FIN

VW»V\*VVVWVV\VWW\VV\VWVVV»VVVX»*V\V»*lvWW*kV\WNHWWtW\\.V\WWV\'V*V\*WVV\»W

Addition à la page 38.

Si l'on décrit sur une ligne AB {Jlg- 42) , comme diamètre, une demi-circonférence ACB ; que l'on élève, parle centre D, la perpendiculaire DC; que l'on tire ensuite la corde AC, et que , sur cette corde, on décrive la demi-circonférence AEC , l'espace AECFA , appelé lunule , sera équivalent au ti'iangle rectangle ADC.

En eft'et , les aires des demi-cercles ACB et AEC , étant entre elles comme les quarrés de leurs diamètres AB et AC, seront entre elles comme i est à 2, puisque AC est le côté du quarré inscrit dans le cercle dont AB est le diamètre. Il résulte de là que le demi-cercle AEC est égal au quart de cercle ACD , moitié du demicercle ACB. Mais si l'on retranche en même temps du demi-cercle AEC et du quart de cercle ACD, le segment AFC, il restera d'une part la lunule AECFA , et de l'autre le triangle rectangle ADC , qui seront par conséquent équivalens.

Ce qui précède est la traduction d'un passage de Simplicius. (Voyez Simplicii philosophi perspicassimi, clarissima commenlaria in octo libros Aristotelis de phjsico-auditu nuper quant emendalissimis exemplarihus , etc. Venetiis, i566, page 17.) Cet auteur parle d'après l'histoire de la Géométrie écrite par Eudcmus^

qui n'est point parvenue jusqu'à nous; el il est le seul qui nous ait transmis la de'couverle d'Ilippocrate de Chic. Le paragraphe V de Montucla est aussi un extrait de Siinplicius.

Avec le temps , la proposition précédente a cliangé de forme. Bornée d'abord, dans la paraphrase de Maurolycus sur Archimède (page 36), dans Tarlaglia {Dei numeri et délie misiire, t. III, fol. iG), dans Wallis {Opéra, t. \", p. i33), comme dans Simplicius, à la lunule décrite sur le quart de cercle , on l'a étendue à deux luiiules ineVales , mais embrassant la demi-circonférence, comme on va le voii'. Soit ACB {fig- 4^) un triangle rectangle quelconque inscrit dans le demicercle AFGB , et que sur les côtés AG et BC, on ait décrit les demi-cercles AEC , CHB , la somme des lunules AECFA, CHBGC , sera équivalente au triangle ACB; car le demi-cercle AFGE, ayant pour diamètre l'hypoténuse du triangle rectangle , est égal à ia somme des demi-cercles AEC, ClIB, construits sur les côtés de ce triangle : si donc on retranche de part et d'autre les segmens AFC, CGB, il restera d'un côté les lunules AECFA, CHBGC, et de l'autre le triangle rectangle ACB , qui sera équivalent à leur somme ; mais on ne peut pas assigner dans ce triangle l'espace c[ui répond à chaque lunule en particulier, lorsqu'elles sont

inégales.

Cramer, dans le mémoire cité en note à la page 43) présente la proposition primitive sous une forme assez remarquable. Ayant décrit le cerle entier ACBE ( fig. 44) 5 *^ construit le cjuarré inscrit dans ce cercle, et décrit sur chacun de ses côtés comme diamètre, lui

demi-cercle. Il forme ainsi quatre lunules F, G, II, I, équivalentes aux quatre triangles clans lescjuels le quarre' inscrit est partagé par ses diagonales AB et CE ; les quatre lunules prises ensemble sont donc équivalentes à ce quarré. {Mém. de l'Acad, de Berlin, 1 74^» p. 485.)

C'est dans le même lieu de son ouvrage que Siniplicius parle des quadratures absolues proposées par liippocrate de Cliio et par Antiphon. Il regarde celle-ci comme fausse ; mais il pourrait l'avoir mal comprise, ainsi que l'a remarqué Montucla(p. 44)- Quant à liippocrate, il a été jugé irrévocablement, savoir, par Aristote. Ethic. ad Eudemimi, lib. 7, c. i4 ; De sophist. e.lencli., lib. i, c. 10 ; Arcliiined. Opéra, de sphœra et cjlindro, lib. 2.

