RE

multiplication a. g. in g. d. sil ergo 6. numerus a. b. et numerus a. d. sit 2. quare d. b. est 4. et sitex a. d. in d. b. veniunt 8. quibus multiplicatio g. a. in g. d. est equalis et quoniam est notus numerus a. d. quadratum ipsius medietatis scilicet 1. adde cum £, erit 9. de quorum radice scilicet de 3. extrahe dimidium a. d. remanebunt 2. pro numero 9. d. de quibus si addatur numerus 4. a. habebis 4. pro numero 4. g.

Et si fuerit ignotus numerus a. b. invenietur cum multiplicationem a. g. noti in g. d. notum diviseris per a. d. notum tunc procreabitur inde numerus g. d. qui est 4. cui si addatur numerus a. d. erit 6. numerus a. b. Et si numerus a. d, fuerit ignotus tamen quia est sicut à. g. ad a. d. ita à. d. ad g. d. erit cum permutabitur sicut a. g. primus ad g. d. ita d. b. ad g. b. quadratum quare multiplicabis 4. g. notum scilicet 4. per 2. erunt 8. quibus equatur multüiplicatio g. d. secundi in d. b. tertium : quare si acciperis quadratum dimidn 2. b. qui est 1. et addes eum cum 8. erunt 9. super radicem quorum si adderis 1. scilicet dimidium numeri g. b. habebis 4. pro numero 4. 6. quæ si auferatur de numero à. D. remanebunt 2. pro numero à, d, in hacautem proportione summus numerus si notus {uerit tamen poteris per ipsum reliquos invenire : verbi gratia quia est sicut a. g. ad a. d. ita D. d. ad 2. d. ergo erit sicut a, d. ad a. g. ita d. g. ad d. b. scilicet cum diviseris erit sicut a. d. ad d. g. ita d, g. ad g. b. ergo numeri a. d. g. b. continui proportionales sunt, primum quidem si numerus a. d. fuerit

( 325 ) notus d. g. ad libitum, cuius quadratum dividam per

a. d. notum et sic proveniet numerus g. b. scilicet si fuerit notus numerus g. b. ponam ad libitum et numerum g. d. et multiplicabo g. d. in se et quod provenerit dividam per g. b. et veniet numerus 4. d. et si fuerit notus numerus a. g. accipiam ex eo ad libitum aliquem numerum qui sit aumerus g. d. similiter et pro numero ga. d. ponam numerum qualem voluero in quo dividam quadratum numeri g. d. et proveniet numerus £. Ÿ.

Modus alius proportionis in tribus numerts.

Ponam etiam ut sit sicut a. g. ad a. d. ita d. 9. ad g. b. et sit ignotus numerus a. g. ex reliquis autem numerus a. d. sit 4. et numerus a. b. sit 10. quoniam est sicut a. g. ad a. d.ita d. g. ad g. b. erit, ergo sicut compositus numerus ex a. g. et a. d. primus ad a. d. secundum; ita compositus ex d. g. b. tertius, ad g. b. quartum ; quare id quod provenit ex a. d. in d. b. quod est 24. equatur ei quod provenit ex a. g. et a. d. in g. b. et producatur enim recta 4. a. in e. et sit

Le]

a. e. equalis numero a. d. eritque recta e. 6. 14. quæ est indivisa in duo super g. itaque multiplicatio 0. in g. 4. est 34. dividatur ergo linea e. b. in duo eq super punctum /. erit b. f. 7. de quorum quadrato si aufératur multiplicatio b. 2, in 2. e. remanebunt 25.

ua

pro quadrato lineæ g. f. quare g. {. est 5. qui auferatur ex f. b. remanebunt 2. pro numero g. b. quibus extractis ex numero à. b. habebuntur 8. pro numero a. g. et si numerus à. b. fuerit ignotus, reliqui vero a. d. et a. g. sint noti quare est sicut a. g. notus ad

a. d. notum , ita d. g. notus ad g. 2. ignotum; multiplicabis ergo a. d. in d. g. scilicet 4. per 4. et divides per a. g. venient 2. pro g. b. quibus additis cum a. g. erit totus à. b. 10. sed ignotus numerus a. d. tamen et quia est sicut à. g. notus ad à. d. ita d. g. ad g. b. notum, multiplicatio ergo ex a. g. in g. b. quæ est 16. equatur multiplicationi a. d. secundi in tertium d. g. quæ multiplicatio cum sit equalis quadrato medietatis numeri à. d. similiter numerum a. d. dimidium esse numeri a. g. ergo a. d. est 4.

Modus ultimus proportionis tribus numertis.

Sit itaque sicut a. g. ad a. d, ita d. b. ad g. b. in hac autem proportione invenitur quod numerus est equalis superfluo terti numeri super secundum quod demostrabitur ita d. b. ad g. b. erit supermutabitur et dividetur sicut a. d. ad d. g. ita b. g. ad g. d. quæ ergo eadem eamdem proportionem habent sibi invicem equalia sunt. Equalis ergo est numerus a, d. numero

g. b. ut prædixi. Unde si ignotus fuerit numerus «a

Se tamen extrahes numerum «. d. ex numero b. UE

( 327, et remanebit notus numerus a. #. et si fuerit numerus a. b. ignotus addes numerum a. d. super numerum a. g. habebis numerum, et si fuerit ignotus à. d. extrahes numerum 4. 9. ex numero à. b. residuum erit numerus «. d. Et notandum cum aliqua prædictorum trium numerorum omnes tres numeri ponantur ignoti et summa eoram ponantur nota tunc inveniendi erunt tres numeri qui sint in ipsam quam volueris proportionem et eos in simul jnnges et si id quod provenerit fuerit equale saummæ quæsitæ habebis utique propositum; sin autem cadet proportionaliter videlicet sicut inventa fuerit ad quæsitam ita uniusquisque trium in-

ventorum numerorum erit ad suum cumsimilem.

