CHAPITRE VI

Addition , contenant Vhistoire de quelques autres problèmes fameux en Géométrie y comme ceux de la duplication du cube ou des deux moyennes proportionnelles y et de la trisection de l'angle.

L'impression de cet ouvrage était fort avancée, lorsque des personnes aux avis desquelles je défère , m'ont conseillé de profiter de l'occasion présente pour traiter historiquement ces deux problèmes , qui le cèdent peu en célébrité à celui de la quadrature du cercle. Je me suis déterminé sans peine à ce nouveau travail, dans la vue de l'utilité qui peut en être le fruit. On ne voit en effet que trop de personnes malheureusement obstinées à la recherche des deux moyennes proportionnelles, ou de la trisection de l'angle, sans avoir jamais examiné et connu la nature de ces questions. Ce chapitre , indépendamment qu'il contient un morceau assez curieux de l'histoire de la Géométrie, ma paru propre à les instruire et à

DU CERCLE. 2 l'a-

ies désabuser; elles y verront qu'elles s'occupent infructueusement à rechercher, ou ce qui est déjà trouvé, ou ce qu'on ne saurait trouver. Je m'explique : ces problèmes sont résolus autant qu'ils peuvent l'être; en ce sens, y travailler, c est chercher ce dont on est déjà en possession ; mais prétendre les résoudre par la règle et le compas seulement, c'est-à-dire par de simples intersections de lignes droites et circulaires, c'est s'obstiner à une recherche vaine et impossible. Cette vérité n'est aujourd'hui sujette à aucune contestation parmi les géomètres, et l'on s'attachera plus bas à la bien prouver. J'entre en matière, et je commence parla duplication du cube ^'^

Il s'agit, dans cette première question, de

tO En 1798, M. Nicolas Théodore Reimer a pubhé sur ce sujet un ouvrage spécial , intitulé Hisloria problemalis de citbi dupplicatione (Gottingue) , dans lequel il a fait une revue exacte des fragniens ([ue les anciens nous ont laissés, fraginens peu connus lorsque Montucla écrivait. La plus grande partie se trouve dans le Commenlaire d'Eutocius sur Archimède, dont Torrelli a laissé une édition bien complète, qui a été imprimée à Oxford en 1797,.

-2l8 HISTOIRE DE LA QUADRATURE

trouver un cube, ou plus généralement un solide quelconque , précisément double ou en raison donnée, avec un solide semblable. Les géoniètres aperçurent bientôt que cela se réduisait à déterminer les deux moyennes proportionnelles continues entre deux lignes données. Hippocrate de Cliio fut, dit-on, l'auteur de cette remarque ; elle suit de celte propriété des progressions géométriques si connue , que le quarré du premier terme est au quarré du second comme le premier au troisième; le cube du premier terme à celui du second comme le premier au quatrième, etc.; c'est-à-dire qu'en général la puissance du premier terme, désignée par l'exposant «, est à la puissance semblable du second, comme le premier terme à celui dont le rang dans la suite est exprimé par n-\' \. Ainsi A étant le coté d'un cube proposé , la première des deux moyennes continues entre A et /TiA, sera le côté d'un cube multiple du premier, comme m l'est de l'unité*-'^. Ce qu'on vient de dire des côtés d'un cube s'applique aux côtés homologues des solides semblables; il suffit, pour le voir, d'être initié dans la Géométrie.

^'^ Puisque dans la progression ^ k\x'.y'. mk , on aura Â^ I .r' ;; A I mk , d'où x^ ^=:.mh} .

Tou'l le monde sait la manière tloiit on raconte l'origine du problème de la duplication du cube : c'est en Géométrie un trait aussi fameux que celui de l'hécatombe immolée par Pjthagore. Si l'on s'est moqué avec justice de ce prétendu sacridce, qui n'est compatible ni avec les facultés d'un philosophe, ni avec les dogmes qu'enseignait celui de Samos*^"^^ on ne doit pas plus d'égards à l'histoire qu'on fait du problème des deux moyennes proportionnelles. Je ne répéterai donc pas ici ce qu'on trouve dans tant d'autres endroits , la fable de cette divinité bizarre, qui demandait un autel précisément double de celui qu'elle avait, et qui fit continuer la peste qui ravageait l'Attique jusqu'à ce qu'on l'eût satisfaite. Eratosthhnes donne à ce problème célèbre une origine moins brillante. Un certain tragique , dit-il , avait introduit sur la scène Minos élevant un monument à Glaiiciis'^'^; ses entrepreneurs lui donnaient cent palmes en tous sens; mais le prince, sur l'inspection de Touvrage, qui ne répondait

W Cicéron, De nalura deoriim, III, 36.

(0 M. Reimer dit que c'est Euripide , et cite la Diairibt de Walckenaer sur les fragnicns de ce poète.

pas à sa magnificence, ordonna qu'on le fît double : de là, ajoute-t-il, quelques-uns prirent sujet de demander aux géomètres comment ils exécuteraient une pareille volonté? Ils tentèrent la question de bien des manières, tâchant de construire un cube double d'un autre, jusqu'au temps d'Hippocrafe^ qui leur enseigna qu'elle se réduisait à l'invention des deux moyennes proportionnelles continues. Dans la suite, l'oracle de Delphes ayant demandé qu'on doublât l'autel du dieu qui y présidait, les entrepreneurs voulant exécuter cet ordre, furent obligés de consulter l'école platonicienne, qui faisait une étude spéciale de la Géométrie. Telle est, suiyaut JE ratosthèjies^la. manière dont le problème de la duplication du cube se présenta la première fois aux géomètres , et dont il leur fut proposé de nouveau, après en avoir été, ce semble, oublié pendant quelque temps ^'^.

CO T^oj. dans les OEuvres morales de Plutarque, Du démon de S ocrât e , De la signification du mot n , et le 8*^ livre des Sjmposiaques ) voy. aussi Vilruve, liv. g, cb. 2. La citation d'Ératosthènes se rapporte à une lettre adressée par ce ge'ouiètre au roi Ptoloniée Évergète ; on la trouve à la page i44 de l'e'dition d'Archimède indiquée plus haut ; elle est suivie d'une épigramme.

Mais quelle que soit roccasioii qui les engagea dans cette recherche, il est certain qu'elle avait acquis une grande célébrité dès le temps àe Platon. Valhre Maxime (liv. VIII, ch. 12}, raconte au reste un trait fabuleux , quand il dit que ce philosophe renvoya à Euclide les députés qu'on lui avait adressés , comme au plus habile géomètre de la Grèce; comment cela pourrait-il se soutenir, puisqu'il est certain q\i Euclide le géomètre ne florissail qu'un demisiècle après PlatoUj et que le philosophe de Mégare , qui porta le même nom , ne s'occupait que de sophismes? Quelques-uns ont soupçonné qu'il fallait lire Eudoxe; il est, je crois, plus sûr de traiter toute l'histoire de fable.

