CHAPITRE V

Histoire des Quadrateurs les plus célèbres.

J'ai donné, dans le cours de cet ouvrage, le nom de quadrateurs à ces hommes qui , pour la plupaï't, à peine initiés dans la Géométrie, entreprennent de quarrer le cercle , ou s'ohstinent à maintenir d'absurdes paralogismes pour une solution légitime de ce problème. Ayant à les nommer souvent, il me fallait un terme nouveau pour éviter les circonlocutions , ou ne pas leur prodiguer le titre de géomètres , qu'ils méritent si peu. J'ai fait usage de la liberté q\i Horace accorde dans une pareille circonstance; le mot de quadrateur m'a paru assez heureux pour mou objet, et je l'ai adopté-

Le même motif qui m'a porté à désigner ces esprits d'une trempe si singulière, par une dénomination nouvelle, m'a conduit à ne parler d'eux que dans un article à part : Hippocrate de Chio et Grégoire de Saint-Vincent méritaient seuls quelque distinction à cet égard.

Aurais-je dû exposer de suite les de'couvertes dont nous nous sommes occupés jusqu'ici , et les ridicules prétentions de tant de quadrateurs anciens et modernes ? Non , sans doute : c'eût été trop honorer ces derniers et faire une espèce d'injure aux auteurs des inventions ingénieuses qu'on a exposées dans les chapitres précédens; les noms d'un ^rc^/wè^e^ d'un TValliSj d'un Newton, figureraient mal à coté de ceux des Brjson , des Oronce Finée , des DelaleUy des Basselirij etc.

Mais, diront sans doute quelques personnes judicieuses, quelle utilité peut- il y avoir à tirer de la poussière ces noms déjà dégradés auprès de la postérité et de leur siècle même, par les erreurs de ceux qui les ont portés ? Je me suis fait cette question plus d'une fois , et plus d'une fois j'ai été sur le point de supprimer cet article entier; cependant, après quelques réflexions, j'ai pensé que l'histoire d'un problème célèbre par tant de tentatives et de chutes honteuses, ne pouvait être complète qu'en faisant connaître du moins quelques-uns de ceux qv^>se sont signalés par ce ridicule; il y a d'ailleurs une sorte de justice à traduire devant la postérité, des hommes qui semblent avoir, de propos délibéré, fermé les yeux à la

grande évidence. Si l'erreur grossière, et presque volontaire, n'était punie que de l'obscurité et de l'oubli, ce châtiment léger serait trop peu capable de retenir les nombreux imitatateurs de ceux dont je parle; ils deviendront peut-être plus circonspects en voyant le mépris et l'espèce de tache qui accompagnent les noms de ceux dont ils suivent les traces. {J^oj. p. 20.)

Il y eut parmi les anciens, comme parmi nous, un grand nombre de ces faibles géomètres, qui se persuadèrent avoir trouvé la quadrature du cercle; j'en ai déjà cité quelques-uns par occasion. La prétendue quadrature de Brjson, qui faisait le cercle moyen proportionnel entre les quarrés inscrit et circonscrit, est une erreur indigne de la Géométrie, soit qu'on l'entende du moyen arithmétique ou du moyen géométrique; car la différence est de près d'un vingt-unième dans le premier cas ; et à l'égard du dernier, on savait déjà de son temps que le moyen géométrique entre ces quarrés était l'octogone inscrit.

C est sans doute de ce nombreux essaim de quadrateurs que parie Arcliimede, dans la pré' face de sa Quadrature de la parabole. On y lit

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que plusieurs avaient déjà tenté de quarrer le cercle et l'ellipse, mais qu'ils n'avaient enfanté que des paralogismes, ou supposé des principes qu'on ne pouvait leur accorder. La ressemblance de notre âge avec celui d^ Archimède est entière; combien de quadratcurs qui commencent à partir de quelque principe directement contraire à la Géométrie ! Nous en avons un aujourd'hui pour qui la partie n'est pas moindre que le tout; pour qui la diagonale et le côté du quarré ne sont pas incommensurables, qui réussit enfin à merveille avec ces principes féconds à quarrer le cercle, non par la méthode des géomètres , mais par le mécanisme en plein des figures; ce sont là ses propres termes : spectatiim admissi risiim teneatis amici. (Hor., Arspoet.y v. 5.)

