De societatibus factis inter consocios

11, De consclamine monetarum atque eorum regulis quæ ad consolamen pertinent.

12. De solutionibus multarum positarum quæstionum quas erraticas appellamus. |

13. De regula eleatayin, qualiter per ipsum fere omnes erraticæ questiones solvantur. |

14. De reperiendis radicibus quadratis et eubiis et multiplicatione et divisione seu extractione earum in se, et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicium.

15. De regulis et proportionibus geometriæ pertinentibus, de quæstionibus algebræ et almachabelæ. »

Depuis la première édition du premier volume de cet ouvrage, un habile géomètre, M. Chasles, a fait paraître dans les Memoires couronnes par l’Academie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles (tom. XI, Bruxelles, 1837, in-4), un A4percu historique sur l’origine et le développement des méthodes en geome-

( 291 ) trie. L'auteur de cet Essai a traité, dans les Votes ; une foule de questions intéressantes qu'il a su rattacher à son sujet (1). Sans pouvoir me flatter, comme l'auteur le dit avec trop d’obligeance pour moi, que la publication de mon premier volume lui ait inspiré ses recherches sur l’histoire de la géométrie chez les Orientaux , et chez les Chrétiens au moyen âge , je ne puis qu'applaudir au parti qu'il a pris de traiter dans des notes étendues, et avec tous les développemens nécessaires, un sujet que je n'avais pu qu'’eflleurer dans mon Discours préliminaire. Les deux mémoires de M. Chasles que j'ai cités précédemment (p. 22 et 48) ne sont que des extraits (2) de son Apercu , qu’il avait fait tirer à part, et qu’il avait bien voulu me donner. L'ouvrage entier n'a paru que lorsque tout le texte de ce second volume était déjà imprimé ; mais je suis porté d’autant plus naturellement à en parler dans cette note, que M. Chasles à fait un exposé des travaux de Fibonacci » et que malheureusement mes recherches m’ont conduit à des résultats fort différens de ceux qu’il a obtenus sur tout

Le NS

(1) Parmi.ces recherches, je citerai spécialement l’origine des poly. gones étoilés, que M. Chasles suppose, par une interprétation un peu hardie peut-être, avoir été considérés par Boëce, et qu'il a trouvés clairement indiqués dans Campanus de Novare et dans d’autres écrivains plus récens (Aperçu, p. 473 et suiv.; et p. 512 et suiv. ).

(2) Je dois dire que dans son ouvrage, M. Chasles à corrigé l’inadvertance que j'ai signalée précédemment sur la traduction d’Euclide, qu'il avait d’abord attr buée à Campanus (A4percu, p. 423, 479,

(292 ) ce qui concerne l’origine de notre système de numération (1).

En effet, M. Chasles croit que le passage qui se trouve à la fin du premier livre de la géométrie de Boëce, passage qui avait déjà fixé l'attention de plusieurs savans , prouve que les Pythagoriciens avaient connu une arithmétique de position (4percu, p. 469, 471). I s'était même eflorcé, par de longs développemens, de prouver d’abord qu’ils avaient connu /’aritmétique indienne (Apercu, p. 476); mais quoique, dans les Additions (p. 558), il ait corrigé la dernière phrase du paragraphe où il traite cette question, comme la même idée se reproduit dans tout ce qu'il a écrit sur ce sujet (2), on ne sait pas s’il a réellement changé d’avis sur le fond de la question, ou bien si ce n’est qu’un changement de mots. Il

(1) Au reste M. Chasles et moi nous nous trouvons d'accord sur beaucoup d’autres points. Je suis heureux de voir qu’il a adopté mes idées sur la prétendue géométrie de position des Arabes, et sur le peu de cas que l’on doit faire de l’inexaelitude de Delambre (4percu, p. 507, brr, 523, etc. ).