L^école platonicienne fournit plusieurs solutions du problème de la duplication du cube. Platon en donna d'abord une fort simple , et qui n'emploie que les moyens de la Géométrie élémentaire ; il est vrai qu'elle exige un tâtonnement, et l'usage de quelque instrument autre que la règle et le compas, ce qui n'est point admis dans la rigueur géométrique. Ce défaut que le chef des géomètres ne chercha pas à

éviter, nous donne lieu de penser qu'il n'eut eu vue que la facilité de l'exécution, et qu'il sacrifia à cet avantage réel une délicatesse superflue. Voici en substance le procédé de Platon. Si Ion a deux triangles, comme iVCD , CDE (Jig.iS), rectangles l'un en C, l'autre en D, et dont les hjpothénuses AD et CE soient perpendiculaires l'une à l'autre , les lignes AB, BC , BD, BE sont en proportion continue. Ayant donc d.sposé à angle droit les deux extrêmes donnés AB, BE, il s'agit de tirer des points A, E, les parallèles AC, ED, jusqu'aux prolongemens de AB, CB, et de faire qu'en même temps les deux angles en C et D soient droits. Pour exécuter cela avec plus de facilité, Platon imagina un instrument composé d'une base FG {Jig- sS'*') , et de deux coulisses FH, GI, perpendiculaire, dans lesquelles glissait une règle mobile KL, qui par là restait toujours parallèle à la base. Cet instrument servait h trouver à la fois les points C , D : pour cet eiTet, on écartait de la base la règle mobile, et l'on faisait en sorte que, les points A, E étant dans ces deux parallèles, les lignes ABD , EBC passassent par les angles de ces parallèles avec l'une des coulisses latérales. Par ce moyen, les angles C, D étaient droits , et en même temps

nu CF.r.cLr. 2.t:)

les Jignes AC, ED parallèles, ce qui résolvait le problème ^'\ Quelques-uns variant la construction de Platon, se servirent de deux cquerres mobiles, ACD, CDE, qu'on disposait de manière que le point A étant dans le côté AC, et les lignes BC, BD passant par les angles C etD des équerres, le côté DE rencontrât le point E. Ce dernier procédé a fourni à un analjste du seizième siècle (^Raphaël Bombellï), l'idée de construire par une voie semblable toutes les équations des troisième et quatrième degrés, ce qu'il exécute fort ingénieusement^*^.

La solution donnée par Platon a , conime on voit, le défaut de ne pouvoir être avouée par la Géométrie; elle est, à la vérité, commode dans l'exécution, mais elle blesse la rigueur dont cette science se fait gloire. Archjtas en donna une autre, qui a un défaut tout-àfait contraire; celle-ci est uniquement intellectuelle; d'ailleurs, elle est fort satisfaisante pour l'esprit, et peut faire concevoir une idée

CO Voy, Arcliimedis Opéra, Oxonise, l'jga, p. i35, et I'Addition à la page 228 du présent ouvrage. (') Voyez son Algèbre.

avantageuse du génie de son inventeur. Afin d'abréger, je me contenterai de l'indiquer. ^rchj tas imagine, sur la surface d'un cylindre droit, une ligne courbe décrite par l'intersection continuelle de cette surface, avec la circonférence d'un demi-cercle qui se meut d'une certaine manière; ensuite il fait rencontrer cette ligne courbe par une surface conique , ce qui donne un point d'où dépend la solution du problème. Au reste, comme je l'ai déjà dit, quelque ingénieux que soit ce procédé, il est tout pour l'esprit , la pratique n'en saurait tirer aucun secours.

Ceux qui connaissent peu J'ancienne Géométrie se persuadent ordinairement que la vraie solution de ce problème est d'une date moderne , et que Descartes en a le premier dévoilé le principe. 11 est vrai qu'il l'a beaucoup perfectionnée, mais les anciens l'avaient déjà ébauchée dès le temps de Platon. Nous avons deux solutions d'un géomètre contemporain et disciple de ce philosophe, qui emploient les sections coniques : dans lune, ce sont deux paraboles; dans l'autre, une hyperbole entre les asymptotes combinée avec une parabole. Ce

géomètre est Ménechme , frère de Dinostrate, à qui un vers de rëpigranimc ^Erastothènes semble attribuer l'invention des sections coniques : ses deux solutions sont trop remarquables pour ne les pas rapporter ici; je les exposerai, en suivant la méthode analytique dont il se servit apparemment pour y parvenir.

Je suppose que les extrêmes données soient A et D, et les deux moyennes cherchées B et C : le quarré de B sera donc égal au rectangle A X C, à cause de la proportion continue qui règne entre A, B, C- par conséquent la ligne B sera l'ordonnée d'une parabole, dont A est le paramètre etC l'abscisse. Soit donc décrite avec ce paramètre et sur l'axe AC indéterminé, une parabole ABZ? (Jlg. 26) ; les lignes B et C seront quelques-unes des coordonnées BC,AC, ou hcj Ac, ou etc. ; mais B, C et D étant continuement proportionnelles, le quarré de G doit être égal pu rectangle B X D, ou l'abscisse AC cherchée de la yjremière parabole doit être telle, que son quarré soit égal au rectangle de B(^, par la seconde des extrêmes données. AC étant donc encore considérée comme abscisse, BC sera l'ordonnée d'une parabole extérieure ABé^ , dont la propriété est, comme on sait, d'avoir les quarrés de ses abscisses constamment ég^aux

aux rectangles de ses ordonnées par une ligne constante; au reste, cette parabole extérieure n'est que la parabole ordinaire décrite sur un axe AD, perpendiculaire au premier. Ainsi l'intersection de ces deux paraboles donnera la solution désirée, puisque par ce moyeu, BC, comme ordonnée de la première parabole AB^, sera telle que A : BC :: BG *. AC, et qu'en vertu de la seconde ÂB^, on a BC ou AD : BD :: BD ou AC : D ; d'où il est manifeste que A, BC, AG et D sont en proportion continue.

Une analyse facile conduit de même à la seconde solution de Ménechme; car, puisque les quatre lignes A, B, G, D sont en proportion, le rectangle B X G est égal au rectangle constant et donné A X D. Les lignes cherchées B, G sont donc les coordonnées d'une hyperbole ODl {fig. 27), entre ses asymptotes, et où les rectangles, comme CIAB, cia^, sont tous égaux enlre eux et au rectangle A X D. Or, à cause de la proportion continue, le quarré de B est égal au rectangle C X A ; d'où il suit que B est l'ordonnée d'une parabole dont le paramètre est A , et l'abscisse C. Ayant donc pris BA pour axe , on voit qu'en décrivant la parabole BD, dont le paramètre est A, elle coupera l'hyperbole à l'endroit cherché D, qui don-

nera les deux moyennes ED, BE. En effet, à cause de la parabole, A : ED :: ED ; BE, et ces mêmes lignes ED, BE, appartenant à l'hyperbole, donnent ED X BE = Ax D, c'est-à-dire A t ED :: BE : D; d'où se conclut aisément la proportion continue.

Quoique j'aie donne des éloges à ces deux solutions, je n'ignore cependant pas qu'elles ont un défaut assez considérable, défaut qui n'a pas ecbappé aux anciens même. Il consiste en ce qu'elles emploient deux sections coniques, tandis qu'une seule combinée avec un cercle pouvait suffire. C'est en quoi \cs, Descartes ^ les Sliise j etc., ont beaucoup perfectionne la méthode des lieux géométriques. Les anciens employaient ordinairement les premiers qui se présentaient, et ce n'étaient pas toujours les plus simples; les modernes ont enseigné à choisir les plus commodes ; mais cela doit peu diminuer le mérite de l'auteur de cette ingénieuse invention ; aurait-on droit d'attendre qu'il lui eût donné tout à coup la perfection dont elle était susceptible? La Géométrie ancienne nous en fournit d'autres exemples où il n'y a rien de pareil à redire.