Je ne dirai rien des siècles d'obscurité qui ont précédé le renouvellement des sciences parmi nous : on a dû trouver souvent la quadrature du cercle dans ces temps où les plus habiles savaient à peine une partie de la Géométrie élémentaire d'Euclide. Je ne m'amuserai pas à y fouiller pour en retirer la précieuse découverte de quelque nom inconnu et

qui mérite de l'être; je passe à un temps sur lequel nous avons plus de lumière.

Le premier qui , à la renaissance des lettres, occupa les géomètres à réfuter ses erreurs, est le fameux cardinal de Cusa; il prétendit avoir réussi à quarrer le cercle par deux voies différentes. Suivant l'une, il faisait rouler sur un plan un cercle ou un cylindre, jusqu'à ce que le point qui l'avait touché au commencement de la révolution retournât s'y appliquer. Cependant il faut lui rendre cette justice, il n'était pas assez maladroit pour prétendre déterminer ce point par un mécanisme si grossier; il cherchait à le faire géométriquement ; mais son opération est tout-à-fait erronnée. Son autre méthode lui donnait cette fausse détermination de la circonférence ; Sil'on a un cercle ^ disait-il, et quoji en décrive un second dont le diamètre soit égal au rajon du premier, augmenté du côté du quarré iîiscrit, le triangle équilatéral inscrit dans ce second cercle , sera isopérimètre auprc' mier. Ce n'est pas même là une approximation; car un calcul très simple fait voir que la circonférence ainsi déterminée s'écarte beaucoup endessous des limites à'y^rchimède, Regiomon-

ta?ius s'y prit de cette manière pour réfuter la prétention de ce cardinal géomètre : ce qu'il fit dans plusieurs lettres écrites en 1464 ou i465, mais imprimées seulement en i555, avec quelques autres oeuvres posthumes de ce savant astronome. Quant à la première quadrature du cardinal de Cusa^ elle fut de nouveau réchauffée au commencement du seizième siècle, par un certain BovilUus de Vermandois, que sa seule obscurité a préservé de la risée des géomètres.

A ces malheureux quadrateui's succéda, vers le milieu du seizième siècle , Oronce Finée. Celui-ci se proposa un objet bien plus vaste qu'aucun mathématicien de ses prédécesseurs ; la quadrature du cercle n'est qu'une petite partie des nombreuses découvertes qui composent son livre, de Rébus mathematicis hactenus desideratis. L'invention des deux moyennes proportionnelles, la trisection de l'angle, l'inscription de tous les polygones d'un nombre impair de côtés, dans le cercle, que sais-je? Rien ne se refusa à ses efforts : il surmonta lui seul toutes les difficultés qui avaient jusque là arrêté les géomètres ; mais l'illusion ne fut pas de Ion-

gue durée. Un de ses disciples, nommé ButeoTiy mathématicien plus judicieux, l'attaqua le premier et démontra ses erreurs. Il fut secondé par un mathématicien portugais, justement célèbre de son temps, savoir, Pierre Nonius {on NugneSj dans sa langue), qui releva les bévues à'Oronce avec plus d'étendue, dans un livre exprès, intitulé De erratis Orontii. Ainsi s'évanouit l'espérance d'une immortalité brillante dont Oronce s'était flatté; et l'ouvrage sur lequel il s'était reposé pour sa réputation fut l'egardé comme une des plus misérables productions qu'on eût vues depuis long-temps.

Au reste, Oronce prétendait, ce qu'il peut être utile à quelqu'un de savoir pour le préserver de la même erreur; il prétendait, dis-je, que la circonférence du cercle était la moindre des deux moyennes proportionnelles entre les contours des quarrés inscrit et circonscrit; mais cette moyenne excède les simples limites àHArchimède y et on le réfuta dès lors en le lui montrant. Depuis ce temps, Hujgens a démontré immédiatement que la circonférence du cercle était toujours moindre que la moindre des deux moyennes, soit arithmétiques, soit géométriques, entre les contours des polygones semblables, inscrit et circonscrit, quels qu'ils soient.

vr.

