LE

é ‘Al bend"4 | AE fl "

c 5 7 "si 7. | | “ak,

e. f. equidistans lineæ a. D. et 3. d. et a puncto e. protrahatur linea e. «. faciens angulos rectos super linea a. g. dico quod punctus +. est centrum fontis, quod probabitur ita : protrahantur 4. puncto :&. duæ reclæ quæ sinte. 4. ete. g. quæ sunt volatus avium quos ostendam esse equales pro linea &. a. est sub-

( 336 ) tendens angulum rectum in triangulo +. 4. e. ideo quadratus ipsius equatur duobus quadratis linearum

g. e. ets. scilicet g. e. est equalis e. a. et quadratus lineæ e. +. et communis in prædictis duobus trigonis,

quare 2. :. et a. e. sunt equales, et hoc volumus, si -

secundum numerum procedere vis adde passus utriusque turris, scilicet 40. cum 30. erunt 70. quorum dimidium scilicet 35. ést dimidium e. f. nam et dimi-

NL eTs \

dium spatii D. d. est 25. quod est quelibet linearum b. f. et f. d. et accipe differentiam quæ est a minori turri usque in 35. quæ est 5. in quibus multiplica 35. erunt 175. quæ divide per dimidium spatii, scilicet per 25. exibunt 7. prolinea f.e. cum quibus si addantur 25. scilicet linea d. f. erit linea d. e. 32. et si auferantur 7. ex linea . b. remanebunt 18. pro linea «. 2. quorum quadratus si addatur cum quadrato turris 2. a. scilicet 324. cum 1600. erunt 1924. pro quadrato lineæ e. a.

(#83 ) cui etiam equatur quadratus lineæ <. g. cum proveniat ex additione quadratorum linearum «. d. et d. g. scicet de 1024 et de 900. et hoc volumus. Et notandum quod quadratus maioris turris esset equalis duobus quadratis qui sunt a. spatio b. d. et a. minori turri. tunc centrum fontis esset puncius B. qui est pro ex maioris turris, et si quadratus ipsius maioris turris superbabundaret super summam prædictorum quadratorum tune centrum erit extra maiorem turrim quod invenies eodem modo. Verbi gratia sit spatium b. d. quod est differentia turrium 10. et turris sint eadem ut in hac alia cernitur formula et protrahatur linea D. d. in infinitum super punctum z. et a. puncto e. protrahatur linea e. f. nec non et linea e. 2. ita faciens angulos rectos super lineam à. g. quare ostenduntur ex his quæ diximus lineæ «. a. etc. g. sibi invicem equales ; nam si præscripta 175. diviseris per

spatium d. /. quod est 5. nimirum 35. venient pro DC - 22

spatio fe. quare centrum e. distat a pede minoris turris, scilicet a. puncto d. passibus 40. ex quibus si trahatur spatium d. B, scilicet 10. remanebunt 30. pro spatio b. c. quod est extra maiorem turrim, et nota quod est supra lineam 4. i. protrahetur in plano linea ab utraque parte in infinitam per punctum :. secans ipsam ad rectos angulos tunc in quacumque parte ipsius lineæ velles, possis esset centrum prædictæ fontis. Et si a. centro fontis duæ aves in simul discesserint, et pari volatu super altitudines duarum turrium ab utraque parte fontis existentium uno eodemque momento devenerint et vis scire utriusque turris altitudinem et sit centrum prædictum longe 4. minori turri passibus 32. 4, minori passibus 18. sic facies quadratum minoris spatii de quadrato maioris extrahe scilicet 324. de 1024. remanebunt 500. quæ serva et pone altitudinem minoris turris ad libitum sitque 30. super quorum quadratum adde 700. servata, erit 1600. quorum radix scilicet 40. erit altitudo maioris turris. Et ponatur quod maior turris sit altior minoris passibus 8. dimidium de 8. serva et adde in simul distantias cintri &« turribus scilicet 18. et 32. erunt 50. quorum dimidium scilicet 25. extrahe de 32. remanent 7. quæ multiplica per eamdem 25. erunt t75. quæ divide per 4. servata exibunt +. 43. pro linea °F. super que adde 4. erunt +. 47. pro altitudine maioris turris, de quibus extractis 8. in quibus ipsa exedit minorem remanebunt +. 39. pro minor: turri. Quidam habuit bisantios 100. de quibus lucratus est in quodam foro ex quibus omnibus lucratus est in alio foro proportionaliter secundum quod Jucratum