Eudoxe de Cnide fui un des géomètres contemporains de Platon y qui travaillèrent, à la duplication du cube ; il ne reste plus de traces de sa solution, grâces à la mauvaise humeur d'Eiitocins ^"^^ qui la déprime fort et nous la représente comme pitoyable. Cependant on en pensera bien autrement, si l'on a quelque égard au témoignage d^Eratosthenes ^^^, qui en parle avec autant d'éloge qu Eidocius afiecte de mépris pour elle ; et le jugement de ce philosophe et géomètre célèbre doit l'emporter sur celui du commentateur dUArchimèdey venu près de dix siècles après Eudoxe, et qui n'a peut-être vu qu'un manuscrit altéré. Cet endroit ô'Erafosthèiies nous apprend que le géomètre de Cnide avait imaginé certaines courbes particulières pour la résolution de ce problème , et que ces courbes étaient différentes des sections coniques, puisqu'il parle plus haut de ces dernières au sujet de Méneclime. Les courbes inventées par Eudoxe avaient proba-

C'') Comm. in Archimed. de sphœr'a et cjlindro, ArcJiimed. Opéra, p. i35.

C*) Ibidem, p. i44-

blement de la ressemblance avec celles que le même motif a fait imaginer à divers ge'omètres , tels que le père Griemberger ^"^^ Pienaldini^^^j qui nomme les siennes Mediceœy comme si une maison illustre avait à tirer quelque nouvel e'clat d'une courbe géométrique; Barrow, qui fort sagement ne donne aucun nom aux siennes ^'^, etc.

Le problème des deux moyennes proportionnelles continua d'être un sujet sur lequel s'exercèrent les plus habiles géomètres. EratostheneSy dont nous avons parlé si souvent, le résolut par une voie nouvelle, et qu'il est aisé d'appliquer à trouver tant de moyennes proportionnelles qu'on voudra : il n'y emploie que des lignes droites; aussi est-il obligé de recourir à un instrument autre que la règle et le compas. Celui qu'il propose est composé de plusieurs planchettes mobiles, qui coulent les unes sur les autres parallèlement à elles-mêmes : je ne le décris pas, afin d'abréger; on peut le

C'') Villalpandi, descriplio templi Salomonis. W De resolutione etcomjj. malhem., tom. III. ^'^ Lectiones geometrîcœ , p. i3i.

23o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

voir dans Eutocius ou dans Pappus ^"^ Ératosihenes écrivit sur cela un petit traité intitulé Mesolahium, qu'il adressa au roi Ftoloméej et qu Eutocius nous a conservé, de même que les vers par lesquels il célébra son invention. Ces vers cependant ne la préservèrent pas des railleries de Isicomède : celui-ci s'en moquait comme d'une chose qui n'était ni bien subtile ni bien conforme à l'esprit de la Géométrie; mais il y a un peu trop de rigueur dans cette critique. La solution (ÏEmtosthèjies^ quoique mécanique, ne laisse pas d'être assez ingénieuse.

Après ces solutions viennent celles à'^épolloniuSy ôiHéron d'Alexandrie et de Philon de Byzance; je les joins ensemble , parce qu'elles ne sont proprement que la même, variée au gré de ces géomètres. Suivant l'un d'eux, après avoir fait, des deux lignes données AC, CB, le rectangle AB {fi§. 28), et partagé la diagonale AB en deux également en R, il faut décrire de ce point un arc de cercle GIF, tel que la ligne GF menée par les intersections G, F de ce

^'^^ Archimed. Opéra, -ç. i44; Collectioncs mathem , lib. m, p. 8. Voyez I'Additio.x à la page 223

DQ CERCLE. 2^1

cercle avec les côtes CA , CB prolonges , passe [)ar l'angle D; alors les lignes BF, AG sont les mojennes que l'on cherche. Cette construction revient à décrire sur la ligne AB un demi-cercle, et à tirer FDG, de sorte que les segmens FE, DG soient égaux : on peut satisfaire en tâtonnant à ces conditions; et ainsi le faisait Philon de Bjzance, et JpoUoniiis même, au rapport à'Eiitocius, Ce commentateur dUArchimede attribue à Héron d'Alexandrie une solution rigoureusement ge'ométrique, au moyen de l'hyperbole décrite par le point D, entre les asymptotes CA , CB , et dont l'intersection avec le demi-cercle ADB déterminait ie point E, par lequel il fallait mener îa ligne FDG. Cette solution, il faut le remarquer, est une des plus simples et des plus élégantes; mais on doit en faire honneur à Apollonius. Fn pensant ainsi, je me fonde sur le témoignage de Prt/;pz^^^ qui dit qu'^jyo/ZoTi»/^ résolut le problème par les sections coniques, et qui attribue à Héron la solution qnEutocius donne a Apollonius'^''^ : l'ouvrage d'Héron sur les machines de guerre confirme le rapport de Pappus ^'\

t") Collect. mathem., 1. III, p, g.

t') M, Reimer, p. iiS de l'ouvrage cité plus haut,

De toutes les solutions anciennes du problème de la duplication du cube , celle de Nicomède est une des plus ingénieuses^"-'. Par une analyse très subtile , ce géomètre réduisit la question à celle d'insérer, dans un angle comme àï)b {Jig. 2C)j, une ligne droite de grandeur donnée, qui, étant prolongée, passe par un point P; et comme cela ne se peut exécuter généralement par la Géométrie plane, il imagina.

(p. 21'j) réfute l'opinion de Montucla , et pense qu'il faut s'en rapporter à Euîoci'us sur le véritable auteur de cette solution. Voyez I'Addition à la page 2?,3.

t"*) Nicomede était un géomètre dont l'âge paraît devoir être fixé vers le second siècle avant J.-C. ; car on sait d'abord qu'il était postérieur à Eralosthcnes, qui fleurit dans le cours du troisième , puisque , suivant Eutocius, il se moquait de sa solution. D'un autre côté, Proclus {Comment, in Euclid., lib. 3, prop. g, prob. 4) nous assure qu'il fut l'inventeur des conchoïdes, sur lesquelles Geminiis , contemporain ou peu postérieur à Hipparque , écrivit au long dans ses Enarraliones Geometricœ que nous n'avons plus : ces deux circonstances fixent l'âge du géomètre dont nous parlons , entre Evatosthenes et Hipparque, à peu près vers l'an i8o avant l'ère chrétienne.

pour y suppléer, sa conchoïde, avec un instrument propre à la décrire par un mouvement continu. La propriété de cette ligne aAa est telle, que hBb étant son axe, toutes les lignes AB, abj abj tirées des points de la courbe vers le pôle P, sont égales entre elles. La figure 5o représente l'instrument dont voici la construc-^ tion : BP et BC sont deux règles assemblées à angle droit ; le pôle P est marqué par une pointe fixe qui passe dans une rainure faite à la règle mobile ab : a et b sont deux pointes immobiles sur cette règle : la première décrit la courbe demandée, lorsque la seconde parcourt la rainure de la règle fixe BC. On voit facilement que cette courbe est propre , par sa génération, à satisfaire au problème auquel Nicomède rappelait celui des deux moyennes proportionnelles ; car, soit un angle àDb {Jîg. 29), où il s'agit d'insérer la ligne ab, donnée de grandeur et de sorte qu'étant prolongée, elle passe par le point P : qu'on décrive sur l'axe Z'DBZ», une conchoïde dont le pôle soit P; son intersection avec le côté Da donnera évidemment le point a d'oi^i doit être tirée la ligne ab vers le point P.