On vit peu de temps après la chute ôiOroncCy paraître dans la carrière un nouveau prétendant à l'honneur de quarrer le cercle; il se nommait iS/woTz J^an-Ejk{Duch&sne). Celui-ci fut apparemment moins maladroit que les précédens; car Pierre Métius, qui le réfuta, fat obligé pour le faire, de déterminer des limites beaucoup plus resserrées que celles à'Archimède : ce fut là l'occasion de sa découverte du rapport approché de ii3 à ^^S5 , qui convient avec les chiffres de Ludolph, jusqu'au septième inclusivement. La quadrature deDuckesnene résista pas à cette rigoureuse épreuve , et fut universellement reconnue pour fausse.

Parmi ceux qui se sont flattés dans ces derniers temps d'avoir atteint précisément la vraie mesure du cercle, aucun ne l'a fait avec plus de confiance que Joseph Scaliger. Non content de la célébrité dont il jouissait comme profond érudit, il prétendit acquérir le premier rang parmi les mathématiciens. La découverte de la quadrature du cercle lui en parut un moyen assuré ; et il la trouva comme

font tous ceux qui , à peine initiés dans la Géométrie, s'engagent à la rechercher, persuadés qu'elle ne leur échappera pas. 11 exposa sa rare découverte dans le livre intitulé Nova Cjcloinetria^eu i5q2; etl'air d'assurance avec lequel il l'annonça en imposa à bien des gens , qui n'hésitèrent pas à lui ceindre le laurier de géomètre ; mais ceux à qui seuls il appartenait de décider du mérite géométrique en jugèrent bien autrement. Le grand nom de Scaliger demandait de grands adversaires. Viete^ le premier mathématicien de son temps, le réfuta, de même {^Adrianus Romanus , géomètre célèbre des Pays-Bas , et le P. Clavius. Ce dernier surtout le mortifia extrêmement; il fît voir que de la quadrature prétendue de Scaliger ^ il s'ensuivait que la circonférence du dodécagone inscrit était plus grande que celle du cercle qui le renfermait. Il ne se borna pas à cela; les solutions pitoyables de la trisection de l'angle, de l'inscription des polygones, données par Scaliger^ ne furent pas traitées avec plus d'indulgence. Ses paralogismes, sa contradiction perpétuelle avec les principes les plus assurés de la Géométrie, furent mis au grand jour par l'Allemand Clavius^ <ÏU'% pour rendre la critique encore plus amère, releva

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le contraste humiliant des grossières bévues de Scaliger, avec sa confiance et la manière insultante dont il avait traité Euclide et Archimède. Il n'y eut qu'une voix à son sujet, du moins parmi les géomètres. J'ajoute à dessein cette restriction, car je n'ignore pas que tel est regardé comme un grand homme par des gens hors d'état de l'apprécier, qui n'est qu'un objet de mépris pour ceux qui cultivent le même art ou la même science. Nous en avons de nombreux exemples. Quant à Scaligery couronné par ses amis ou quelques ignorans, il fut mis, par ceux qui étaient versés dans la Géométrie , au rang des plus maladroits quadrateurs.

Une histoire aussi détaillée des autres géomètres de cette espèce serait longue , et le peu d'intérêt qu'on doit y prendre ne la rendrait pas supportable : je me borne donc à faire passer brièvement en revue ceux dont il me reste à parler. J'ai regret de trouver ici Longoinontanus. Ce célèbre astronome du commencement du siècle dernier se fît un vrai tort, par la faiblesse qu'il eut de se faire illusion sur la quadrature du cercle. Il voulut que le dia-

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mètre fût à la circonféreuce comme i ooooo à 5i4i85 ^"^5 cela est suffisamment réfuté par les rapports qu'on a donnés ci-dessus , suivant lesquels la circonférence est moindre que 5 141 60 des mêmes parties ; mais LongomoTitaiius mérite quelque indulgence, eu égard aux travaux utiles dont on lui est redevable en Astronomie. A peu près dans le même temps, Jeaji-Baptiste Porta y Napolitain, tenta la voie des lunules pour parvenir à la quadrature du cercle. On trouve bien des puérilités dans son ouvrage, qui aboutit enfin à des paralogismes palpables; et quoiqu'il y eût mille propriétés curieuses des lunules, que des géomètres qui ne songeaient pas à la quadrature du cercle ont aperçues {yojez ci-dessus, p. 40 , la note «), Porta n'en rencontra aucune , mais seulement des erreurs. Tel est ordinairement le procédé de ceux qui s'adonnent à ce problème ; il est hors d'exemple que leur travail ait procuré la moindre découverte géométrique ; j'en excepte le seul Grégoire de Saint-Vincent , dont j'ai parlé avec éloge.