fuerat in primo foro et habuit lhibras 200 pone a. pro

libris 100. et 6. pro eo quod habuit intra capitale et lucrum in primo foro et g. sit 200. quia est sicut a. ad b. ita ad 9: erit multiplicatio 4. in g. equalis quadrato numeri D. ergo multiplicabis 100. per 200. erunt 20000. quorum radix quæ est circa libras 141. et solidos 8. et denarios +. 5. est numerus D. de quibus auferantur libræ 100. capitalis remanebunt libræ 4r. Rursus quidam habuit libras 100. cum quibus fecit unum viadium et lucratus est nescio quot el tunc accepit alias libras 100. in societate et cum in his omnibus lucratus est eadem ratione qua lucratus fuerat in primo viagio, et sic habuit libras 299. quæretur quot lucratus fuit per libram sit d. 100. de quibus habeat numerum p. in primo viagio super quem addantur libræ 100. societatis et proveniat quantitas 2. c. d. de qua sint numerus c. et dividatur 2. c. in duo

equalia sunt :. et quia est sicut a. ad D. ïta g. d. ad e. erit multiplicatio ex 2. in g. d. equalis multiplication

a. me. sed multiplicatio a. in e. scilicet dé 100. m

299. est 29900. quibus equatur multiphicatio ex 2. in g. d. scilicet c. d. est equalis D. erit ergo multiplicatio g. d.'in c. d. 29900. quibus si addatur quadratus numeri :. c. scilicet 2500. erunt 32400. quorum radix scilicet 180. est numerus :. d. ex quibus si auferatur 5o. scilicet &. e. remanebunt 130. pro numero c. d. sed c. d. est equalis D. ergo b. est 130. qui fuit capitale et lucrcm primi viagii, de quibus si auferatur libræ 100. Capitalis remanebunt libræ 30. pro lucro : ergo ex libris 100. lucratus fuit 30. centesima pars quarum , scilicet solidi 6. lucratus fuit per libram ir

unoquoque viagio. [tem quidam habuit libras 100.

de quibus et de eorum proficuo lucratus est semper equaliter in tribus foris et in fine habuit libras 200. quæritur quot in unoquoque habuit foro : hic intelliguntur quattuor numeri proportionales ex quibus prius et quartus sunt noti scilicet libræ 100. et libræ 200. reliquos opportet not invenire. Et quoniam Euclides dicit inter duos cubos numeros duo medii intercidunt numeri continuali cum ipsis in portione continua , ideo cubicentur 100. erunt. 1000000. quorum proportio est ad cubum denariorum primi fori

sicut primus numerus ad quartum ut Euclides ostendit,

et quia quartus numerus scilicet 200. duplum est primi duplica 1000000. erunt 2000000. pro cubo denariorum primi fori, quibus etiam duplicatis faciunt 4000000. pro cubo denariorum secundi fori, quibus duplicatis faciunt 8000000. scilicet cubum ducentarum librarum quas ipse habuit in ultimo foro : ergo reperias radicem cubicam numerorum primi et secundi foni et habebis quarta secundum quantitatem

( 54 ) cum ipsi numeri radicem cubicam non haheant; sed si primus numeérus eorum et ultimus essent cubi vel habentes proportiones inter se sicut cubus numerus tunc interciderent inter eos duo numeri ratiocinati. Verbi gratia sit primus numerus 24. quartus vero sit 81. quorum proportio est sicut cubus 8. ad cubum 27. unde si vis invenire numeros intercidentes accipe radices cuborum, eruntque 2. et 3. in quorum proportione cadunt numeri intercidentes ; quare triplum primi numeri divides per vel dimidium eius quod est 12. triplica veniunt 36. pro secundo numero quorum dimidio iterum triplicato veniens pro lertiv numero 54. quorum etiam dimidio iterum triplicato provenit est quartus numerus 81. ut volebamus, et notandum quod quando in similibus inter primum numerum et ultimum scilicet inter capitale et id quod habiut in fine suorum viagiorum unus intercidit numerus ut in duobus foris tunc proportio ipsorum trium numerorum dicitur esse duplicata in ea quam habet ultimus numerus ad primum numerum, hoc est sicut ultimus numerus, ila quadratus secundi numeri est ad quadratum primi et quadratus ultimi ad quadratum securdi et dicitur duplicata quia quadratus numerus surgit ex duobus numeris equalibus et cum duo intercidentium tunc ipsorum quatuor numerorum proportio esse dicitur triplicata hoc est sicut ultimus numerus est ad primum, ita cubus secundi ad cubum primi et cubus tertii ad cubum secundi et cubus ultimi ad cubun tertii et dicitur uiphcata quia omnis eubus numerus surgit ex tribus equalibus numeris ut 8, qui surgit ex tribus binariis