Cette construction préliminaire étant supposée, voici comment Nicomède résolvait le

problème des deux moyennes proportionnelles. Il faisait d'abord un rectangle des lignes données AC, CB {Jig. 28), et il les divisait chacune en deux également aux points I, L ; il menait ensuite la ligne DÎÏI, et ayant élevé la perpendiculaire LK, lelle que BK fût égale à CI, il tirait KH, et sa parallèle BS : c'était dans l'angle FBS qu'il fallait adapter la ligne SF égale à CI et passant par K, ce qui déterminait le point F de sorte qu'en tirant FDG, les lignes BF, AG étaient les moyennes cherchées. A l'égard de la démonstration , il donnait la suivante. J'ai cru devoir la rapporter ici , parce qu'elle est assez composée pour ne pas se présenter facilement, même à des géomètres habiles. La ligne BC, disait-il, étant partagée en deux également au point L, donne le rectangle BF X CF, plus le quarré de LB égal au quarré de LF : ajoutant donc de part et d'autre le quarré de LK, on a CF X BF-|-LB' -{-LK% ou CFx BF-f-BK^=LF»H-LK'=:KF*; mais GA : AC :: BC ; BF ; donc GA : - AC ou AI :: 2BC ou BH : BF. Conséquemment, en composant , GI : AI :: HF : BF :: KF : SF,

d'où il suit que GI est égal à KF, puisque AI est égal à SF. Maintenant GP=CGxGA-|-AI%donc CGxGA4-AI»=CFxBF-|-BK% parce

qu'on a montré plus haut que ces derniers rectangles e'taient égaux à KF" : donc, ôtant ce qu'ils ont de commun, savoir. Aï* et BK'', égaux par la construction, il restera CGx GA =CFxBF,- d'où l'on tire la proportion CGlCF :: BF : GA. Or CG : CF :: DB ou AC : BF ; donc AC:BF::BF:GA; mais AC:BF:;GA

: AD; par conséquent, ces quatre lignes sont en proportion continue.

Cette démonstration fait voir la raison du procédé ^ Apollonius , d^Héron et de Philon; ils avaient réduit le problème à taire en sorte que CGxGA fût égal à CF X BF : or, en décrivant un cercle ADBC , le premier de ces rectangles est égal à GExGD, et le second à FD X FE ; il fallait donc que ces derniers fussent égaux, ce qui arrive quand GD et EF sont égales , et ce que demandaient en effet Philon et Héron d'Alexandrie. L'autre construction, attribuée à Apollonius, suit assez visiblement de celle-ci, pour me dispenser d'une explication.

La solution de Nicomede a l'avantage de réduire précisément à la même difficulté l'invention des deux moyennes proportionnelles et ia trisection de l'angle; il est fort vraisemblable que ce fut l'objet qu'il se proposa, ou

le hasard le servit bien heureusement. Quoi qu'il en soit, comme l'on a montré depuis que toutes les équations des troisième et quatrième degrés se réduisent à ces deux problèmes, on voit déjà que la conchoïde peut servir à les construire avec la plus grande facilité. Viète en avait fait la remarque ( Opéra, p. 240) j mais personne n'en a tiré meilleur parti que Newton. Cet illustre géomètre a donné pour chaque forme d'équation du troisième degré, la position du pôle, et la grandeur de l'angle et de la ligne à j insérer. D'un avis différent de Descartes, dont il discute les motifs de préférence pour les sections coniques, il établit que la conchoïde est la courbe la plus commode pour construire les équations solides. Les raisons que Ncivtoii en apporte dans son Arithme'tique wiwerselle [j^ppend. sur la constructiojilinéaire des équations), méritent d'être considérées.

Il ne reste presque plus à parler que de la solution de Diodes ^"^y celle-ci est encore une des

t") Diodes est un géomètre dont l'âge n'est point connu. Je conjecture néanmoins qu'il vivait plus tard que Pappus, qui est du quatrième siècle ; et je me

plus remarquables. A l'imitation de Nicomède^ ce géomètre imagina une couibe particulière, savoir, celle que nous appelons aujourd hui la cissoïde^ nom qui, pour le remarquer en passant, parait avoir été commun à une classe entière de courbes chez les géomètres anciens.

PappiiSy que je crois antérieur à Diodes, avait réduit le problème des deux moyennes proportionnelles à la construction suivante. Ayant disposé à angle droit les lignes données DC, CL , [fig. 5 1), il décrivait du point C comme centre le demi-cercle ABD; après quoi il s'agissait de trouver sur le prolongement de DL, un point G, tel que, menant la ligne AGH, les segmens GO, OH fussent égaux; la ligne CO était la première des moyennes cherchées : en voici la démonstration, qui nous donnera en même temps la propriété principale de la cissoïde.

Les lignes GO, OH étant égales, il est évident que CF, CK le seront aussi, et par consé-

fonde sur le silence de cet écrivain, qui ne dit rien de sa solution donnée par le premier, quoiqu'il emploie le même principe. Eiitocius, qui vivait vers l'an 5^o , cite Diodes et son livre De pj'riis, des machines à feu; ce qui donne lieu de croire qu'il élait ingénieur.

quént KH et FE; or AK : KH ou FE :: AF: FG:

et d'un autre côté, à cause des triangles semblables HKD, AKH, AGF, on a KH : KD, ou EF : AF :: AF : FG. Donc FE, AF, FG sont en

proportion, continue; par conséquent les quatre ligues AK ou DF, FE, AF, FG sont continuement proportionnelles , et FE est la première des deux moyennes entre AK ou DF et FGj mais comme c'est entre CD, CL qu'on cherche les moyennes proportionnelles , et que ces deux lignes sont en même raison que DF, FG, il s'ensuit qu'ayant trouvé la première des moyennes entre ces dernières , il n'y aura plus qu'une simple proportion à faire pour déterminer la moyenne qui convient h CD, savoir, comme DF à FE, ou AK à KH, ainsi CD ou AC à CO : par conséquent CO est la première des moyennes cherchées.

On voit donc que dans toutes les différentes positions de ïa ligne DLG ou de la ligne AGH, le point G, q\ii résout le problème, est tellement situé, que GO=OH. De là Diodes prit occasion de décrire la courbe où se trouvent tous ces poinis, au liea de les chercher par tâtonnement. Alors la première propriété de cette courbe est, qu'ayant tiré une ordonnée quelconque FG, les lignes DF, FE, AF, FGsont

DU CKRCLE. j3q

en proportion continue. II est aisé d'en faire l'application au problème des deux moyennes proportionnelles; car ayant mis les extrêmes à angles droits comme ci-dessus, décrit le cercle ABD, et la cissoïde A^GB, la ligne DL prolongée la rencontre en G, d'où tirant AGH, qui coupe CB en 0, la ligne CO est la première des moyennes cherchées, l^a construction de Sponis diffère si peu de celles de Pappus et de Diodes j qu'on a lieu de s'étonner c\nEuto-dus ait pris la peine de la développer au long; elle ne méritait pas ce détail.

Je ne dois pas omettre une remarque qui relève beaucoup la solution de Diociès; c'est qu'on peut décrire sa cissoïde par un mouv^ement continu. JSewton en a donné le moyen, et il ne faut pour cela qu'une simple équerre. Ayant pris pour pôle le point P tel quePC=rAD, qu'on ait une équerre dont le petit cùté soit égal à AD, et l'autre indéfini; si on la fait mouvoir de manière que ce dernier côté étant appliqué au point P, l'extrémité du petit côtéR coule le long de l'axe ou règle CR, le point s qui le partage en deux églement, décrira la cissoïde. (^Arithmét. univers., Appendice sur la construct. linéaire des équations.)

