BH
Si l'on fait f ==-, ces formules conduisent à
BA = ^l=i,o3923o5,BH==^V/3 = 1,0464473.
Ces deux valeurs ne diffèrent que d'environ 0,007 ; or,
l'arc de 60" = „ de 3,1415926 étant 1,0471975, on
voit qu'il excède peu les lignes Bh et BH , et qu'il approche beaucoup plus de la seconde que de la première.
ADDITION à la page 225.
Ce morceau de Ge'ome'trie est le plus ancien de ceux qui nous ont été' transmis avec un nom connu et une date certaine : c'est ce qui rend précieuse pour l'histoire de la science cette partie du commentaire d'Eutocius sur les œuvres d'Archimède. Celui-ci, après avoir trouvé la mesure du volume de la sphère , se propose de déterminer le rayon de celle dont le volume est égal à celui d'un cylindre ou d'un cône donnés {Archimed. , De sphœraet cylindro, lib. II, prop. 2), ce qui revient à résoudre une équation du 3^ degré à deux termes ; car a étant le rayon de la base , soit du cylindre , soit du cône , h leur hauteur, tt le rapport de la circonférence au diamètre , et j: le rayon de la
sphère cherchée, on a pour le cylindre, ^t^x^ = Tvarh ,
et pour le cône, -r.x^-:^ -^^a^h , équations qui reviennent à x' = c. {Voyez p. 218, note.)
On peut être surpris de lire au commencement du § V, que « la solution de Platon a le défaut de ne » pouvoir être avouée par la Géométrie , » quand ou voit plus loin (p. 282) , les éloges que notre auteur donne à la solution de Nicomède, laquelle suppose aussi l'usage d'un instrument. Celui-ci peut être plus
coimuode que le châssis proposé par Platon , mais il n'en est pas moins une machine différente de la règle et du compas , seuls admis dans la solution graphique rigoureuse des problèmes de Géométrie.
Au fond c'est toujours une courbe qu'il laut décrire; et il est aisé de saisir la génération de celle qui répond à l'usage du châssis représenté dans la figure 0.5*.
Quand on le place au Ifasard , en mettant la base FG sur le point E (Jig. r?.5* et 25) , et l'un de ses angles sur BA, en un point quelconque D, puis qu'on fait mouvoir la traverse jusqu'il ce qu'elle passe par le point A, l'angle droit C peut tomber sur une infinité de points différens. Cette opération revient à mener arbitrairement la droite ED (Jig. 49) ; P^^is à élever d'abord sur celle-ci une perpendiculaire indéfinie DC , sur lac[uelle on en abaisse ensuite une du point A, et l'on marque le point de rencontre C de ces deux perpendiculaires. En donnant diverses positions à la ligne ED, et répétant la construction que l'on vient d'indiquer, on trouvera autant de points C, C"... qu'on voudra de la courbe décrite par l'angle du châssis, lorsqu'on le fait mouvoir pour arriver dans le prolongement de BE.
Pour obtenir l'équation de cette courbe , on fera AB = «, BE = /'-', AP =a:, FC=j; on aura
pc:AP:: be:bd, ou Y:x:ib:BJ) = — -,
et comme le triangle rectangle DCA donne .
ÂPxPD="PC', et que PD = AB -f BD — AP , il vient , , ■ :•};
ADDITIONS. 2Sj
bx
X ia-^ x\-=j\ ou j-^ +x^j — axj — bx''=:o.
Cette équation appartient à la 34* espèce dans l'cnumération des lignes du troisième ordre, faite par Newton {Opuscula , t. P', p. 258). Elle est représentée dans la figure 5o.
La solution du problème de la duplication du cube, répondant au cas où l'angle droit G {fig. 49) tombe sur la ligne BE, c'est-à-dire à l'intersection de cette droite et de la courbe CC C" , alors x=.a, ce qui réduit l'équation précédente kj^^^a^b.
La lettre d'Eratostbènes , citée p. 23o , est un monument curieux de la Géométrie ancienne. On y voit 1 importance qu'on attachait alors au problème de la duplication du cube, puisque ce géomètre appendit dans un temple l'instrument qu'il avait imaginé , et qu'il le crut digne d'être consacré à la divinité. Sur la colonne qui portait cette offrande, était gravé le résumé de la démonstration du procédé. Enfin, il célébra sa découverte par une épigramme qu'Eutocius nous a conservée et dont Montucla a fait mention à la page 225; mais comme il n'y en a point de version latine dans l'édition âJ Archimede par Torelli , j'ai cru devoir rapporter la traduction que M. Reimer a donnée à la page i47 de l'ouvrage que j'ai cité p. 21 'j.
àSi ciibnm brevi teinpore dnpluni , o optimc, construerc
Vis, lia lU oninis figura solida in aliam
Bene possit transformari : hoc tibi perficietnr, et si stabnium,
Aut granarium subterraneum , ant cavœ cisternse altum spatium
Hoc (instrumento) raeliri velis, quando médias terminis extremis
Concurrentes intra diipliccs snmscris régulas.
Ne tu Arcliytae difficillimis operationibus cylindrorura ,
Ne Menaechmaeis in cono secandis temariis
Operam impendasj neque si qua divini Endoxi
Curva in lineis spccies describitur.
Hisce autem in tabellis média infinita construas
Commode, inde a parvo fundo exorsus.
Félix Ptolomsee pater, quod fîb'o una pubcsceiis,
Quaecuuque et Musis et Regibus cara sunt,
Ipse largitiis es ! Impostcium aulem , 6 cœlestis Jupiter,
Et sceptra ex tua accipiat manu !
Et baec quidem ita perficiantui ! Dicat aulem quis donarium videns;
Cyrenaei hoc est Eiatostlienis.
Le prix qu'Ératosthènes mettait à son inventioii pouvant faire désirer de savoir en quoi elle consiste, nous allons suppléer à l'omission que notre auteur a faite sur ce sujet.
Soient trois planches rectangulaires ABCD {fig. 5i), A'B'C'D', A"B"C"D", de même hauteur et glissant entre des rainures parallèles , AB" , DC", en sorte que la planche du milieu A'B'C'D' étant fixe, on puisse faire avancer sur celle-ci la première ABCD, tandis qu'on fait passer dessous la troisième A"B"C"D". Par suite du recouvrement de ces planches , la première cache une partie de la diagonale de la seconde , et celle-ci une partie de la diagonale de la troisième. C'est ce que montre la figure 62, dans laquelle les lignes ponctuées A'D', A"D" marquent les bords cachés par le recouvrement , E et E' les intersections des diagonales avec les bords BC et B'C. Cela posé, si AD représente l'une de grandeurs données, E"C" l'autre, et que les planches aient été disposées de manière que les points E et E' tombent en ligne droite avec les
points A et E", les lignes EC et E'C seront les moyennes cherchées.
En effet, les triangles semblables DAC, CEC, C'E'C, donnent d'abord
AD : CD :: ce : ce, ad : cd :: ce' : ce ; ^w, rr cÎDxcÊ coxci"'
dou ce ==-^0-' ^^ =— TD— '
mais pour que les points A, E, E', E" soient en ligne droite , il faut que l'on ait
AD — CE CE — CE^ __ CE' — C"E" CD ~~ CG^ "~ ce '
or, si l'on met pour CC, C'C", leur valeur, la largeur CD de la planche ABCD disparaîtra comme diviseur commun ; il viendra
