. Il en sera de même si l'on donne à x les autres valeurs F^ ou FA, c'est-à-dire qu'il en résultera les ordonnées ^/*, hi; ainsi la courbe passe par les sommets de toutes ces ordonnées.

DU CERCLE, l8l

Il n'a encore été question que du cas où les ordonnées sont en nombre impair; quand leur nombre sera pair, par exemple, A, B, C, D, on prendra, comme à l'ordinaire, leurs premières, secondes, troisièmes difTérences, jusqu'à la dernière {Jig. 23); on nommera m la moyenne arithmétique entre les deux du milieu, p la différence Z» ou B — C, <y la moyenne entre a, b' , enfin a" sera appelée r. On multipliera ensuite, comme ci-dessus, les termes sui-

^x'^ — I X ^x'' — 9 X i^x"^ — 3 5 vans i I , iZ", —: > ô > 7 7 ) F > 7 71 > etc.;

et leurs produits successifs étant affectés des coefliciens in,p,q,r,s, etc., donneront

^X^ •— I Li'V —• x^

m-\- px-^ q ^—, + r

pour l'expresssion cherchée de^, qui ne comprend ici que ces quatre premiers termes, parce que tous ceux au-delà de /■ sont supposés nuls. Ici l'origine des abscisses est toujours le point qui partage en deux également l'intervalle des deux ordonnées moyennes, et elles s'étendent positivement vers H, et négativement dans le sens contraire.

Rien à présent n'est plus aisé que de trouver l'aire entière de la co urbe qui passe par les points y, r, G, R, I (Jig. 22); il suffit d'être initié dans

le calcul intégrai, pour voir qu'il faut multiplier la somme des ordonnées PO , po par djc, et intégrer comme à l'ordinaire; car, en multipliant PO par (Ijc, cela est visible à l'égard du segment FGOP ; mais il semble qu'on devrait multiplier /?o par — dx ^ car F/? = — x -, cependant comme parce moyen l'aire YGop paraîtrait sous une forme négative, et que néanmoins elle doit être ajoutée positivement à la première , il faudrait changer ses signes avant l'addition. Or la multiplication de po par djc, et non par — dx, produit précisément cet effet; ainsi il n'y a qu'à prendre la somme de PO et de po, et la multiplier par dx : son intégrale sera l'aire OP/Jo; et quand FP sera faite = FH, l'intégrale sera l'aire entière HIG/A ^'\ Prenons d'abord le cas de cinq ordonnées; en chanireant les siijnes des termes où sont les puissances impaires de x, dans la valeur PO, ce qui donne la valeur de po , et les ajoutant ensemble , nous aurons

PO -{- po=: 2}n ■+- qx"^ -\- s .

On peut remarquer ici que tous les termes

^') On dirait aujourd'hui qu'il faut prendre l'inté- ^xoXq fydx depuis x=.Yh ou — FH, jusqu'à a:=FH.

DU CERCLE. l85

afleclés des dilïëreuces premières, troisièmes, cinquièmes, etc., s'évanouissent, et qu'il ne s'agit que de doubler les autres^ ce qui facilitera beaucoup l'opération ; cela aura également lieu dans le cas des ordonnées en nombre pair. Enfin, l'expression qui convient à ce cas étant multipliée par dx et intégrée , devient

Il ne reste donc qu'à faire .r=2, et l'on aura pour l'aire cherchée , 4'^ "^ 4 7 "h lo"^ "~" li -^

On trouvera, par un moyen semblable, que dans le cas de quatre ordonnées, l'intégrale

est 3(m-f-S7-f7)=5(m + H)^ ^

Présenté sous cette forme, le théorème de

Nei'^'ton serait déjà d'une grande utilité pour calculer assez commodément les aires approchées des courbes, et surtout de celles qui se résolvent eu suites peu convergentes, dont l'approximation est extrêmement pénible ; mais ce théorème fournit encore une pratique plus commode, que je vais exposer. Newton s'étant contenté de l'indiquer dans le dernier scholie de son traité, ce que je vais ajouter en sera une espèce de commentaire , de même que le

l84 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

discours précèdent a pu servir à jeter quelque jour sur le reste de cet excellent traite'.