et cum tres intercederent numeri ut in questione quatuor viagiorum tunc proportio ipsorum quinque numerorum erit quadriplicata, hoc est sicut proportio quinti ad primum, ita quadratus quadrati unius cuiusque sequentis erit ad quadratum quadrati sui antecedentes et dicitur quadriplicata quia omnis quadratus quadrati surgit ex quatuor numeris equalibus ut 81. qui surgit ex quatuor tertiariis et sic per ordinem ascendit proportio ex additione intercidentium numerorum. Nam qui copulata proportio est in cubis quadratorum vel in quadratis cuborum ex quibus est 32. qui surgit ex 5. binariis vel ex multiplicatione cubi binarii in quadratum eus sex copulata vero proportio est in cubis cuborum qui numeri oriuntur ex sex numeris equalibet si acceperis radicem quadratam provenit numerus cuius radix cubica ést latus ipsorum numerorum. Verbi gratia ut 729. quorum radix quadrata est 27. quorum radix cubiça est 3. qui numerus est laus de 729. secundum has multiplicitates , ex his autem habetur quod quandi extremi numeri scilicet capitale et id quod habetur in fine duorum Viagiorum, non habeant proportionem inter se sicut quadraius numerus ad quadratum numerum tunc numerum intercedens inter eos erit radix numeri non quadrati. Et cum tres fuerint viagii et extremi non habuerint proportionemsicutcubusnumerusadeubum numerum tunc unusquisque duorum intercedentium numerorum erit radix cubica numeri non cubi. Et si quatuor fuerint viadii extremi non habuerunt proportionem inter se sicut quadratus numeri ad quadratum quadrati : tunc unusquisque trium interci-

(« 343 ) dentium numerorum erit radix radicis numeri non quadrati et sic intelligas in reliquis.

Quidam habens bisantios cum quibus lucratus est in quodam foro, ita quod inter capitale et proficuum habuit bisantios 80. de quibus lucratus est in alio foro eadem ratione quod lucratus fuerat prius et babuit aliquid et fuerit proportio capitalis ad ultimum numerum sicut est proportio quadrati de 5: ad quadratum de 9. hoc est sicut 25. est ad 8x ad ultimum

numerum, quare multiplicanda sunt 25. et 81. per 80.

et dividenda utraque multiplicatio per 45. exibunt

pro capital bisantios £ 44. et pro ultimo numero

Ù bisantia 144. Eadem regula retinet cum diciiur inveniantur duo numeri ex quibus + unius sit + alterius et si multiplicati faciant 80. erit primus numerus £. 6. seilicet radix de #. 44. prædictis et alius numerus erit 12. scilicet radix de 144. et inveniuntur itaque + primi numeri + secundi, invemendi sunt duo numeri quorum + unius est + alterius erunique ‘et 9 mulüplica ergo 9. per 80. et divide per 5 et 5 per 80. divide per 9. exibunt < et 144 integri, quorum radices scilicet += et 12. sunt quæsiti numeri. Et si vis invenire duos numeros ex quibus + unius sini +. alterius, et in sunul mulüplicau facient 60. invenies ergo ducs numeros

ex quibus + unius sint + alterius eruntque in mino-

ribus numeris g. et 10. multiplica ergo secundum

regulam supraseriptam 10 per 60. et divide per g.

exibunt =. 66. quorum radix est primus numerus. [tem multiplicationem de 9. in 6e. divide per 10. erunt 54. quorum radix secundus numerus.