(2) « De ce qui précède nous croyons pouvoir conclure que le sÿs— « tème de numération exposé par Boêce est le système décimal, dans « lequel les neuf chiffres, dont :il se sert , prenaient des valeurs de « position, croissant en progression décuple en allant de droite à zau— « che; et enfin que ce système de numération était précisément celui « des Indiens et des Arabes, et le nôtre actuel; avec cette différence « légère que, dans la pratique, les places, où nous mettons le zéro, « restaient vides alors; et que cetle dixième figure auxiliaire était sup «pléée par l'emploi de colonnes marquant distinctement lPordre des

« uuités, dizaines, centaines, ele, » (Aperçu ; p. 471.)

dé ( 293 ) ya même heu de croire qu'il a persisté. dans sa première opinion sur l'ensemble de la question, en lisant ce que M. Chasles dit ( 4percu, p- 465, 470, 473, 503. 507) sur l’arithmétique de Gerbert , qu'il suppose n'être autre chose que celle de Boëce, et de laquelle il pense que notre système de numération a pu se former en supprimant les lignes verticales , qu'il croit avoir séparé les unités des divers ordres dans le système des Pythagoriciens (qui ne différait du nôtre, suivant M. Chasles, que par l’absence du zéro, qu’il considère comme fort peu importante), et en formant finalement ce zéro (1) par la réunion des deux dernières colonnes qu'on aurait laissé subsister (Apercu, p. 557, 558 etc. ).

Je ne saurais suivre l’auteur dans tous les développemens qu’il a donnés à son hypothèse, et je me bornerai à indiquer ici quelques-unes des principales difcultés qui me semblent s'opposer à son système, et que j'ai déjà eu honneur de lui signaler dans des communications verbales.

Le passage de Boëce , et les passages . analogues qu'on rencontre dans d'autres anciens auteurs présentent une grande obscurité quand en veut les interpéter directement; et tous les écrivains qui ont voulu en Re. A sens, sans en excepter M. Chasles, ont

été obligés

me — —

(1) M. Chasles (4percu, p. 472) donne une origine du zéro qui est contraire à l’étymologie, On sait que ce mot vient d’un mot arabe qui

signifie vide ,æt qui n’est que la traduction du cunya des Hindous.

e faire différentes suppositions et de for-.

cer un peu la traduction (1). Ces passages prouvent seulement, à mon avis, que les Pythagoriciens (ou des Pseudo-Pythagoriciens plus modernes) avaient employé des abréviations pour écrire les grands nombres. Mais on savait cela par les inscriptions et par les notes tyroniennes, et j’ai déjà dit que quel-

ques-unes de ces abréviations étaient restées en usage.

chez nous lorsqu'on avait adopté le système arithmétique des Hindous. Ce sont ces chiffres tyroniens, introduits dans l’arithmétique indienne, qui ont si singulièrement compliqué la question de l’origine de notre système de numération, lorsque des érudits, qui s’attachaient plus à la forme des chiffres qu’au fond de la question, ont voulu la résoudre (2). Mais après

(1) M. Chasles est forcé de supposer que placer sous l'unité, signifie placer dans la colonne des unites, bien que cela soit fort obscur, surtout d’après les mots Zta varie ceu pulverem dispergere, qui, expri— mant une comparaison, ne doivent pas être négligés, et qu’on ne voit pas comment on pourrait concilier avec l'interprétation de M. Chasles. De plus, il doit (contre la tradition constante et d’après un manuscrit qui est peut-être incomplet ou qui a pu ètre défiguré par les copistes comme le scnt tant d’autres) supposer aussi que la table fe Pythagore n’est pas celle que tout le monde connaït, et à. À espobligé de ne choisir dans son manuscrit que la première ligne du tableau qui s’y trouve, pour en former sa nouvelle table de Pythagore, sans expliquer le reste. Tout cela est bien incertain, et le devient d’autant plus que M. Chasles n’a raisonné que d’après sa traduction, sans citer le texte latin (4percu, p. 465-452).

(2) La forme du 8 n’est ni indienne, ni arabe, non plus que celle du 6.

Une chose à laquelle on n’a pas fait altenticn, c’est que dans les pre—

ail

avoir admis l'existence de ces abréviations, il faut s'arrêter ; car je crois que nous n’avons aucun moyen de remonter à cette espèce de sténographie numérique que Boëce attribue aux Pythagoriciens. Je suis cependant convaincu qu’elle était très imparfaite , et voici pourquoi ‘

Archimède a écrit, comme on sait, un traité intitulé l’Ærenaire, qui n’a d’autre but que de simplifier la numération des Grecs. Ce perfectionnement est tellement au-dessous du système que M. Chasles suppose avoir été connu avant Archimède par les P ythagoriciens, qu'il faudrait croire que ce grand géo mètre perdait son temps à rendre un peu moins imparfait un mauvais système de numération, au lieu d’en adopter un fort bon qui aurait été connu avant lui (r). M. Chasles est forcé de faire cette supposition (Apercu , p. 475-476 et 558), mais moi, Je ne pourrai jamais l’adopter.