Reprenons encore ici le cas de cinq ordonnées, pour lequel nous avons trouvé. . . /^[m -h i^ -f- ,1 s — ^y s ) ; l'on a fait voir plus haut quelles étaient les valeurs de q et de s^ en expressions où il n'entre que des ordonnées : on a trouvé q=z^ — 2C-|-I^> et.... s=X — 4Ï^ + 6C — 41^-f-E. On pourra donc substituer à m, ^, Sy ces valeurs, et l'opération faite , la formule ci-dessus deviendra i(7A-f-52B-h 12C-J-32D4-7E), ce qui est égal à ^„[7 (AH-E)-h32 (B-f-D)-f-i2Cl, .... multiplié par 4> ou plus généralement par l'intervalle entre la première et la dernière ordonnée, intervalle que nous nommerons dorénavant R. On s'assurera par un semblable procédé que , lorsqu'on n'emploiera que trois ordonnées, l'aire approchée sera ^(A-|-C-{-4B) R; pour sept, elle sera ^[41 (A-]-G) + 2i6(B-f-F) + 27(C-f-E)4- 272D] R. Nous ne pousserons pas plus loin cette table pour les nombres impairs d'ordonnées, parce qu'il est rare qu'on ait besoin d'en employer plus de sept; d'ailleurs il est aisé d'y suppléer dans le besoin.

La méthode n'est pas différente pour les or-

DU CblRCLE. lOD

données en nombre pair. On a vu plus haut que, pour 4, la formule devenait 5 (m+ '</); un peu auparavant on a remarqué que q était la moyenne entre les deux difTérences. . . . A—2B + C et B — 2C+D, c'est-à-dire

= — , et que ni était la moyenne

B-f- C entre B, C, c'est-à-dire — '■■ — ; consequemment

la formule se réduira à |[A -f- D -f- 5 (B -|- C) j ; ou bien , en nommant encore R la portion de l'axe comprise entre la première et la dernière ordonnée, ^[A-|-D-|- 5(B4- C)] R : pour six ordonnées, on aura^-^[i9(A-f-F)-f- yô^B-f-E) + 5o(C + Dj]R^'\

Nous allons enfin ranger toutes ces expressions en forme de table, pour la commodité des lecteurs qui en auraient besoin ; mais, pour abréger, nous y nommerons simplement A' la somme de la première et de la dernière ordonnée, B' celle de la seconde et de la pénultième, etc., et dans le cas des ordonnées en nombre impair, la dernière lettre sera l'ordonnée du milieu. JNous avons négligé les cas où

t') Ces formules se trouvent dans V Harmonia mensurarum de Cotes, p. 33 , deuxième pagination.

l86 HISTOIRE DE LA QUADKATURE

l'on n'emploierait qu'une ou deux ordonnées, parce qu'on ne doit en attendre aucune exactitude. La première colonne contient le nombre des ordonnées, à côté duquel est exprimée l'aire.

4(4iA'-h2i6B' + 27C'+272D')R.

Newton ajoute, ce qui peut servir à simplifier beaucoup ces calculs, que si l'on prend le double de l'ordonnée du milieu, et que l'on joigne ensemble les ordonnées qui en sont également distantes, comme QR avec qr^ HI avec hi , qu'enfin l'on substitue ces sommes à chacune des premières ordonnées QR, HI, il se formera une nouvelle courbe y^(pi , dont l'aire sera égale à celle de la première. Cela revient à ce qui a été démontré plus haut, que, pour avoir l'aire des deux parties POGF, poÇxY de la courbe par une même et unique intégration, il fallait ajouter les deux ordonnées PO, po y multiplier leur somme par dx, et intégrer ensuite. ISewton propose encore quelques moyens propres à transformer ces courbes, mais mon dessein n'est pas de faire un com-

mentaire de son traité entier; ainsi je reviens à mon objet principal , en appliquant cette méthode à la mesure du cercle.

Nous supposerons pour cet effet , que le rayon est 8, et qu'il est divisé en huit parties égales, alin d'avoir cinij ordonnées dans le segment Al^^ca (Jig. 24) qui répond au demirayon; mais ces ordonnées auront, en fractions décimales, les valeurs suivantes : Art=8, 000000, Bb= V'65=7, 957255, Cc=V't)o=:7, 740966,