Si vis invenire duas radices in integris quorum A

( 344) quadrati in simul coïuncti faciant quadratum numerum , scilicet habentem radicem accipe duos numeros quadratos vel habentes inter se proportionem quadratorum et sint ambo pares vel impares et multiplica unum in alium, et venientis numeri radicem accipe quæ erit una ex radicibus quæsitis : deinde aggrega numeros scriptos et egredietur numerus par, et cum ambo sint pares vel impares, cuius numeri dimidium accipe et ex ipsa medietate minorem numerum extrahe residuumque erit alia radix. Verbi gratia sint duo quadrati numeri 1 et 9. quibus coniunctis faciunt 10. et ex multiplicatione unius in alium surgit 9. unius radix est 3. quæ habeas pro radice et extrahe minorem numerum scilicet 1. ex medietate decenarii re-

manebunt pro alia radice 4. ue

Inveniuntur hæc per unam ex suprascriptis deffinitionibus, scilicet cum numerus dividetur in duas equales partes , et in duas inequales , erit multiplicatio minoris partis per maiorem cum quadrato numeri qui est à minori parte usque ad medietatem totius numeri divisi equalis quadrato dictæ medietatis. Quare nonamus iterum pares numeros habentes proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum et sint 8. el 18. quorum proportio est s:cut 4. ad 9. qui sunt numeri quadrati qui in simul junct faciunt 26. cuius dimidium est 13. ergo 26, divisus est in duas partes inequales scilicet in 8. et in 18. et in duas equales scilicet in 13. et 13. est ergo multiplicatio de 8. in 18. cum quadrato quinarii qui est ab 8. in 13. equalis multiplicationi de 13. in se. Sed ex multipligatione 8. in 18. surgit 144. qui est qua-

dratus cuius radix est 12. et ex multiplicatione quinard in se qui est alia radix surgit 25. et sic habentur 169. cuius radix est 13. Et aliter est quidem manifestum quod omnes quadrati numeri componuntur a congregione imparium numerorum per ordinem, ut si super qui est quadratus est primus impar addatur 3. qui est secundus impar habeatur 4. qui est secundus quadratus super quem si addatur tertius impar numerus scilicet 5, tertius quadratus scilicet 9. procreatur et sic infinite ex continua collectione imparium quadrati per ordinem oriuntur. Quare si accipimus aliquem quadratum numerum imparem vel ortum ex duobus vel pluribus imparibus numeris continuis et summam reliquorum imparium ab unitate accepimus nimirium duos quadratos habebimus, qui coniuncti, aliquem quadratum nnmerum reddent. Verbi gratia accipiamus 49. pro uno quadrato et colligamus omnes impares qui sunt ab uno usque in 47. scilicet multiplicemus 24. in 6. et habebunt 576. pro secundo quadrato cuius radix est 24. et radix de 49 est 7. et summa horum quadraforum est 625. quorum radix est 25. similiter imposueris duos vel plures numeros continuos impares quorum coniuncto faciat quadratum numerum radix quidem ipsius erit una exquisitis radicibus; summæ vero reliquorum imparium radix qui sunt ab ipsis usque ad unitatem erit alia.

De inventione duarum radicem quarum multiplicationes

in simul Juncitæ faciunt 35.

Si dicatur ter tria faciunt 9. etquatuor quatuor faciunt

( 540 ) 16. quibus in simul additis faciunt 25. volo ut invenias alias duas radices quarum quadrati faciunt 25. Quia 25. est numerus, numerus habens radicem scilicet 5. reperiendæ sunt aliæ duæ radices quarum quadrati in simul juncti faciunt alium quemlibum numerum habentem radicem, eruntque 5 et 12. nam 5. multiplica in se faciunt 25. et 12 in se faciunt 144. quibus in simul junctis faciunt numerum habentem radicem videlicet 169. cuius radix est 13. deimde multiplica radicem de 25. videlicet 5 per 12. modo inventa erunt 60. quæ divide per 13 exibunt <- 4. pro una ex duobus radicibus; deinde multiplica eadem 5 per alia inventa 5 erunt 25. quæ similiter divide per 13: exi-

bit = 1. quæ sunt alia radix. Verbi gratia muluplhi-

catio de + 4. in se facit 2 Æ 21 et multiplicatio de

+ 1. in se facit <— = 3. quibus in simul junctis faciunt 29, ut quæsitum est, et sic potes multimode +, 4. et = etiam + 4 et 1.