miers auteurs chrétiens qui ont parlé de la nouvelle arithmétique, on trouve les neuf chiffres écrits de suite l'un apres l’autre de droite à gauche, ce qui prouve qu'on les apprenait d’uri peuple’ qui écrivait de droite à gauche comme, par exemple, les Arabes et les Juifs. Cependant, dans la composition, ces chiffres s'écrivaient de gauche à droite, comre le faisaient les Hindous qui les avaient donnés aux Arabes (Targioni, viaggi, om. NH, p."6r. — MSS. laiins de la bibl. du roi, 1° 7359, f. 85, n° 5363, f. 1, n° 7366; et fonds Sorbonne, ÿw° 972, tr. 3, n° 980, tr. 12, n° 0981,f. r, etc.).

(x) Apollonius aussi a voulu simplifier le système de numération des Grecs, et cependant il est resté au-dessous de ce qu’on suppose avoir ele connu long-temps avant lui (4pereu, p. 556 et 558).

RME VOD. En + a

De plus, Boëce, qui, d’après M. Chasles, connaissait un système fort simple de numération, ne s'en est jamais servi. Dans sa géométrie, dans son arithmétique, dans tous ses ouvrages, il a toujours écrit les nombres composés par le systèmé de numération des Romains. Dans aucun ancien manuscrit de cet auteur, on ne trouve Ha valeur de position des chiffres : on y trouve quelquefois des signes abrégés, des notes tyroniennes, mais Jamais On n’a trouvé un manuscrit du dixième ou du onzième siecle avec des nombres écrits par un système de valeurs de position ; et M. Chasles lui-même n’en peut citer aucun qui représente un nombre d’après le système qu'il suppose avoir été connu de Boëce (1). IT résulte de là , pour moi, que du temps d’Archimède les systèmes de numération adoptés en Italie étaient tous moins parfaits que celui qu’il a exposé-dans |’ Arenaire, et que le système (quel qu’il fût), attribué aux Pythagoriciens par Boëce, ne valait guère mieux que le système des Romains qu'il a toujours employé. Maintenant , la question étant réduite à ces termes , et entre ces limites, on peut laisser le champ libre aux conjectures; mais je doute fort qu’elles conduisent jamais à des résultats bien intéressans.

* Contre les hypothèses trop hardies et qu'aucun fait ne vient appuyer, il restera toujours le témoignage de

(x) Il faut ajouter aussi qu'à partir du treizième siècle , on com-— mence successivement à trouver la valeur de position dans presque tous les manuscrits; ce qui. me semble concourir à prouver que c'est à celle

époque qu'elle a été introduite parmi nous.

CL éd

( 297 ) Fibonacci (1), de Sacrobosco, de Jordanus, de Valia, qui ont assisté à l'introduction de la nouvelle arithmétique, qui ont contribué puissamment à la répandre parmi les Chrétiens ; et qui l’appellent toujours arithmétique indienne , comme M. Chasles lui-même la reconnu (Apercu, p« 464).

M. Chasles combat l’opinion des personnes qui croient que Fibonacci a été le premier à exposer parmi les Chrétiens le système arithmétique des Hindous (Apercu, p. 510-511). Je crois qu'il serait fort difcile d'établir qu'avant Fibonacci il a été écrit dans l'Europe chrétienne et par un Chrétien, un ouvrage où les principes de la nouvelle arithmétique étaient exposés. On trouve , il est vrai, le systèmé décimal employé dans quelques anciens manuscrits ; mais il n’y a pas de règles. Il n’y a que la pratique, et encore ces manuscrits