En raisonnant sur la difficulté de la cjuadrature du cercle , Simplicius rapporte des considérations assez singulières, d'après lesquelles son précepteur Ammonius prétendait prouver l'impossibilité de comparer le cercle avec une ligne droite. Ces considérations sont peut-être la source de l'opinion singulière que Montucla attribue à Viète (p. 54) , et que Descartes partageait (p. 27, en note). Voici le passage :

Ciim hœ magnitudines, recta el circJimferenlia, si/it génère dissimiles , et nil inirura ait {Ammonius) , si non inveniatiir reclilinea figura circiilo œqualis : si quidem etiarn in ipsis angiilis hoc eliarn invenimus . Nam neque augulo semi circuli, neque ei , qui l'eliquus est ad rectum , qui instar cornu est, angulus rectilineut cequalis invenietur; idcirco, inquit , forsitan hoc theorenia à tam inrljlis 7n'ris quœsitum hacicnus i m'en i ri

non potuit, neque ah ipso Archiniede. ( Simplicius ^

Suivent encore d'autres raisons fort singulières; mais, pour nous en tenir au passage rapporté ci-dessus, on voit qu'Animonius prenait pour une objection très forte , l'impossibilité de trouver aucun rapport entre l'angle de contingence et l'angle rectiligne ; car ce qu'il appelle l'angle du demi-cercle, est l'angle mixtiligne représenté par BAC {Jîg. ^5), tandis que DAC, le reste de l'angle droit DAB , après qu'on en a retranché BAC , est l'angle en forme de corne. Ce dernier est précisément l'angle de contingence , sur lequel on a élevé une longue dispute qui ne consistait que dans les mots. Tous les géomètres s'accordent à reconnaître que , puisqu'aucune ligne droite ne saurait passer entre le cercle et sa tangente dans le voisinage du point de contact, on doit dire que l'angle de contingence est moindre que tout angle rectiligne, si l'on n'entend par le mot angle que l'inclinaison de la courbe par rapport à sa tangente , dans le même lieu ; mais il n'en est plus ainsi dès qu'on s'écarte de plus en plus du point de contact. Cependant cette circonstance ne paraît contenir en elle-même aucune incompatibilité avec l'évaluation rigoureuse des arcs de courbes , puisqu'elle n'a pas moins lieu dans les courbes rectifiables que dans toutes les autres. (Voyez Vietœ Opéra, p. 386, et TVallis Opéra, t. 2, p. 6o5.) Nous reviendrons sur ce sujet dans I'Additioîv à la page no.

ADDITIONS. 26g

Addition à la page 58.

Montucla passe immédia tement de l'approximation donne'e par Archimède à celle que Métius a trouvée; mais il y a eu , dans l'intervalle , quelques déterminations qu'il peut être convenable de rappeler. Dès qu'on s'est occupé de calculer des tables tri^jonométriques , on est tombé sur des cordes, des sinus, des tangentes appartenant à de petits arcs auxquels sont sensiblement égales ces lignes , qui peuvent être considérées comme appartenant aussi à des polygones d'un grand nombre de côtés. C'est ainsi que, dans le second siècle de notre ère, l'astronome Ptolémée {Almagesie, liv. i", ch.q) entreprit de calculer une table des cordes ; il déter-

mina celle de l'arc de y de degré, qu'il trouva égale à

Trr. n ^^ rayon , ce qui revient a — ^ ,

ODoo 21D000 ^ 216000

En multipliant ce nombre par 240 , qui marque combien de fois l'arc proposé est contenu dans la demicirconférence , on trouvera le rapport de 225 à 707, ce qui revient à celui de i à 3, 1422, un peu plus exact que celui de 7 à 22 équivalent à 3,1428. La valeur assignée par Ptolémée à la corde de l'arc de | de degré , revenant à 0,0130926, n'est pas fort exacte; rigoureusement calculée, elle est de 0,0130898, et en la multipliant par 240, on trouve 3,i4i552, résultat vrai jusqu'à la 4^ décimale. Mais cette détermination n'était pas le but de l'astronome , qui ne poussait ses calculs que jusqu'où l'exigeait l'exactitude des observations fort imparfaites alors.

ayo • AbDlTJONS.