Le fameux Hobbes donnait, il y a près d'un

tOHuygens, De circuit magnitudine inventa, Opéra varia, p. 385.

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siècle, dans un travers semblable; on peut même dire qu'il surpassa en ridicule tous ses prédécesseurs en ce genre ; car non-seulement il crut avoir réussi à quarrer le cercle, et à trouver les deux moyennes proportionnelles, mais on ne vit jamais un pareil acharnement à le soutenir contre TValUSy qui prit la peine de le réfuter par plusieurs écrits. Le dépit qu'il en conçut se tourna contre les géomètres et la Géométrie elle-même. D'abord il en avait admis la méthode et les principes; les contradictions que PT^allis lui opposa le conduisirent peu à peu à s'inscrire en faux contre tous les axiomes, et il en entreprit la réforme entière dans le livre intitulé De ratiociniis et fastit geometrarum. Cette querelle lui fît enfanter une foule d'autres écrits, dont les extraits consignés dans les Transactions philosophiques ^ ne contribueront pas à établir sa réputation dans la postérité.

Je citerais encore un grand nombre d'autres personnages à mettre à côté de ces premiers. Un Olivier de Serres ^ qui trouvait savamment que le cercle était double du triangle équilatéral inscrit; et, ce qui donne une grande idée de ses connaissances en Géométrie , il ignorait que ce double est l'hexa-

gone^'^ Un sieur Delaleu, qui fatigua vers le milieu du siècle passé, les géomètres, par son obstination à maintenir ses paralogismes, contre les réfutations solides et évidentes qu'on j opposa. Un sieur Mallemant de Messcmge ^ célèbre dans les journaux du temps , par ses impertinens systèmes physiques ^"^ Un sveuv Detleve Cluver^''^, qui quari ait métaphjsiquement le cercle, et déquarrait (qu'on me permette ce terme) la parabole, insultant aux géomètres qui avaient été si long-temps les dupes diArchimède. Il ne tint pas à Leibnitz de se donner la comédie et à toute l'Europe, en le mettant aux prises avec Nieuwentjt, qui , dans le même temps, entassait bien des mauvais raisonnemens sur le calcul

CO Ceci n'est pas exact. Dans le S'' cliap. du i" lieu de son Théâtre d' Agriculture, Olivier de Serres dit qu'il a ti'ouve', au moyen de leur poids, que le cercle et le quarre' construit sur le côté du triangle e'quilateral ins crit sont sensiblement égaux ; mais il n'annonce aucune prétention à une découverte, et veut seulement suppléer à des considérations plus élevées qu'il paraît n'avoir pas connues : aussi Montucla, dans la dernière édition de son Hist. des Math., ne l'a-t-il plus mis au nombre des quadrateurs.

C") Journal des S avans, 1679, 80, 81, etc.

(*5 Actes de Leipsic, aun. 1695.

diflerentiel. Mathulon, enfin , condamné il y a environ trente ans, par un tribunal de justice, à la peine qu'il s'était imposée lui-même , si l'on convainquait sa quadrature de fausseté : la perte d'une somme de mille écus fut la punition qu'il essuya pour avoir eu l'ambition de quarrer le cercle, el la témérité de défier pardevant notaires, les géomètres de relever la moindre erreur dans ses raisonnemens.

Parmi cette foule de quadrateurs obstinés à se refuser aux preuves les plus évidentes, Basselin est un des plus récens ; il ne faut qu'avoir jeté les yeux sur son livre, pour juger que c'était un des plus pitoyables et des plus embarrassés. Son prétendu rapport s'accordait à peine jusqu'au quatrième chiffre, avec les limites trouvées par Ludolph; aussi prétendait-il infirmer leur certitude , parce qu'elles sont au-dessous du juste milieu de celles à'Archimède. On lui demandait quelle assurance il avait que la véritable grandeur du cercle ne fut pas au-dessous de ce juste milieu. C'était, répondait-il, sa quadrature; et il se disait assuré qu'elle était exacte, parce qu'elle se rencontrait dans les limites à^ Arclibnede , comme si mille autres rapports aussi faux que le sien ne se rencontraient pas également entre ces limites.