(1) On peut ajouter à ces noms ceux d’Alkindi et de Planude, l’auteur inconnu du poème de Vetula, etc. L'autorité d’Alkindi au neuvième

siècle est surtout d’un grand poids. J’ai parlé ci-dessus (p. 47) du poème

de Vetula, en disant que je n'avais jamais pu le voir. Depuis lors,

j'ai pu m'en procurer un exemplaire d’une édition inconnue à tous les bibliographes, et qui, suivant toute apparence, est l’édition pris ceps. C’est un petit volume in-4° de 42 feuillets sans chiffres, réclames, ni signatures, et qui semble imprimé en Italie dans les premiers temps de l'imprimerie. IL commence par ces mots : « ublii Ouidii Nasionis (sic) liber de uetula, » et se termine au verso du dernier feuillet par ceux-ci : « Publii Ouidii Nasonis Pelignensis — liber de uetu!a finit. » Chaque page entière contient 28 lignes, Il n’y a pas de grandes capitales, Cette édition ne contient pas l'introduction qui se trouve dans le manuscrit latin n° 8256 de la bibliothèque royale, où il n’y a, au reste, qu'un

fragment de ce poème,

( 298 ) sont presque tous de date incertaine , et semblent pour la plupart, avoir été exécutés chez les Mores, ou par des Juifs qui, comme nous l’avons déjà dit, ont recu les premiers les sciences des Orientaux (r). Il doit paraître sans doute étonnant que ces premiers traducteurs, qui onttravaillé avec tant d’ardeur à nous faire connaître les écrits scientifiques des Arabes , ne nous aient pas donné leur arithmétique ; mais jusqu’à ce que lon prouve le contraire par des faits positifs, il faut considérer lÆbbacus de Fibonacci comme le premier ouvrage sur l’arithmétique indienne, écrit par un Chrétien et chez les Chrétiens, qui ait une date certaine (2). L’4/gorismus de Gérard, indiqué par M: Chasles (4percu , p. 510), peut être d’un tout autre auteur que de Gérard de Crémone. Cet ouvrage n’est probablement que celui qu’on trouve indiqué dans quelques catalogues de manuscrits , sous le nom d’4/gorismus Genandi (3); ce qui augmente encore l’incertitude sur l’auteur et sur l’époque où il vivait. On pourrait peut-être vouloir citer aussi un ouvrage appelé Liber Y. sagogarum alchorismi in artem astronomicam a magistro A. compositus , qui se conserve manuscrit à la bibliothèque du roi (4). Ce traité porte à la

(x) Tom.I, p. 153 et suiv. CA (2) Autrement, comment Fibonacci aurait-il osé écrire ces mots «et . « gens latina de cetero sicut actenus absque illa minime inveniatur » (Voyez ci-dessus, pag. 288).

(3) Montfaucon, bibliotheca bibliothecarum, tam. 1, p. 38 et 88. (4) Fonds Sorbonne, n° 980. — J'ai déja dit (p. 47) que l’auteur

de ce traité appelle la nouvelle arithmétique fguræ Indorum. Ne pouvant

( 299 ) fin cette souscription : Perfectus est liber in electionibus horarum laudabilium editione Hali, fili Hamet ebrani : translatus de arabico in latinum in civitate Barchinona : Abraham Judeo ispano, qui dicitur Savacorda existente interprete. Et perfecta est ejus translatio... anno Domini MCXXXIV. — Mais outre que d’après cette indication, ce ne serait encore là qu’une traduction de l'arabe faite par l'entremise d'un Juif, ilfaut remarquer de plus, que ce traité semble n’être qu’un amalgame de deux ouvrages distincts, lun appelé Liber Ysagogarum (anonyme -et divisé à cinq livres) qui contient l’algorisme avec un peu de géométrie, et l’autre qui commence au second livre et qui est le iraité d’Hali traduit en 1134. Ainsi ce manuscrit ne

pas donner un extrait de cet ouvrage, je me bornerai à signaler ic1 une division du temps fort bizarre qui est exposée au commence< ment de cette manière : « Instans pars temporis est, cujus nulla pars est. « Momentum vero pars temporis est constans ex pLxxun instantibus. « Minutum quoque est de 1117 momentis collectum : punctum vero tem- « poris spacio n miautis et dimidio; metitur hora autem mix punetis « contexta est xx diei. Dies autem mensis trigenta plus minusve. « Mensis autem anni xu. Scilicet annus est spatium quo sol ad idem « zodiaci punctum revertitur..…. Arabes quos imitaturi sumus....... » Ces derniers mots démontrent que le commencement de £et ouvrage n’a rien de commun avec l'ouvrage d'Hali ben Hamet, traduit par Savosorda en 1134. L'emploi des chiffres latins, dans le passage pré-— cédent, d’un ouvrage destiné à exposer les principes de l’arithmétique indienne, prouve que cette arithmétique était alors toute nouvelle et qu’on avait bien de la peine à l'adopter. C’est pour cela qu'il a fallu au treizième siècle tant d'ouvrages pour la propager, et non pas, comme le croit M. Chasles (4percu, p. 510), parce que celte arithmé-

tique fut connue depuis long-temps.