L'astronomie indienne nous fournit aussi le rapport de i?,5o à 3927, qui revient à i '. 3,i4i6, et ne diffère de ! ! 3, 14159 que d'un 100000*" d'unité : il est par conséquent beaucoup plus précis que celui d'Archimède. On le trouve à la page 217 du tome II de la traduction anglaise de \ Ajeen-Akherj, par Gladwin , édition de 1800. Si l'on s'en rapportait aux idées des partisans de la haute antiquité des sciences dans l'Inde, il faudrait le regarder comme bien antérieur, non pas seulement à celai de Ptolémée, mais à celui d'Arcliimède.

Lorsqu'au renouvellement des sciences, dans le quinzième siècle , on sentit la nécessité de tables trigonométriques très étendues , Rhéticus , astronome allemand, calcula, vers i474 ) ^'^'^ tables de sinus et de cosinus de dix en dix secondes, et pour un rayon de I 00000 00000 00000 , ce qui répond à i5 décimales. Si l'on compare le sinus d'un très petit arc à la tangente correspondante , et qu'on se borne aux chiffres qui sotit communs aux deux nombres , ces mêmes chiffres appartiennent à l'arc. Si l'on paxt du sinus de i o" égal à 4 8481 3 68092 , et qu'on le multiplie par 64800 , nombre de fois que l'arc de 10" est contenu dans 180°, on trouve 3, i4i59 26523 61600 , qui est exact jusqu'à la 8*^ décimale. Il ne paraît pas que Rhéticus ait tiré cette conséquence de ses tables; on sait seulement que Puvbach supposait le rapport du diamètre à la circonférence égal à celui de 120 à 377, peu difféi'ent de i à 3,i4'6 (Delambre, Hist. de V Astr. du moyen âge, p. 282). Il faut observer d'ailleurs que les tables de Rhéticus n'ont été publiées qu'en 161 3.

d'après les conecLions faites dans le seizième siècle par Pitiscus, sous le titre de Thésaurus Mathematicus , sive canon sitinurn ad radium i ooooo oooooooooo, et ad dena quœque scrupula secunda quadrantis. Francofur ti, i6i3.

Suffisant pour la pratique, dans beaucoup de cas, le rapport trouvé par Arcliimèdc paraît avoir été' très employé par les anciens, qui l'ont appliqué à la mesure des corps ronds. Dans le second volume du Voyage pittoresque de la Grèce, par Choiseul-GoufFier, il est parlé d'une inscription grecque trouvée dans les ruines de Pergame, qui contient les rapports du cube au cylindre et à la sphère inscrits , savoir, les nombres 42, 33, 22. Delambre , consulté par Clioiseul-Goufïier , paraît étonné de ces résultats , qui néanmoins se présentent tout de suite , au moyen du rapport 7 à 22, donné par Archimècle. En effet, en prenant pour unité le rayon du cercle , les volumes des trois corps proposés sont

22 zi 22 exprimés respectivement par 8, 2. — , - . — , ou par

1 1 22 2, — , — 5 , ou enfin par 42, 33, 22.

Les surfaces sont : 24, 4- ^ ^' — > 4- — ' ^^

r. 22 II 22 / -o

o , j , — , encore 42 , 00 , 22 .

Dans la surface du cylindre sont comprises ses deux bases. Cette remarque est attribuée à un nommé ISikon, inconnu jusqu'à la découverte de l'inscription , que M. ideler a corrigée. (^Correspondance astronomique de M. de Zacli, t. XI U, p. 376, ann. 1825.)

Addition à la page 77.

On peut vf»''ier beaucoup les constructions du genre de celles qui son indiquées à l'endroit cité , comme on le voit dans les Instîtuliones geometriœ subli~ ■niioris de M. Krafft; mais la construction trouvée par Kochansky, due peut-être à un pur hasard , est remarquable par son exactitude autant que par sa simplicité, et suffit bien à la pratique ; cependant, comme elle n'offre qu'une approximation limitée, elle ne satisfait pas autant l'esprit qu'un procédé susceptible , au moins intellectuellement, d'une approximation indéfinie. C'est le caractère qu'offre le suivant, tiré des OEui>res posthumes de Descartes {voyez p. 44^ ^^ tome XI de l'édition donnée par M. Cousin).