En vain lui faisait-on mille raisonnemens très palpables pour le désabuser, ce pauvre géomètre qui , dans le temps qu'il quarrait le cercle , ignorait qii ^/chimède eût quarré la parabole, est mort dans l'intime persuasion qu'une postérité plus équitable reconnaîtrait quelque jour ce que ses jaloux contemporains lui contestaient; car c'est un faible qui ajoute encore au ridicule des gens de cette espèce, que de se persuader que la jalousie seule des savans et surtout des académies , leur oppose les contradictions qu'ils essuient. Basscliii appréhendait extrêmement les effets de cette jalousie, ou quelque plagiat odieux; il en agit toujours avec les commissaires qu'il avait extorqués , comme un homme qui craint de se voir enlever un secret inestimable; il ne dévoila entièrement sa découverte que dans l'impression, pour s'en assurer la gloire.

J'avais cru d'abord devoir m'imposer la loi de ne point parler des quadrateurs vivans, puisque je ne pouvais avec équité les ranger dans une autre classe que ceux qu'on vient de voir; mais j'ai fait réflexion que puisqu'ils avaient couru le hasard du jugement du pu-

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blic, il m'était permis de les citer devant lui : je me bornerai néanmoins à un petit nombre, c'est-à-dire à ceux que le hasard m'a présentes, ou à qui la singularité de leurs prétentions a donné une sorte de célébrité.

Liger a rempli les Mercures d'écrits concernant la quadrature du cercle, et a fait un ouvrage particulier pour prouver que la partie n'est pas moindre que le tout, qu'il n'y a point d'incommensurables, que la racine quarrée de 24 est la même que celle de 25, et celle de 5o la même que celle de 49 ? etc. Il prouve tout cela, non par des raisonnemens métaphysiques, mais clairement et aux jeux, par le mécanisme en plein des figures ^ pour me servir de l'expression qu'il emploie dans un écrit que j'ai vu de lui. Le sieur Tondu de Nangis est l'auteur de l'insigne découverte de mesurer, non plus les lignes courbes en les comparant aux droites, mais les droites en les comparant aux courbes.

Le sieur ClergetZi redressé les idées des géomètres sur le cercle. On l'avait cru, depuis l'enfance de la Géométrie, une figure plus grande qu'aucun polygone régulier inscriptible, quel que fut le nombre de ses côtés, ou, suivant la Géométrie moderne, un polygone

2l4 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

qui en a une infinité. L'auteur dont nous parlons a trouvé que c'est un polygone d'un certain nombre de côtés déterminé. Fondé apparemment sur de nouvelles découvertes arithmétiques ^ il prétend qu'il y a de la contradiction dans la valeur approchée que les géomètres assignent à la circonférence circulaire; car, dit-il, comment se peut-il faire que les uns l'exprimant par ^-^', d'autres nous disent Qu'elle est ti^i2^!^ et qu'enfin il y en ait qui l'expriment par 20, 5o chifTres, etc. Avec une pareille sagacité , l'auteur pourra contester que la racine quarrée de 2 soit ^ , à moins d'un millième près, parce qu'un autre affectant une exactitude supérieure, aura dit qu'elle était i4'4"3d^ qui en diffère de moins qu'un i 0000000^.

M. C. enfin ne se bornant pas à la découverte de la quadrature du cercle, a trouvé la trisection de l'angle, et surtout, ce qui est admirable, la grandeur du point où se touchent deux sphères inégales. Il démontre aussi, à l'aide des principes féconds dont il est l'inventeur, que la terre ne peut tourner autour de son axe et dans son orbite , sans une absurdité palpable.

Il m'aurait été facile de grossir cette liste , si j'avais donné le moindre soin à rechercher ces

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écrits digues de l'oubli où ils tombent, après avoir quelquefois amusé le public par leur singularité et la confiance de leurs auteurs; mais je croirais avoir à me rendre compte à moimême d'un temps si mal employé, et je craindrais d'encourir le blâme des géomètres, si je leur présentais un plus grand nombre de ces objets, qui ont à peine auprès d'eux le mérite du ridicule.

2l6 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

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