À peut fournir aucun argument contre la priorité de V Abbacus de Fibonacci, qui, cependant {comme nous le reconnaissons avec la plupart de ceux qui ont discuté ce point de l’histoire des sciences), n’a pas été le premier ouvrage latin où l’on ait employé les chiffres arabes , mais qui, jusqu’à ce que d’autres faits viennent prouver le contraire , doit être considéré comme le premier traité avec date certaine écrit originairement en latin par un Chrétien, où les règles de la nouvelle arithmétique se trouvent exposées.

Après avoir, à ce qu'il me semble, assuré la priorité de Fibonacci sur ce point , il me sera plus facile encore de prouver que c’est à lui qu’on doit le premier traité original d’algèbre écrit en latin par un Chrétien. Pour combattre les droits de Léonard, M. Chasles cite un traité de l’algorisme par Jean de Seville, qui l'aurait composé environ un demi-siècle avant l’époque où Fibonacci écrivait son premuer ouvrage (1). Mais il faut remarquer ici plusieurs choses ;

(1) Apercu, p. 510-511. — M. Chasles n'indique pas la bibliothè— que où il a trouvé l'Algorismus de Jean de Séville, et il dit à propos de cet ouvrage : « Les copies doivent étre très rares, car les catalogues de manuscrits n'en indiquent aucune. » — Cela n'est pas exact, car dans le catalogue imprimé des mauuscrits de la bibliotsèque royale (tom. IV, p. 344, MSS. latins, u° 3359), on y trouve Johaanis Hispalensis algorismus , sive practica arithmeticæ. La bibliothèque royale en possède deux autres exemplaires (Fonds Sorbonne , n° 972 ttn° 98r); le premier est anonyme; et quoique le mot Hispalensis ait été ajouté par une main moderne dans la table qui est en tête du n° 981, et qu'il se

trouve aussi dans le catalogue manuserit, le volume dent mous parlons.

d’abord que l’âge de ce Jean est incertain (1), caril a pu y avoir plusieurs Jean de Séville, ou pour mieux dire d'Espagne, comme le croyait Jourdain (2), et que d’ailleurs celui qu'on appelle ordinairement Johannes Hispalensis était un Juif (3) qui traduisait en hébreu des ouvrages arabes que d’autres traduisaient en latin. Ainsi même en admettant qu’il soit de lui, | Æ/gorismus n’est probablement qu’une traduction (4), ou tout au moins une imitation de l’arabe; et en tout cas, :l n’a été écrit que par un Juif demeurant parmi les Arabes, et ne peu, à ce titre, entrer nullement en concurrence de priorité avec un ouvrage écrit à Pise par un Chrétien. Les manuscrits de la bibliothèque royale où se trouve lA/gorismus cité par M. Chasles, contiennent à la fin, il est vrai, quelques paragraphes qui ont pour titre: Æxceptiones de libro qui dicitur gleba mutabilia, c’est-à-dire, excerptiones de libro qui dicitur gebra et mucabala , et où se trouvent réso-

ne porte que «.… editus … a magistro iohe » sans dire si c’est Jean de Séville ox un autre Jean.

(1) Fabricius dit de lui Fuit incertæ ætatis (Bibliotheca med. et inf. latinitatis, tom. IV, p. 84).

(2) Riographie universelle, \om. XXI, p. 4797.— Vers la fin du douzième siècle, il y eut à Bologne un professeur de droit canon, appelé Jean d’Espagne (Tiraboschi , storia della lett, ital,, tom. III. p. 417).

(3). M. Chasles lui-même reconnaît cela (Apercu, p.310).