24o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

Le problème de la trisection de l'angle est de la même nature que le précèdent; son affinité avec lui m'engage à exposer d'abord les solutions qu'il reçut dans l'antiquité; je viendrai ensuite aux recherches que l'un et l'autre ont occasionées parmi les modernes.

Les premiers moyens qui se présentent pour parvenir à la trisection de l'angle sont les suivans; et ils sont si naturels, qu'il est à présumer qu'ils ne furent pas long-temps ignorés des anciens. Si BAC {fig. 32) est l'angle proposé, après avoir abaissé la perpendiculaire BC , formé le parallélogramme CG et prolongé CA indéfiniment, il s'agit de tirer la ligne BDE de telle manière que la partie DE soit égale à deux fois la diagonale AB; alors l'angle DEA est le tiers de BAC. Pour le voir, il suffit de prendre le milieu 0 de la ligne DE et de tirer AO; le triangle AOE est isocèle ainsi que BAO ■ par conséquent l'angle OEA est la moitié de l'angle ABD, et la somme de ces deux derniers étant égale à BAC, celui-ci est triple de DEA. Il était encore aisé de remarquer que, si d'un point C du demi-cercle ACD {Jig. 53), on tire CDE, de sorte que la partie DE, inter-

DU CKBOLE. 2.11

ceptée entre la circonférence et le diamètre proloDgé, soit égale au rayon, on aura encore l'angle DEF égal au tiers de ABC.

On s'obstina sans doute long-temps à chercher la solution de l'un et de l'autre de ces problèmes par la Géométrie élémentaire, avant que de s apercevoir qu'ils étaient d'une difficulté supérieure aux moyens que fournit cette Géométrie. Après un grand nombre de tentatives infructueuses, ou qui n'avaient produit que des paralogismes, on se tourna enfin du côté des sections coniques et de diverses autres courbes. Pappus nous rapporte la manière ingénieuse dont quelques géomètres employèrent l'hyperbole pour résoudre le premier d*e ces problèmes auxquels on avait réduit celui de la trisection ^"^ Je vais l'exposer, au moyen de l'analyse qui servit à la trouver.

Que DE {fig. 32) soit la ligne cherchée, et que l'on achève le parallélogramme GDEF; on voit d'abord que EC : CB :: i;G : GD ou EF; conséquemment EC X EF = AC x AG ; d'où il suit que le point F est dans une hyperbole entre les asymptotes CE, CH , et passant par le point G; mais DL est donnée de grandeur, par con-

'-•') Collect. mathem., \. 4, prop. 3i, 3?..

séquent aussi son égale GF ; ce qui fait voir que le point F est aussi dans la circonférence d'un cercle dont G est le centre et GF le rajon : il est donc dans l'intersection commune de l'hyperbole et du cercle , ce qui le rend aisé à déterminer, puisqu'il n'y a qu'à décrire une hyperbole par le point G, entre les asymptotes CE, CH, et, du point G comme centre, avec un rayon GF égal à 2AB, décrire un cercle; le point où ces deux courbes se couperont sera tel, qu'abaissant l'ordonnée FE, on aura le point E qu'on cherche et la position de la ligne DE.

On peut exécuter la même chose par le moyen de la conchoïde; car il est évident que celle qu'on décrira en prenant pour pôle le point B , avec les ordonnées convergentes à ce pôle, et de la longueur qu'on demande, coupera la ligne CE au point cherché ; ainsi cette courbe sert également à résoudre le problème de la trisection et celui des deux moyennes proportionnelles.

A l'égard de la seconde construction que représente la figure 53 , on y satisfera aussi aisément en employant une conchoïde, non pas à la vérité celle dont on vient de parler, que les anciens nommaient la pie/nièrc; mais la

seconde, qui se décrit au-dessous de l'axe , au lieu que l'autre est décrite au-dessus. Il est à propos de remarquer ici qu'oM ne doit point regarder ces deux conchoïdes comme des courbes différentes; elles sont les deux branches de la même courbe : c'est ainsi que les hyperboles opposées forment ensemble l'hyperbole entière, avec cette différence , que ces dernières s'éloignent de plus en plus de leur axe commun , au lieu que les branches de la conchoïde s'en approchent de plus en plus.

Les anciens donnèrent une autre solution du problème de la trisection de l'angle, où ils employèrent l'hyperbole d'une manière différente de celle qu'on a fait connaître un peu plus haut; c'est encore Pappus qui la rapporte ^"^ : elle est si élégante qu'elle mérite qu'on en fasse mention. C'est une suite de cette belle propriété de l'hyperbole décrite entre des asymptotes faisant un angle de 120°, savoir : que prenant sur son axe une abscisse BA {Jîg. 54), égale à la moitié de l'axe transverse DB, et tirant de ce point A et de l'autre extrémité D

t") Collect. mathéni. , 1. 4> pi'op. 34-

a44 HISTOIRE DE LA (^)UADRATURE

de l'axe, deux lignes à un point quelcouque E, l'angle EAD est toujours double de EDA; par conséquent, si l'on décrit sur la ligne DA un arc quelconque de cercle, la partie AE en sera le tiers. Il est aisé de faire l'application de ceci à partager en trois également un augle ou un arc quelconque; il n'y aura qu'à décrire, sur la ligne DA , l'arc DEA qui mesure l'angle donné DCA ; alors ECA en sera le tiers.

Il j a ici une parlicuîarité digne d'être observée , c'est que non-seulement la même hyperbole retranche l'arc AS , égal au tiers de l'arc ASD qui reste quand on a oté de la circonférence entière l'arc AED , mais que l'hyperbole opposée coupe le même arc dans un point e tel, que l'arc ASe est le tiers de la circonférence entière augmentée du petit arc AED. Les anciens ne paraissent pas avoir fait cette dernière remarque; elle aurait pu les étonner, A l'égard des modernes, ils n'y trouveront aucun sujet de surprise; ils savent que le problème conduit nécessairement à une construction qui doit donner trois valeurs différentes à la corde cherchée.

Plusieurs courbes que les anciens considéré-

l'eut, semblent avoir été imaginées dans la vue de servir à ce problème, du moins envisagé d'une manière plus générale : telles sont la quadratrice et la spirale, dont la première n'a pas une date moins reculée que le temps de Platon. En effet, Dinostrate, son invenfeur, était un des géomètres de l'école platonicienne. On sait que cette courbe est formée par Tintersection continuelle F {fig. 34*) d'un rayon CE qui se meut d'un mouvement angulaire, et qui parcourt le quart de cercle AEB , tandis qu'une ligne GF, toujours parallèle à elle-même, partant dun même teime, se meut de manière qu'on ait AG : AC :: AE : AB; ainsi le mouvement angulaire de ce raj on est toujours mesuré par une ligne droite, ce qui fait qu'il est toujours facile de le diviser, non-seulement en parties égales, mais encore suivant un rapport quelconque donné , fùt-il irrationnel : il ne faudra pour cet effet que diviser la droite AC de la même manière, ensuite tirer les rayons par les points de la quadratrice qui répondent aux points de division sur cet axe AC. La spirale ordinaire a évidemment la même propriété ; c'est aussi une suite de sa génération. Toutes les courbes enlin qui sont décrites par une combinaison de mouvemens rectilignes et

circulaires, courbes dont la Géométrie moderne présente un grand nombre, jouissent du même avantage ; mais il est à remarquer que ces courbes ne résolvent le problème que par une espèce de pétition de principe : il faut les supposer entièrement décrites; et pour les décrire en entier, il faudrait avoir ou la quadrature indéfinie du cercle, ou la solution du problème général de diviser un angle en raison quelconque ; par conséquent , les solutions qu'elles donnent ne sont que des spéculations, dont la pratique ne peut tirer tout au plus que des moyens d'approcher de la vérité.