« Pour quarrer le cercle, dit-il , je ne trouve rien de « meilleur que d'ajouter au quarré donné bf{Jîg. 46), « le rectangle cg compris entre les lignes ac , cb , « et égal à la quatrième partie du quarré bf; puis le « rectangle dh , compris entre les lignes da, dc^ et «< égal à la quatrième partie du rectangle précédent; « puis de la même manière le rectangle ei , et ainsi de « suite à l'infini. ...... rectangles qui tous , pris en-

« semble , équivaudront au tiers du quarré bf.

« ac est le diamètre du cercle inscrit dans l'octogone « isopérimètre au quarré bf; ad, le diamètre du cercle « inscrit dans le polygone régulier de seize côtés, iso- « périmètre au même carré bf; ae le diamètre du « cercle inscrit dans le polygone de 82 côtés, et

« ainsi à l'infini. » Cette construction donne une suite infinie d'approximations pour le rayon du cercle dont la circonfe'rence est e'gale au pe'rimètre du quarré bf. On voit d'abord que si l'on fait ab ■= i , tous les rectangles formeront la progression par quotient (ou ge'omëtrique)

11,1 I f I I II

Pour construire le rectangle rg- e'gal au quart du quarré bf, il suffit d'observer que ce rectangle ayant l'un des angles de sa base supérieure sur la diagonale ah, il en résulte que bg^:=ac = ab -^bc, d'où bcr=zbg—ab, et par conséquent

rgX.Vc^bg {bg -ab)=.l bf= a aby.

En effet, si l'on prend sur les côtés de l'angle droit baf, les distances «B et aC égales à ^ ab, que du point C comme centre avec le rayon C« , on décrive le cercle D«G, et que l'on tire BG, on aura

BGXBD = ^'', ou BG(BG— DG) = ('aZ»)";

or DG = ab : donc BG = bg, et sera la hauteur du rectangle cherché , ou la distance ac.

Pour le second rectangle, dh = i cg=-^bf=z {\ aby, on a chz=zad^=ac -\-cd=.bg-\-cd, d'où dh = chx.cd = ch{ch — bg) = {{aby-, la dernière égalité se construira en prenant aB'=\ab, aCz=-^bg, et B'G' sera la hauteur ch.

En général , si z désigne la hauteur d'un rectangle

quelconque de cette ope'ration , z la hauteur du sui- Aant, et que r^ soit le côté du quarré équivalent à ce dernier, on sura

Z{Z —Z)~C\ ou ^'=:|z-{- V/-;-Z^-}-C^

Je ne m'arrêterai pas ici à démontrer comment cette expression satisfait à la question proposée , parce qu'elle va se présenter d'une manière très simple , par le procédé qu'a donné M. Schwab pour obtenir le rapport approché de la circonférence au diamètre. {Voj. ses Èltmens de Géométrie, p. 104.)

Au lieu de supposer le diamètre connu , et de chercher la circonférence, comme Archimède , ou l'aire, comme Gregory, M. Schwab détermine tant le rayon du cercle circonscrit que celui du cercle inscrit à une suite de polygones réguliers du même périmètre, mais dont le nombre des côtés va toujours en doulilant : et il trouve, entre ces rayons, deux relations très remarquables. AB(^^. 4?) étant le demi-côté d'un polygone régulier quelconque, O son centre^ OA sera le ravou du cercle inscrit, OB celui du cercle circonscrit , dont l'arc BC fait partie. Si l'on tire ensuite CB, puis , du point 0 , OD perpendiculaire sur CB , enfin DE perpendiculaire sur AC , l'angle ACB et la droite ED étant respectivement les moitiés de l'angle AOB et de la droite AB , ED sera le demi-côté du polygone qui en contiendra le double de celui auquel appartient AB, et qui aura le même périmètre. Cela posé, si l'on désigne par r et r les rayons AO et CE des cercles inscrits à ces polygones, par R et R' les rayons

OB et CD des cercles circonscrits, 1°. comme

CE = 5 AC = 1 (AO -f OC) =. i (AO + OB) ,

on a /' = ;

2°. le triangle rectangle ODC donnant

CD=5CxCË, il s'ensiùt que R' = \/Rz^.