Incipit de proportione quattuor mumeror um.

Cum quattuor numeri a. b. g. d. proportionales fuerint ut a. ad D. ita g. ad d. erit permutanti sicut b. ad a. ïta d. ad g. et sicut g. ad «&. ita d'ad b. ct multiplicatio a. in d. equatur multiplicationi 6. in 2. quare si fuerit ignotus numerus 4. divides factum ex b. in g. per a. et si a. fuerit ignotus divides per d. factum ex 4. in g. fuerit ignotus numerus D. scilicet

g. per notum ipsorum divides factum ex &. d. sed si

proponatur quod summa numerorum &. b. sit 14. et

numerus g. sit 22. et numerus d. sit 6. et vis scire quantum numerus a. vel numerus b. quia est sicut a. ad à. ita g. ad d. erit ergo ut a. b. ad b. ita g. d. ad d. quare multüplicabis coniunctum ex a. et b. scilicet 14. per d. hoc est per 6. erunt 84. quæ divide per coniunctum ex g. d. hoc est per 28. veniet 3. pro numero 6. quibus extractis ex 14. remanent 11. pro numero a. similiter procedes si numeri a. et b. nec non et summa ignotorum g. d. fuerit nota. Item si fuerit ignotus unusquisque numerorum a. g. scilicet summa eorum sit no’ta et sint eliam noti numeri à. d. b. d. erit sicut summa Ÿ. D. nota ad notum (. ita a. g. notum ad g. ignotum quare multiplicabis coniunctum ex a, g. in d. rt divides per coniunctum ex numeris #. d. et quod provenerit erit numerus g. quo extracto ex summa numerorum a. g. remanebit numerus a. notus : similiter facies cum ignoti fuerint numeri . d. et eorum summa sit nota, nec non et unusquisque numerorum 4. g. sit notus.

Item sit sicut a. ad D. ita g. ad d. et sit summa numerorum Ÿ. g. nota sed unusquisque eorum sil ignotus et sint etiam noti numeri a. d. quorum a. sit 6. et d. sit 9. et summa numerorum Ÿ. g. sit 5 quia factis ex a. in d. scilicet 54. equatur factum ex . in g. oportet ut dividantur 2r. in duas partes, quorum

una multiplicata per aliam facient 54. ergo ex qua-

drato medietatis de 21. scilicet de + 110. extrahes 54. et radicem residui quæ est + 7. extrahes de = 110 remanent 3. primo ex numeris Ÿ. 9. quibus extractis de 21. remanent 18. pro alio numero, erit enim sicut 6. ad 3. ita 18. ad g. vel sicut 6. ad 18. ita 3. ad g. eodemque modo procedens cum summa numerorum a. d. ignotorum fuerit nota cum numerus D. g. procedet enim ex hoc talis quæstio quod quidam mat rotulos 6. nescio pro quot bisantiis scilicet pro bisantiis 9. habuit rotulos nescio quod eadem ratione scilicet saumma rotulorum et bisantiorum fuit 36. de quibus extrahendi sunt rotuli 6. et bisantii 9. remanent 21. pro summa duorum ignotorum numerorum qui assimilantur numeris D. 9.

Sit item proportio numeri a. b. ad numerum g. sicut proportio d. c. ad numerum :. et sint ignoti numeri a. b. et g. numeri autem d. e. «. sint noti, et sit notum superfluum numeri a. b. super g. quod sit numerus a. c. et quia maior est numerus a. b. quam

6. maior erit numerus d. e. quam :. sumatur itaque ex numero d. e. numerus /. e. equalis numero e. et quia est sicut a. b. ad g. ita d. e. ad . erit itaque sicut a. b. ad e. d. ita d, c. ad f: e. quare si diviseris erit sicut a. c. notus ad €, b. ignotum, ita d. f. notus ad f. c. notum , quare multiplicabis a. b. primum per e. /. quartum et divides per d. f. tertium, et provenit c. 2.

( 330 } scilicet 2. notus quo audito cum @. c. notum erit notus totus numerus a. b. similiter si fuerint noti numeri a. b. et g. numeri d. e. et +. sint ignoti sed sit nctum id in quo numerus 4. e. excede numerum :. quod sit numerus d. f. accipiam ergo ex numero a. b. numerum c. b. equalem numero g. remanebit a. c. b. notum; quare mulliplicabitur d. f. in b. et summa dividetur per a. c. et quod exierit erit numerus f. e. hoc est numerus :. super quem si additis fuerit numerus 4. f. erit notus numerus d. e. sed sint ignoti numeri a. b. et d. e. et uterque numerorum g. €. sit notus, nec non et superfluum a. b. super d. e. quod sit a. c. quoniam est sicut a. b. ad 2. ita d. e. ad e. permutanti : ergo erit sicut a. b. ad e, ita g. ad <. sit itaque numerus g. 9. et numerus €. sit 3. et superfluum a. b. super d.e, hoc est à. c. sit 8. et quoniam est sicut g. ad ec. ita a. D. ad d. e. erit ergo sicut superfluum g. super <. scilicet 6. ad superfluum a. b. super d. e. scilicet ad