Les deux problèmes dont on vient de tracer l'histoire chez les anciens n'ont pas moins occupé les modernes. Plusieurs de ces derniers se sont en effet exercés à en trouver de nouvelles solutions , dans le goût de celles qu'on vient de voir, c'est-à-dire dont les unes consistent dans quelque mécanisme commode et facile, les autres dans l'emploi de quelque courbe particulière. Viète en a proposé quelques-unes de la première espèce*^"-', et après lu:

C"*) Suppl. Geom. Vnriorum de rébus moth. respons., 1. 8, c. 5 , Opéra , p. -x^o

DU CERCLK. 247

HiiYgeîis en a donné un assez grand nombre dans un ouvrage qu'il publia, fort jeune (en 1654) ^"^ Fhnani a construit ces problèmes de diverses manières élégantes et nouvelles , dans plusieurs ouvrages ^*\ Le P. Grîemberger a imaginé quelques courbes particulières pour servir à la résolution du problème des deux moyennes proportionnelles ^'^ en quoi il a été imité par Renaldini^^^ et Barrow^'^. Comme la plupart de ces inventions, quoique belles et ingénieuses dans la théorie, n'ont pas une utilité bien marquée , ou me conduiraient trop loin si j'entreprenais de les expliquer, je me contenterai de les avoir citées, afin de passer à ce que mon sujet me présente de plus intéressant.

Le P. Ce<^a a proposé un compas de trisection^-^, qui est fondé sur ceci. Soit l'angle BAD [Jig. 35), et que les côtés AB, AD, BC, DC, de

t*") JlluAtriuni quorumd. pvoblevi. conslrucliones , Opéra varia , p. 388.

W Divin, in Aristœuni, Solulio, j^robl. D. Comiers.

^'^ Tewpîi Salom. dcscriplio Thomœ ï'illalpnndi.

C'^) De resol. ctcontp. Mr.lhetn. , t. HT.

^O Leclioncs Geom. , p. i3i.

^^^ j4ct. Erud. , ann. 1695, p. 290,

même que CF, CE, soient tous égaux entre eux y l'angle FCE sera triple de BAD, et si l'on continuait cette progression de lignes e'gales, on aurait des angles quintuples , sextuples du premier : ainsi la construction de ce compas consiste en deux longues branches FA, AE mobiles, auxquelles sont attaches, par des charnières, les petits côtes BC, DC, assemblés aussi au point C, par une charnière commune aux côtes CE , CF , dont les extrémités E et F peuvent glisser en même temps sur les règles AB et AD. Dans le même recueil , on a revendiqué pour Tchirnauseriy un instrument semblable au précédent.

Quoique les anciens paraissent avoir résolu ces deux problèmes autant qu ils peuvent l'être, puisque, ne pouvant les construire que par des courbes d'un genre supérieur au cercle, ils y ont employé les sections coniques , la conchoïde, etc., de diverses manières très ingénieuses , cependant on peut dire que ce n'est qu'à l'Analyse moderne qu'est due leur solution complète. Ce sont en effet seulement les lumières qu'elle nous fournit, qui nous mettent en état de faire voir qu'ils sont d'une

nature à ne pouvoir être gfiiiéraiemeiit résolus par la Géométrie élémentaire, ce qui était un point nécessaire à démontrer avant de cesser SCS efforts pour j parvenir par cette voie ; mais l'anal jse moderne lève tout doute à cet égard. D'ailleurs , ce que les anciens ont donné sur ce sujet, comparé aux inventions des géomètres du dernier siècle , n'est qu'un faible jour à coté d'une grande lumière. Nous sommes aujourd'hui en possession d'une méthode par laquelle on peut trouver d'une infinité de manières la solution de ces problèmes, et de tous les autres de même espèce.

Avant que d'aller plus loin, il est essentiel de démontrer ce que nous avons annoncé dans tant d'endroits, je veux dire l'impossibilité de construire généralement ces problèmes, sans employer de courbe plus composée que le cercle. Je vais donc tâcher de le faire avec toute la clarté dont un pareil sujet e.^t susceptible, afin que personne ne soit plus tenté d'en rechercher la solution par des voies qui ne sauraient y conduire.

Cette impossibilité est fondée sur la théorie des équations et la nature des courbes géométriques; ainsi je suis obligé d'en rappeler quelques points en faveur de ceux à qui elles ne

25o HISTOIRE DE LA QUADRATURE

seraient pas assez présentes. Le premier est que, dans toute équation, la quantité inconnue doit être représentée par autant de valeurs différentes qu'il y a d'unités dans l'exposant de sa plus haute puissance ; à la vérité, il peut arriver que quelques-unes de ces valeurs soient imaginaires; mais on examinera ce cas, et on fera voir qu'il ne nuit point aux conséquences qu'on tire dans les autres.

Le second principe est qu'une équation ne se peut construire géométriquement, c'est-àdire par un procédé certain et qui n'est sujet à aucun tâtonnement, qu'à l'aide de deux lignes qui se puissent couper en autant de points que le degré de l'équation comprend d unités ; en voici la raison. Construire une équation, c'est assigner par une opération générale la valeur de l'inconnue qu'elle renferme ; conséquemment lorsque cette inconnue aura plusieurs valeurs, il faudra une construction capable de les exprimer toutes également; car cette construction ne se rapporte pas plutôt à l'une qu'à l'autre, puisque les données sont les mêmes à leur égard, et que ce sont les données seules qui peuvent modifier la construction. Il faut donc que les lignes dont l'intersection doit résoudre le problème, puissent s'entrecouper en

DU CERCLK. 201

autant de points qu'il admet de solutions différentes.

Ce qu'on vient de dire est d'une évidence suffisante, lorsque l'cquation proposée a toutes ses racines réelles; mais peut-être ne trouvera-l-on pas la chose aussi claire dans le cas où l'équation aura des racines imaginaires. Comme il y a alors quelques valeurs de moins à déterminer, il semblera qu'il n'est pas nécessaire d'employer des courbes capables de se couper en autant de points que s'il n'y avait aucune racine impossible.

Ce doute n'est pas destitué de fondement; il se dissipera néanmoins quand on connaîtra quelle est la nature et l'emploi des valeurs imaginaires dans les équations : ces valeurs ne deviennent telles, que parce que certaines données du problème , croissant ou diminuant selon les circonstances, de réelles et inégales qu'elles étaient d'abord , sont devenues égales, deux points d'intersections se confondant ensemble, et formant un point de contact; et qu'enfin ce point de contact disparait lui-même, l'une des courbes ne touchant ni ne coupant plus l'autre dans cet endroit, de sorte qu'il ny a plus d'ordonnée. Cela montre que ces racines imaginaires sont tout autre chose qu'un mcrum

nihilj et qu'elles ont une sorte d'existence, en ce qu'elles désignent des intersections que des limitations particulières ont rendues impossibles : toutes les fois donc qu'il j en aura de cette espèce dans une e'quation , il n'en faudra pas moins des courbes qui puissent s'entrecouper en autant de points que si toutes les racines étaient réelles, afin que toutes les intersections qui auront lieu exprimant ces dernières , celles qui viennent à manquer désignent les imaginaires.