En mettant dans l'expression de r la valeur de

R ~ V AO^ -}- AB ^= {/r- -j- c% dans laquelle c repre'sente le demi-côte' AB , on obtiendra

Écrivant ^z et ^ z' au lieu de r et de r, on aura

où z et z' représentent les diamètres, et ce qui s'accorde avec la formule tire'e de la construction de Descartes.

M. Schwab applique d'abord ses formules à l'hexagone dont le côté est pi'is pour unité : dans ce cas, on a en premier lieu

et avec ces valeurs on obtient très aisément r' et R'.

Parvenu au polygone de 61 44 côtés, M. Schwab trouve

prenant alors r pour le rayon du cercle qui se confond avec le polygone dont le périmètre =6, l'auteur

^-jG ADDITIONS.

obtient

^ ^ 1 r Pi

ar 2X0,9549290 "^

Dans le quarré choisi par Bescai-tes , le côte' = i ^

Je terminerai cette note par l'exposition du déroulement ingénieux de la circonférence, indiqué dans le tome II des anciens Mémoires des Savons étrangers, par Outhier (p. 233).

Ayant tiré deux droites AX, AY (fg. 48) , perpendiculaires entre elles, et décrit le demi-cercle AMC, qu'on se propose de rectifier, on prendra , sur AX , lesdistances

AD =z 2AC, AE= 2AD, AF= 2AE, etc. ;

on élèvera Ce perpendiculaire sur AC, et terminée à la rencontre c de l'arc Ae décrit du point C comme centre , puis on tirera De qu'on prolongera jusqu'à la rencontre de l'arc Ad décrit du point D comme centre, et ainsi de suite. Il est d'abord évident que le quadrant Ac est de même longueur que la demi-circonférence. AMC ; et l'on aperçoit sans peine qu'en doublant toujours le rayon des cercles, et formant des angles C, D, E, F, etc. , dont chacun est la moitié de celui qui le précède, on obtient des arcs Ac, A^, Ae, A/', etc. de même longueur, mais dont la courbure décroît sans cesse , et qui ont pour limite , sur la droite AY, une portion égale à la demi-circonférence AMC.

Les points C, c, d, e, f, etc. sont tous isolés; mais il est évident qu'ils font paitie d'une courbe

continue formée par les extrémile's des arcs de même longueur appartenant aux cercles passant par le point A, et décrits eir prenant successivement pour centre tous les points de la ligne AX. On voit facilement que cette courbe est une sorte de spirale qui fait une infinité de révolutions autour du point A ; car les rayons étant pris de plus en plus petits , la longueur de l'arc AMC pourra embrasser tel nombre de circonférences qu'on voudra.

ADDITION à la page 1 10.

Les raisonnemens que notre auteur ajoute à ce qu'a dit Newton sur l'impossibilité de la quadrature du cercle, ne passent point encore pour une démonstration complète de cette impossibilité. L'inutilité constante des tentatives faites jusqu'ici par les plus habiles géomètres, dont toute la sagacité s'est montrée dans l'invention des moyens qu'ils ont créés pour attaquer la question, et dans le grand ncxiibre de résultats approximatifs qu'ils ont obtenus; cette inutilité, dis-je, établit une très grande probabilité que le problème n'est résoluble que par approximation.

Beaucoup d'autres difficultés du même genre ramènent à une semblable conclusion , et font regarder comme certain que, de même qu'il y a des quantités, dites irrationnelles , qui ne peuvent s'exprimer en termes finis, par des nombres, soit entiers, soit frac-» tionnaires , il existe un autre genre de quantités qui ne peuvent s'exprimer par un nombre fini de termes nonseulement rationnels , mais irrationnels. Ces dernière?

2n8 ADDITIONS.

sont appelées transcendantes. La circonférence et l'aire du cercle sont telles par rapport au rayon et au diamètre ; mais , ce qu'il faut bien remarquer, les transcendantes se partagent en classes diverses de plus en plus élevées , parce qu'on ne saurait les exprimer les unes par les autres en termes finis. Tels sont les arcs d'ellipse, par exemple, à l'égard des arcs de cercle, parce que la rectification de la première de ces courbes ne peut être ramenée à celle de la seconde. Laplace a dit à quelques personnes qu'il en avait une démonstration rigoureuse ; mais on ne l'a point retrouvée dans ses papiei's. Avec cette démonstration, on eût été plus avancé par rapport à l'ellipse que pour le cercle.