Dd= V55 = 7,416198, enfin Ee = v/48 =6,928205. Ainsi A', somme de la première Aa et delà dernière Ee, sera 14,928205 ; B', somme de la deuxième Bh et de la quatrième Dr/, sera 15,55545 1 ; on aura enfin C ou Ce = 7,745966. Par conséquent les 7A' + 52B'+ 12C' de la formule qui convient au cas de cinq ordonnées, seront 688,75944^, ce qui doit être multiplié par 4 et divisé par 90. Ces opérations donneront 5o,6ii55o pour Taire du segment AaeE; et si l'on en retranche le triangle AEe=i5,8564o6, le reste 16,755124 exprimera le secteur Aae dont le triple ou 00,265572 sera le quart de

cercle entier, le quarré du rayon étant

64,000000 : et enfin réduisant ce rapport au dénominateur 1,000000, on trouvera le premier nombre == 0,785596, ce qui ne diffère

l88 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

que de — - — ou ^-^ — , du nombre o,7855q8,

X lonnooo 300000 ' ' I iJ 7

lequel pèche bien peu par défaut , puisque le chiffre suivant n'est que l'unité. Enfin si, partant du nombre o.ySSSgSi, on remonte au segment A^eE , on trouvera 3o,6ii566, valeur qui coïncide dans les six premiers chiffres avec celle qui a été trouvée ci-dessus.

Nous donnerons encore un exemple de l'application de ces Ibrmules à la mesure d'un espace circulaire. Ici nous ne prendrons que quatre ordonnées également distantes , dans le même segment dont il vient d'être question. Pour cela, il faudra supposer le rayon divisé en six parties égales j et alors ces quatre ordonnées seront en fractions décimales, 6,00000, 5,91607, ^f^SÇ)'$i^, 5,19615; par conséquent A'+3B', formule des quatre ordonnées, aura pour valeur 45,91491? qu'il faudra multiplier par 5 et diviser par 8, ce qui donnera 17,2180g. Afin de voir jusqu'à quel point ce nombre approche de l'exactitude, il n'y a qu'à en retrancher le triangle AEe, qui est ici 7,79422, et le reste 9,42587 étant triplé, donnera pour le quart de cercle, 28,27161; ce qui, comparé au quarré du rayon 56ooo, est la même chose que 0,78532 à 1,00000 : l'erreur est -^^^ ou à peu près un 14000*, ce qu'on doit regarder

comme peu considérable , eu égard à la facilité de l'opéralion.

Mais si l'on faisait usage de la remarque de Newton, et qu'on doublât, dans le cas des cinq ordonnées, celle du milieu Ce, que l'on prît ensuite les sommes des ordonnées QR et qr, Hl et hif pour en faire les nouvelles ordonnées Q/, H; de la courbe yfooij il faudrait seule-

ment employer la formule (A'-f- 4B') -g- , ou - (A' + 4^')? puisqu'ici R = 2 : on aurait alors

A' ►f-4B' = 91,835959. Or ce nombre divisé par 5 donnerait 5o,6 1 1 5 i 5 , qui approche considérablement encore de la vraie valeur; car, en retranchant le triangle AEe= i5,8564o6 , et triplant le reste 16,754907, on a pour le rapport du quart du cercle au quarré du rayon , celui de 50,264721 à 64,000000; ce qui est la même chose que celui de o, 785386 à 1,000000. On voit que le premier nombre s'accorde dans ses quatre premiers chiffres, avec le nombre de Ludolph ; les deux derniers chiffres devraient être 98 au lieu de ^6 j de sorte que Terreur n'est que d'un 83ooo^. Il y a donc quelque avantage, comme le remarquait xSewtoTiy à réduire le cas de cinq ordonnées à celui de ti'ois , puisque l'erreur est encore presque in-

jgO HISTOIRE DE LA QUADRATURE

sensible, et que Fopëratioa est considérablement abrégée. C'est pourquoi, afin de faire cette réduction commodément, il faudra substituer, à la formule i(A' + 4B'R, celle-ci:

^^(A' -{- 4R' 4- ^C'jR , en prenant, comme à l'ordinaire, A' pour la somme de la première et la cinquième, B' pour la seconde et la quatrième, et C pour la moyenne; car cette formule équivaudra à îa réduction qu'on vient de faire des cinq ordonnées à trois.