Après l'exposition de ces principes, il est aisé de montrer qu'il est impossible de construire généralement les problèmes de la trisection de l'angle et des deux moyennes proportionnelles, par des lignes simples, comme la droite et la circulaire. Il est en effet visible que l'équation qui convient au premier est nécessairement du troisième degré, puisque c'est le cube de la ligne cherchée, qui égale un parallélépipède donné, et cette équation, qui est x^ = a'bia et h désignant les deux extrêmes) , sera toujours irréductible, à moins que b ne soit un tel multiple de a , que le nombre qui exprime ce multiple soit un cube parfait , parce qu'alors l'extraction de la racine cubique réussira .

DU C1:;UCLE. ^55

A l'égard du second problème , il est pareillement nécessaire qu'il soit du troisième degré ; et nous allons en convaincre par les remarques suivantes. Quand on propose de partager un arc AE (Jlg. 56) en trois également, c'est la même question que si l'on demandait d'inscrire dans un segment dont AE est la corde, un quadrilatère tel que ABCD, dont les trois cotés AB, BD, DE Soient égaux. Or ce problème est de telle nature qu'il est susceptible de trois cas qui conduisent absolument à la même équation; car toutes les données et la manière de les employer sont les mêmes dans chacun de ces cas* En effet, on voit d'abord que la même corde AE répond à deux arcs différens, l'un moindre que la demi-circonférence, et l'autre plus grand; le premier est représenté dans la figure 56, et le second dans la figure Sy. Ce n'est pas tout : es {Jig- 58; étant la corde donnée, on peut, en partant du point ci, et passant sur le point i pour revenir à ce dernier, trouver trois arcs égaux a^é", Q'C,à' et 6 en. La somme de ces arcs est évidemment égale à la circonférence entière au cimentée de l'arc donné ai.', leurs cordes ctQ, é'cT, Se étant égales, formeront encore avec la corde a=, une sorte de quadrilatère a^cTs ayant trois côtés égaux. En

mettant successivement en équation chacun de ces trois cas du problème , on doit aboutir à la même expression. Comme je ne connais aucun livre qui démontre cette vérité, je crois qu'il est à propos de le faire ici avec quelque détail , afin de ne laisser aucun doute à ce sujet. Je pourrais sans doute m'en dispenser, si je n'écrivais que pour les géomètres habiles; mais il est des endroits dans cet ouvrage qui sont particulièrement destinés à l'instruction des plus médiocres.

Dans le premier cas {fig. 56), les triangles ABC, BAF sont semblables, puisque l'angle B est commun, et que l'angle C a pour mesure l'arc AB, tiers de ABE, tandis que l'angle A est appuyé sur les deux tiers du même arc, et a son sommet à la circonférence ; ainsi CA : AB :: AB: BF. Ayant donc fait le rayon AC = r, AE=Z', et A F ou AB = ^, nous aurons. . .

/•*. X :: x : — = BF; ensuite tirant DL parallèle à BC , on aura CD : DB :: DG ou BF : LG, à cause des triangles semblables CDB, DLG;

c'est pourquoi r '. x '.'. — '.— =. LG ; or. . . . AE=AF + LF+EL=AB4-DB+EG— LG,

d'où Ton tire b=:'5x — ^~,ce qui donne le-

quation J?^ — 5/"JC-f-'"'^ = 0.

Qu'il s'agisse à présent d'inscrire un pareil quadrilatère dans le grand segment ahde (Jig- Sy); on aura de même les triangles semblables abc^

bafy de sorte que — sera encore ici la valeur

de bf'y de plus, en tirant dl parallèle à bf^ on aura les triangles cdb^ dlg èquiangles; ce qui

donnera cd : db ;: ds '. Iq' , ou r'.x'.l — : — : ainsi Ig ■=:'—; enfin, ae^=:aJ-\-jl — el:=.aj

-\-fl — lg'\-egf c'est-à-dire b=ix ^-\-x,

d'où il résultera , comme ci-dessus , .r^ — or^x -f- r^b •=. o.

Le troisième cas nous fournira la même équation, par une analyse tout-à-fait semblable, pourvu que nous fassions ici attention que la ligne AF (y/g-. 56) ou af {jig. Sy), ayant été nommée x quand elle tombait au-dedans du cercle, on devra la nommer — x lorsqu'il faudra la prendre au dehors, vers le côté opposé ; or c'est ce qui arrive dans la figure 58 , quand on prolonge les droites ae et ^z jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en (p. Après cette ob-

servation dont la nécessité est évidente pour tous ceux qui sont un peu versés dans l'analyse, on remarquera que les triangles ct^x, Ca<p sont semblables , comme l'étaient leurs analogues dans les figures précédentes ; ainsi . . .

/• : — jc :: — -jc:—, qui est ]a valeur de é'cp; et

ayant tiré, comme on a fait ci-devant, cTA parallèle à C(p, on aura (p?^=^Cj'=ëa, = — x; par conséquent et?, sera — 2X : de plus , prolongeant cti et S'z jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, on formera les triangles semblables et égaux ;;; tS", y.ë(p qui donneront ; ê = a(p= — jc ; enfin à cause des triangles semblables ■/.J'Cy ^yy, on aura Ç,x \ CJ" '.: J^A ou €(p lyÀ , c'est-

à-dire , / : — x :: — : — — = T'A;

mais.

«£= -vA — -^/ê — ciA, ou l}= \- 3JC , d'où

nous déduirons, pour la troisième fois,. . . . œ^ — 5/''x-f-/'''Z'==:o.

Si l'on proposait d'inscrire un semblable quadrilatère dans le petit segment , la réponse serait aisée. Il est -s isible , du premier coup d'œiî, que cela est impossible , à moins que ce quadrilatère ne soit confondu avec AE (Jig. 36), ou supposé en être infiniment voisin, ce qui donnerait, par la plus simple analyse, .rr^Z»; ainsi

ce dernier cas ne conduit point à la même équation que les prccëdens; et, par cette raison, l'équation qui convient au problème de la trisection de l'angle est du troisième degré et ne le passe pas.

Qu'on se rappelle maintenant les principes qu'on a établis plus haut; il est aisé d'en faire l'application aux problèmes dont nous venons d'examiner la nature. Puisque nous avons démontré qu'ils conduisent nécessairement à des équations du troisième degré , il est évident qu'on ne peut les construire en n'y employant que des courbes capables de donner moins de trois points d'intersection. Ceux qui tâchent de combiner des cercles et des lignes droites pour parvenir à cette solution, perdent infructueusement leur temps et leurs veilles.

On peut donner à cette démonstration un tour qui la rendra encore plus propre à convaincre l'esprit , de l'impossibilité de ce qui est demandé. Supposons que quelque voie particulière eût conduit à construire généralement le problème de la trisection de l'angle par la seule Géométrie élémentaire ; comme il est d'ailleurs démontré qu'il dépend d'une équation irréductible où la corde cherchée a trois valeurs inégales , on aurait la construction de

cette équation , et par conséquent la même opération résoudrait de la même manière trois problèmes dont les solutions doivent être différentes. La Géométrie serait donc ici en défaut, ce qui est absurde; une science fondée sur des raisonnemens dont la liaison est évidente et sur des principes certains , ne saurait jamais conduire à l'erreur.