Ce qu'il y a de positif sur ca dernier est la démonstration par laquelle Lambert (Mémoires de V Acad. de Berlin^ année 1761, p. 265), établit que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre irrationnel. Dans la note IV de ses Élémens de Géométrie, M. Legendre , en abrégeant cette démonstration , a fait voir que le quarré du même rapport est aussi un nombre irrationnel. Peut-être s'exprimerait-on plus exactement, en disant que ce rapport et son quarré ne sauraient être exprimés en termes rationnels ; car il reste encore à savoir ce que peuvent être les puissances plus élevées, et s'il en existe aucune qui soit rationnelle.

Si les formes sévères du calcul n'ont pas mené plus loin , il ne faut attacher aucune importance aux considérations vagues par lesquelles BufFon a tenté d'y suppléer. [Essai d' Arithmétique morale, vers la fin.) Ce n'est autre chose que l'abus d'une vaine métaphy-

ADDITIONS. 27g

siquc appliquée à la Géométrie. Il eu est de iiièine de l'article Quadrature du Cercle dans le Dictionnaire des Mathématiques de V Encyclopédie méthodique. Toutes ces ide'es creuses sur l'infini , qu'on veut pour ainsi dire manier , ne mènent jamais à rien de solide. On a déjà vu comment elles ont trompé les anciens, ensuite Viète et Descartes (p. 54, 27).

Je terminerai en rappelant ici la déclaratioa que l'Académie des Sciences , fatiguée des continuelles importunités des quadrateurs, fit en 1775 {Mémoires de V Acad. , ann. I7;5, Histoire, p. 61) :

« L'Académie a piis , cette année , la résolution de » ne plus examiner aucune solution des problèmes de 1) la duplication du cube , de la trisection de l'angle » ou de la quadrature du cercle , ni aucune machine » annoncée comme un mouvement perpétuel. »

Cette déclaration est accompagnée de réflexions dans lesquelles Condorcet , alors secrétaire perpétuel de l'Académie, développe avec clarté et précision les motifs qui appuient la résolution qu'elle a prise.

• ADDITION' à la page 161.

Montucla ignorant où le géomètre anglais Machin avait publié ses calculs sur le rapport du diamètre à la circonférence (p. i56), n'a pu parler de la méthode suivie par ce géomètre , l'une des plus simples et des plus faciles à mettre en pratique. Elle est encore fondée sur la série qui exprime l'arc par sa tangente ; mais on y détermine d'abord l'arc qui répond à une tangente exprimée par une petite fraction

28o ADDITIONS.

et l'on répète cet arc un nombre de fois suffisant pour que le produit diffère peu de l'arc de 45°. Le choix de la première tangente étant arbitraire, on peut varier les formules ; mais ici je ne m'arrêterai qu'à un seul cas, suffisant pour bien faire comprendre et apprécier cette méthode, exposée dans le recueil intitulé Scriptores logarith?n^ciJ^p3ir M. Maseres (t. III, p. i58), qu'on trouve encore dans \e Développement de la partie élémentaire des Mathématiques, par Bertrand de Genève (t. II, p. 432) , et dans d'autres ouvrages plus récens.

L'arc dont la tangente = ^5 étant répété 4 fois , en

donne un qui diffère fort peu de celui de 4^° dont la tangente = i ; car la formule

2 îang a

tang Q.a = — - ,

^ I — tang a'^

lorsqu'on y fait tang « = ^ , conduit d'abord à

ïo 5 ,

tang 2a = — ^ := — ; et changeant ensuite tang a en

taug 2a , la même formule donne tang ^a = ,

fraction qui ne diffèi'e de l'unité que de : l'arc 4«

surpasse donc de très peu celui de 45°.

Pour en découvrir l'excès, on a la formule. . . . .v'

,^ tang A — tang B

tang (A — B) = — i-2 . 2—

^ ^ I + tang A tang B

4ans laquelle on fera tang A = — — , tang B= i ; avec

ces valeurs , on trouvera tang (^a — 4^°) = ~o~ ■ 1 1 suit de là que

mais tang a étant ■=, on en déduit

et par conséquent

puis mettant cette expression dans celle de 4« — 4^° 7 on en tire

Ces deux séries sont très convergentes , la seconde surtout ; et si la première l'est moins , on en est dédommagé par la facilité de son évaluation. En effet, la suite des fractions

formant une progression par quotient, dont la raison est —^ , on passera d'un terme au suivant en divisant

le premier par 100, et multipliant ensuite le quotient par 4.