(4) Les manuscrits de l’Æ/gorismus portent editus, mot qu’on employait ordinairement pour les traductions. tandis que compositus in-

diquait presque toujours une production originale.

lus des problèmes du second degré. Mais , ou ce fragment est du même auteur que l4/gorisme qui le précède, et alors comme étant écrit en Espagne et par un Juif ilne peut rien diminuer au mérite du premier algébriste chrétien ; ou bien il n’est pas de Jean , et, dans ce cas, il rentre dans la classe des anonymes, et ne peut fournir aucun argument contre Fibonacci. D'ailleurs , si l’on voulait tenir compte des traductions, il faudrait encore citer un Italien, Platon de Tivoli, comme ayant le premier fait connaître lalgèbre aux Chrétiens : car à la fin du « Liber Embadorum a Savosorda in ebraico compositus et a Platone Tiburtino in latinum translatus, anno Arabum DX, mense saphar, (1) » il y a aussi quelques problèmes d’algèbre , entre autres celui-ci : x+-ÿy—10 , xy=22, qui mène à une équation du second degré. Cette traduction, qui est de 1116, précède tous les ouvrages de Jean Hispalensis , mais je ne la cite ici que pour l’op poser à d’autres traductions postérieures : car quant aux ouvrages de Fibonacci , outre leur originalité, ils sont tellement au-dessus de tous ces essais, qu’on ne peut établir aucune comparaison.

J’ajouterai iei que M. Chasles me semble n’avoir pas assez apprécié l’originalité des travaux de Léo-

1) MSS. latins de la bibliothèque du roi, n° 5224, et Supplément PP +

latin, n° 554.— Le second de ces manuscrits n’est pas complet : mais il

peut être complété à l'aide du premier , qui est au reste beaucoup plus

moderne.

ns +

nard sur l’analyse indéterminée, quand il dit : « Les . « formules de Léonard de Pise que Lucas de Burgo .« rapporte, sont les mêmes que celles que nous avons « déduites de la question géométrique de Brahme- « gupta. Or, Léonard de Pise avait rapporté les con- « naissances mathématiques de l'Arabie. Nous devons « donc attribuer ses formules pour la résolution des « questions du second degré, aux Arabes; et penser « que ceux-éi les avaient recues des Indiens. » (Essar, p. 442-443).

Comment M. Chasles, qui, malgré le témoignage unanime de vingt écrivains de cette époque, semble vouloir enlever aux Arabes et aux Hindous l'honneur de nous avoir donné l’arithmétique décimale, peut-il raisonner ici d’une manière tout-à-fait opposée lorsqu'il s’agit de diminuer le mérite de Fibonacci ? Il suppose d’abord que Léonard de Pise avait rapporté toutes ses connaissances mathématiques de l'Arabie, et puis il en déduit que ses travaux sur l’analyse indéterminée sont empruntés aux Arabes et par suite aux Hindous. Quand Fibonacci dit qu’il a pris aux Arabes le système de numération des Hindous, M. Chasies veut prouver que ce système est occidental. Et lorsque le géomètre de Pise dit qu’il a écrit sur les nombres carrés d’après des questions qui lui ont été proposées par des philosophes de la cour de Frédéric IT (Tagioni, viaggi, tom. ÎLE, p. 66), M. Chasles prétend qu’il a emprunté ses recherches aux Arabes; bien que tous les anciens géomètres qui ont écrit sur cette matière citent Léonard sans jamais citer aucun ouvrage arabe (ce

u’ils font toujours lorsqu'il s’agit de la résolution des q À q 8

équations déterminées dusecond degré, et de ce qu’ils

appellent l’algébre), et que lon n’ait jamais trouvé aucun ouvrage arabe où des questions un peu élevées.

d’analyse indéterminée soient traitées. Dans des questions historiques , il faut se garder de prendre pour des réalités, et d’en tirer des conséquences , les suppositions que l’on a faites. Ici, comme dans tout ce

qui est relatif à l’origine de l’arithmétique de posi-

tion et l’interprétation du fameux passage de Boëce, M. Chasles semble avoir trop accordé à ses propres hypothèses. Je dirai même qu'il paraît avoir été entraîné par ses connaissances en géométrie à regarder comme minimes des difficultés qui auraient été des barrières insurmontables pour des mathématiciens moins exercés, dans des temps moins heureux pour la science. Les interprétations sont toujours dangereuses : le talent de l'interprète supplée souvent à celui de l’auteur , et ilest probable que M. Chasles a été fort généreux envers Brahmegupta et Boëce, en leur attribuant, par de légers changemens dans le texte, des résultats qu’ils n’ont peul-être jamais connus. (4pereu , p. 428 , 430,

A4, 443 449; 467, elc., elc.)