On objectera peut-être qu'il ne laisse pas que d'y avoir des cas où l'on réussit par la Géométrie élémentaire , à diviser un arc en trois parties égales; tels sont ceux où l'on propose le cercle entier ou quelqu'une de ses parties aliquotes pairement paires. Cette observation, quoique vraie, ne détruit cependant pas ce que nous venons de dire; il y a en effet quelques cas particuliers où la corde b a une telle valeur que l'équation peut être abaissée en la divisant par une de ses racines; mais cette équation considérée généralement n'en est pas moins irréductible. C'est ainsi que la racine de la formule «■* — a:^ ne peut être exprimée en termes finis, quoiqu'il soit possible quelquefois d'en extraire la racine exactement, lorsque a et x ont des valeurs tellement combinées qu'elle représente un quarré parfait.

DU CEKCLE. 259

Descartes a donné le premier des règles générales pour construire les équations solides par une combinaison du cercle et des sections coniques ^^^, et il les a appliquées à la résolution des problèmes des deux moyennes proportionnelles et de la trisection de l'angle : la manière dont il procède est très simple et mérite d'avoir place ici. Dans le cas des moyennes proportionnelles , les extrêmes étant a et bj il décrit une parabole ayant a pour paramètre , et prend sur l'axe une abscisse AC {Jîg. 3g) égale à -i a, après quoi il élève une perpendiculaire CD égale a -\b ; le cercle décrit du point D comme centre, et passant par le sommet de lu parabole, la coupe dans un autre point F, dont l'ordonnée EF est la première des moyennes cherchées, et l'abscisse AE qui lui répond est la seconde.

S'il s'agit de diviser un arc en trois également, que r soit le rayon, b la corde de l'arc proposé , Descartes trace une parabole ayant /■ pour paramètre; puis prenant sur Taxe une abscisse Ac égale à 2r, il élève la perpen-

. C") Geom. , lib. 3.

diculaire cd égale à \ b; le cercle décrit du point d comme centre , et passant par le sommet de la parabole , la coupe en trois autres points G, gj y, dont les trois ordonnées sont les trois valeurs de la corde cherchée , savoir : GK la plus petite, la corde du tiers du petit arc; gk la moyenne, celle de ce qui reste du cercle entier; et enfin yx, la plus grande, qui égale les deux autres prises ensemble , est celle du tiers de la circonférence, augmentée du petit arc.

Les géomètres qui ont succédé à Descartes , marchant sur ses traces, ont beaucoup ajouté a ses inventions. Sluse est un des principaux : on lui doit d'avoir fait connaître le véritable principe de la construction des équations par les lieux géométriques, et d'avoir enseigné à les varier de plusieurs manières, en employant telle courbe qu'on voudra , combinée avec telle autre. C'est là l'objet du savant ouvrage qu'il publia en i654? où il résout le problème de la duplication du cube d'une infinité de façons ^"^ : cet ouvrage était écrit suivant le stjle des anciens géomètres; et, à leur imitation,

C") Mesolabitm, seii duœ medice proj)ortionales inler extremas datas per circulum et perinjiiiilas hjperbolas vel ellipses et per rpmm libet cxhibitœ. Leodii , i654-

DU ceucle. 261

son auteur cachait la méthode qui l'avait conduit aux découvertes qu'il y exposait; il la dévoila seulement en 1668, suivant la promesse qu'il en avait donnée dans la préface du traité dont on vient de parler ^"^ Je me livrerais volontiers à expliquer cette méthode , si je ne craignais d'être trop long; je me contenterai de renvoyer aux auteurs sans nombre qui l'ont expliquée. TVolf surtout l'a exposée avec beaucoup de précision et de netteté dans son cours de Mathématiques^*^; il serait à désirer, et pour l'avantage de ceux qui cherchent à s'initier dans ces sciences, et pour la réputation de son auteur, que toutes les parties de ce cours répondissent à celle-là.

Je ne puis mieux terminer le récit des travaux des géomètres sur les deux célèbres problèmes qui nous ont occupé dans ce chapitre, qu'en exposant quelques-unes des belles solutions que Newton en a données ^'^'. J'ai déjà

t") Mesolahuni iind cimi adjiinctù Mîscel. <^*) Elem. Maiheseos , t. I, analjs., ciiap.7 et 8. ^"5 Arith, univers, appcndix de conslructione equa-lionum.

202 , HISTOIRE DE LA. QL'ADRATURt

dit ailleurs qu'il avait fait voir, contre le sentiment de Descartes y que ce n'était pas le degré de composition des équations des courbes, mais uniquement le degré de facilité à les décrire, qui devait déterminer à faire usage des unes plutôt que des autres. Suivant ce principe. Newton emploie la conchoïde à trouver les deux moyennes proportionnelles et la trisection de l'angle , et il le fait avec une élégance fort supérieure à celle des solutions du géomètre ancien, du moins dans le cas du premier de ces problèmes ; je vais mettre le lecteur en état d'en juger. Les deux extrêmes données étant a, h, il prend (^g. 4^) KA=:fl!, et après l'avoir partagée en deux également en C, il décrit du centre K, avec un rayon KC un cercle CX, dans lequel il inscrit CX=/>; alors si l'on insère dans l'angle EXY, la ligne EY tendant au point K et égale à |rt, les quatre lignes KA , XY, KE, CX seront en proportion continue.

A l'égard de la trisection de l'angle, la corde de l'arc proposé étant CX [fi^. 4 ' )' ^* ^^ ^^ diamètre, il suffit de prolonger indéfiniment AX, et d'adapter dans l'angle EXC, la ligne EY = CA, et tendant au centre R; l'arc XV sera le tiers clierché. Cette dernière constrnc-

tlon revient, à la vérité, à celle de ]\ icomède; mais elle est une suite de la règle générale que Newton a établie plus haut pour la construction de tous les problèmes de cet ordre : la première est également neuve et recommandable par sa simplicité. Newtori en donne un grand nombre d'autres dans le même ouvrage , auquel je renvoie. Ce livre, quoique élémentaire, doit être entre les mains de tous les géomètres, comme étant marqué , ainsi que toutes les autres productions de ce grand homme, au coin de son génie, et d'ailleurs contenant des recherches et des questions qui ne sont pas au-dessous des plus habiles eu Géométrie.

11 y eut dans l'antiquité, comme à présent, un grand nombre de prétendues solutions de ces deux problèmes , données par la Géométrie élémentaire; Pappus nous le dit d'une manière expresse, et le commencement de son troisième livre des Collections mathématiques est employé à réfuter une de ces solutions ^"^ Les autres tentatives de cette espèce ont eu le sort

t") Coll. inaihiv. prœf., liv. 3.

qu'elles méritaient, et ne nous sont pas parvenues. Depuis le renouvellement des sciences parmi nous, les fausses duplications du cube ou trisections de l'angle sont presque aussi communes que les prétendues quadratures du cercle; et même rien n'est plus ordinaire que de voir ceux qui se vantent d'être en possession du dernier problème, annoncer en même temps les deux autres. Oronce Fhiéej Joseph Scaligery Delaleu , Clerget ^ Liger, etc., en sont des exemples. Je pourrais aisément former un article assez étendu de leurs malheureuses tentatives; mais les mêmes raisons qui m'ont fait terminer le chapitre précédent, malgré l'abondante matière qui se présentait encore pour le grossir, me font mettre fin à celui-ci. S'il est certaines erreurs qui méritent l'attention des philosophes, il n'en est assurément pas ainsi de celles de ces pygmées en Géométrie : elles ne sont dignes que de l'oubli qui les dérobe à la connaissance des géomètres.