Thomas Simpsoji, un des plus profonds géomètres qui illustrent aujourd'hui l'Angleterre, a donné pour mesurer les aires des courbes, une nouvelle méthode que nous croyons devoir joindre ici aux précédentes'^''^ Il suppose, de même qu'on l'a fait dans l'article ci-dessus, un certain nombre d'ordonnées à égales distances; et, par une opération fort simple, il trouve l'aire de la courbe avec une exactitude qui approche beaucoup de la vérité : cette méthode est fondée sur la considération suivante. Soit la courbe IRGn (fig- 22) , et que

t") Maihematical Dissertations, p. 109.

l'on conçoive les sommets des deux ordonnées FG, ///, joints par une ligne droite; on peut imaginer, dans le petit segment G/7, un segment parabolique inscrit qui aura son sommet en r, et son axe ou diamèlre dans la position rq. Lors donc que les ordonnées équidistantes seront suffisamment voisines, on pourra regarder cet arc paralDolique comme coïncidant avec la courbe proposée. Or, ayant tiré une parallèle à G/ par le sommet ;-, ce segment est égal aux deux tiers du parallélogramme Gri = Yk X ni : l'aire YGrih est donc égale au trapèze FGz/z, plus aux deux tiers de ce petit parallélogramme. Mais ur est la différence de qr a qu^ moyenne arithmétique entre

GF et hi; c'est par conséquent qr

iqr — GF — hi . , ,. ,. ,

OU — , ce qui , étant multiplie par

\Yhf donne \ qh[/^qr — 2GF — 2hi). D'un autre côté le trapèze YGih=.qh[GY -\-hi) ; d'où, en ajoutant ces deux grandeurs et réduisant au même dénominateur, on tirera l'aire.... FGr//z= \qh {hi^ 4^7^' ~H ^F). Par la même méthode, on trouvera Taire.... FGRIH = f QH(Hl4-4QR)-f-GF, et l'aire entière sera la somme hi -|- ^qr -\- 2GF -f-4QR + HI mul-

tipliée par I QH ou -^<y/?. De là il suit que si l'on prend quatre fois les ordonnées deuxième, quatrième, sixième, etc., une fois la première et la dernière, et le double de toutes les autres, qu'on multiplie ensuite ces sommes par le tiers de la distance commune QH , des ordonnées, on arrivera fort près de l'aire de la courbe. Donnons-en un exemple.

Nous reprendrons pour cela les cinq ordonnées du segment de cercle AaeE (Jïg. 24), dont l'abscisse AE est égale au demi-ravon ; l'intervalle BA est l'unité; ainsi l'aire AaeE sera -3- (x\rt + Ee-l-4B(^4-4D^+^C'^)> ce qui, en mettant à la place de ces ordonnées leurs valeurs , deviendra 5o,6i 164^,* d'où l'on tirera, comme on a fait plus haut, le rapport du quart de cercle au quarré du rayon, comme 0,785401 à 1,000000. Or ce rapport ne diffère de 0,785598 que de ^^^ ou un 35oooo^ Je ne crois pas qu'on puisse rien trouver de plus simple, et en même temps de plus approchant de la précision.

Au reste, il est aisé d'apercevoir que cette règle exige nécessairement que le nombre des ordonnées soit impair; mais c'est une sujétion légère qui diminue très peu ses avantages. Il est aussi à propos, afin qu'elle ait son effet

DU CERCLE. ig*

entier, que la courbe soit ou toute convexe, ou toute concave vers son axe, à moins que les ordonnées ne soient extrêmement voisines; autrement il faudrait tirer une ordonnée du point d'inflexion, qui la partagerait en deux segmens , l'un concave , l'autre convexe , vers l'axe, et on les mesurerait à part.

J'ajouterai qu'on pourrait, dans certains cas, rendre cette règle beaucoup plus parfaite , en déterminant quelle espèce de parabole conviendrait le mieux avec le petit segment curviligne. Il faudrait pour cela examiner quel rapport les distances de l'arc Gri a sa tangente en r, prises dans le sens des ordonnées , ont avec les portions correspondantes de l'axe des abscisses. Si celles-là, par exemple , étaient comme les cubes de celles-ci, il est visible que le segment parabolique le plus voisin de celui de la courbe appartiendrait à une parabole dont l'équation estjr^ = a?; alors la règle changerait un peu, ce petit segment étant au parallélogramme circonscrit comme 5 à 4; mais je me contenterai d'indiquer cette addition à l'ingénieuse règle de Simpson, parce que ce n'est pas ici le lieu d'en approfondir davantage la théorie. Les géomètres me comprendront du premier coup, et il faudrait

iq4 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

pour les autres des explications assez lon-

gues ^'\

Je terminerai ce chapitre en donnant une idée de l'ingénieux moyen dont Jean Bernoulli a fait usage pour déterminer des limites de plus eu plus rapprochées du rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. On s'est borné à un court extrait de l'écrit de Beinoulliy parce que la nature du sujet ne permet guère de l'analyser avec plus de détail, sans tomber dans une prolixité que nous cherchons à éviter. Les lecteurs dont nous aurons excité la curiosité pourront consulter les œuvres de ce grand homme (tome IV, p. 98), qui sont ou qui doivent être entre les mains de tous ceux qui aspirent à des connaissances profondes dans la Géométrie et l'Analyse.