Vers la fin du siècle dernier, Véga poussa jusqu'à i4o décimales le rapport du diamètre à la circonfél'ence. Le voici, tel qu'on le trouve dans l'édition du "^riiesaurus logarithmontm completus de Vlacq, donnée par Véga, en 1794 (p. 633),

Ce nombre contient 18 chifîres décimaux de plus que celui qu'a trouvé de Lagny, et qui est rapporté sur la page 157. Au bas de cette page, j'ai cité, d'après Montucla, une addition de 27 chifFres décimaux qui en portent le nombre à i54 ", mais il n'y a que les 9 premiers qui soient les mêmes dans ces deux additions : les autres sont donc douteux. La différence tiendraitelle à une erreur de transcription faite par Montucla ? C'est ce que j'ignore, n'ayant pu remonter à la première source de l'addition qu'il rapporte. Quant à Véga, il a l'épété, eu 1797, dans ses tables de logarithmes, en 2 vol. in- 4°, le résultat ci-dessus ; mais, en 1789, il en avait donné un autre , en i44 chiifres, qui diffère de celui-ci à partir de la 127*^ décimale : il se termine par

{Foj. les Nova acta Acad. peirop. , t. IX , p. ^i de V Histoire.)

Quoi qu'il en soit , si l'on s'en tient aux 1 26 décimales conformes de cha(jue côté , l'approximation est encore prodigieuse ; et pour en faire mieux juger, nous reviendrons sur ce qu'on lit à la page 7, où l'on ne voit qu'une appréciation un peu vague.

Il suffit de 16 décimales pour obtenir à moins d'un millième de millimètre (moins de ^^^ de ligne) la circonférence d'un cercle dont le rayon serait égal à la distance moyenne de la terre au Soleil. En effet, cette di.stance est de 152688700 kilomètres ; en la doublant, on aura le diamètre égal à 3o53774oo kilomètres, et pour le convertir en millièmes de millimètres , il faut le multiplier par le produit 1000,1000=1000000, ce qui ne fera encore qu'un nombre de i5 chiffres. Si donc on multiplie ce nombre par le rapport de la circonférence au diamètre , la 16" décimale n'influera pas sur les unités du produit. Cette approximation estdéjà très remarquable, puisque, l'épaisseur d'un cheveu moyen étant environ la 10^ partie du millimètre, le millième de ce dernier est à peine le centième de l'épaisseur du cheveu.

Q«ue serait-ce donc si, comme l'auteur, on prenait 35 décimales, c'est-à-dire ig chiffres de plus que cidessus , de sorte que la dernière décimale ne serait que la 1 0000 00000 00000 00000* partie de celle de l'exemple précédent? Qu'on juge par là de ce que serait l'approximation donnée par 126 décimales. Ceci montre avec la dei'nière évidence combien il est inutile de prendre la peine de démêler les paralogismes des quadrateurs , quand on a un moyen si simple et si sûr d'apprécier leius inventions.

Au moment où j'écris ceci, un journal {le Courrier français du. samedi, 24 juillet i83o) annonce une nouvelle tentative , donnant le rapport de 700 à 2207, ce qui revient à 3,i5... , résultat déjà fautif au second chiffre décimal.

ADDITION à la page 168.

L'assertion faite par l'auteur, sur cette page, peut aisément se vérifier, en déterminant, par le moyen des séries qui expriment les lignes trigonométriques, celles de la figure 21 ; mais je me bornerai à donner le calcul numérique du cas où il s'agit de l'arc de 60°, déjà fort grand.

Soit CB = ea = i , BF=w^ sinus verse de BG ; on aura CF=:i — v, eF=3 — v-, eB = 3 ; et puisque

eF : FG :: eB : Bh, il viendra Bh = ^-^^ilT^. Mais

comme AE = CB — ■= BF =r i — -pv, on en conclura

EF = AE -f- AF= I — ^t»-!- 2 — 1^=3 — -^v; et la proportion EF : FG : : EB : BH donnera

(3— l^'^/âlT^T» ^ . / -,