La méthode dont nous venons de parler consiste en ceci : qu'on imagine qu'une courbe

t') On a depuis beaucoup étendu et varié les formules de ce genre : pour ne parler que de celles qui se rapportent immédiatement à ce passage , je citerai les mémoires de MM. Krainp et Berard, dans les tomes VJ, VII , YIII et IX des Annales de Mathématiques publiées par M, Gergonne.

DU CtRCLE. ig5

telle qu'un qua^'t de. cercle (dont les tangentes aux deux extrémités se rencontrent l'une l'autre perpendiculairement ) se développe en commençant par une de ses extrémités, et s'étende en ligne droite, cette extrémité décrira une nouvelle courbe qu'on pourra supposer se développer aussi , mais en sens contraire, c'està-dire en commençant par le côté qui a été décrit le dernier; de là su naîtra une troisième que l'on concevra développée de la même manière, et ainsi à rintini. Toutes ces courbes, comme le remarque Bernoulli^ approchent de plus en plus de l'égalité et de la similitude parfaite, et elles ne tardent même pas à être sensiblement égales : on peut encore observer qu'elles deviennent de plus en plus semblables à des cjcloïdes. C'est une conséquence de cette vérité connue, que ces courbes sont les seules à ordonnées parallèles, dont le développement ne fait que les reproduire ^'^

Ayant donc nommé a la première courbe, c'est-à-dire le quart de circonférence dont

^') Cette conse'quence n'est pas si simple qu'elle n'ait besoin d'une preuve immédiate ; elle a été démontrée pour la première fois par Euler {tsavi Comment. Acad. Petrop., t. X, p. 179); ensuite par Lagrange (Manus-

ig6 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

le rayon est l'unité, BernouUi détermine la longueur de toutes les autres par une suite d'expressions fort régulières et fort aisées à continuer pour tel nombre de courbes qu'on voudra. Ces expressions ont de plus cet avantage , d'être extrêmement simples ; car, après les réductions convenables, elles ne renferment que la grandeur a élevée à une puissance dont l'exposant est celui du rang de la courbe en comptant la première , et affectée uniquement de quelques coefTiciens numériques.

Que l'on suppose donc, ajoute Bemoulliy que deux de ces courbes qui se suivent immédiatement soient égales entre elles, et qu'on égale les deux expressions qui les désignent. Comme elles ont cette forme : M^', N<2'"^', il en résultera nécessairement une équation simple entre «, ou le quart de la circonférence, et une fraction numérique qui sera sa valeur; or il est évident que cette valeur approchera d'autant plus de l'exactitude, que la supposition qui l'a donnée s'en écartera moins.

crits déposés à la bibliothèque de l'Institut) ; par M. Legendre {Exercices de calcul intégral, t. Il, p. 540 ; enfin par M. Poisson {Journal de l'École Polj-iechnique, s.yu^ cahier, p. ^Zi).

DU CERCLE. Xgj

Cette considération conduit à déterminer des limites alternativement plus grandes et moindres qu'il ne faut; car en égalant la première et la seconde courbe, on trouve, pour le rapport du quartde cercle au rayon, un nombre qui excède le vrai ; au contraire, la supposition d'égalité entre la seconde et la troisième en donne un trop petit, et ainsi de suite. Au reste, ces limites approchent avec assez de promptitude les unes des autres; en effet, la comparaison de la douzième et de la treizième courbe fournit le rapport de 1,0000000 a 3,i4i5goo, et l'égalité supposée entre la treizième et la quatorzième, celui de 1,0000000 à 3, 141 SgSS;

or ces deux valeurs de la circonférence ,

5,\^i5goo, 3,1415935, sont. Tune trop petite, l'autre trop grande, et coïncident néanmoins jusqu'au sixième chiffre; ainsi elles sont vraies dans les six premiers, comme on le sait d'ailleurs par les approximations si connues de Viète, Ludolphy etc.

ig8 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

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