De imventione duarum radicem quarum multiplicationes faciant A1.

item 4.-vices 4. faciunt 16 et 5 vices faciunt 25. quæ in simul juncti faciunt 41. et quæritur ut invenias alias duas radices quarum quadrati faciant similiter 41. Inveniantur quidem duo quilibet numeri quorum multiplicationes junctæ faciunt numerum habentem radicem scilicet 25. cuius radix videlicet 5. multiplicetur per utrasque radices propositas scilicet per 4. et per 5 exibunt 20 et 25 deinde multiplica 20 per 20 erunt 400. et 25 per 29 erunt 625. quibus in

( 347 ) simul junets faciunt 1025. vel multiplica 25 per 41. et eruntsimiliter 1025. in quibus alias duas radices poteris reperire in sanis propter 20 et 29 quæ faciunt 1025. quos invenies sic : pone radices quæ fecerunt 25. unam sub alia ante quas pones eas quæ fecerunt 41. ut hic ostenditur et multiplicabis 3 per 4. quæ sunt ante ipsam 3 et quæ fuit una ex radicibus de 2524. et 5 per 5 quæ sunt ante ipsam et habebis 12 et 20. quæ servabis exparte. Rursus multiplicabis radices ex opposito scilicet 3 per 5 et 4 per 4. erunt 15 et 16. quæ

1 Là hr ba |

| FR e adde in simul erunt 3r. et extrahe 12 de 20 remanent

8. et sic habes pro quæsitis duabus racidibus 3x et 8. quorum multiplicationes in simul junctæ scilicet 961 et 64. faciunt 1025. Quare dividendum est uterque numerus videlicet 3x et 8 per 5. quæ multiplicasti superius per positas radices videlicet per 4 et per 5 exibunt 6 et +et + quorum multiplicationes si in simul addideris faciunt 41 sunt enim in 1025. aliæ 2. radices, quarum multiplicationes in simul junctæ juncte faciunt iterum 1925. quæ reperiuntur ex prædictis quatuor inventis numeris : sic adde 12. cum 20. et extrahe 15 de 16. et egredientur pro ipsis radicibus 32 et 1. quibus per 5. divisis reddent 25 et +. quorum quadrati faciunt iterum 41. Possumus enim cum multiplicatione duorum aliorum numerorum maltimode ad eamdem 41. pervenire scilicet si accepimus

alios duos numeros præter 3. et 4. quorum multiplicationes junctæ in simul faciant alium numerum babentem radicem ut 5 et 12. qui faciunt alium numerum habentem radicem videlicet 169. de cuius radice videlicet de 13. facies sicut fecisti de 5. reperies = 3 et = 5. Quoniam quorum multiplicationes in simul junctæ faciunt similiter 41. nam unde hæc inventiones procedunt geometrice demostrata sunt in libello quem de quadratis composui.

De petia panni ex qua quidam voluit facere linteamina.

Quidam habet petiam unam panni quæ est longa ulnis 100 et ampla ulnis 30. ex qua vult facere linteamina, quorum unumquodque habeat in longitudine ulnas 12 et in latitudine ulnas 5. quæritur quot linteamina inde facere potest; multiplicabis itaque habitudinem petiæ per ipsius longitudinem videlicet 30 per 100 est 3000. quæ divide per longitudinem et laütudinem linteaminum, videlicet per 5 et per 12.

hoc est - -- exibunt linteamina 50.

La] me

De arca præstita plena frumento.

Quidam recepit mutuo quamdam archam plenam frumento quæ habuit in singulis lateribus videlicet in Jatüitudine, longitudine et altitudine palmes 16 accidit nempe quod ipsa arca fuit ique combusta sic quod non posset frumentam cum ipsa archa reddere quod conveniretur ut redderet frumentum suo præ-

statori aut eam archam quæ habet in singulis lateribus palmes 4. tolle cum ea tuum fromentum quæritur quos archas frumenti ei reddere débeat multiplicabis itaque latitudinem maioris archæ per longitudinem ipsius videlicet 16 per 16 erunt 256. quo multiplicatis per altitudinem videlicet per 16 erunt 4096. quo divide per 64. quæ exit ex multiplicatione latearum minoris archæ videlicet de 4 in 4. quæ in 4 exibunt archæ 64. vel aliter divide latus maioris arcæ pro latus minoris videlicet 16 per 4 exibunt 4. quæ cubica erunt similiter arcæ 64. ut prædiximus. Si autem aliqua præscriptarum arcarum inequalia habet latera priori regulæ nom obstaret quia semper multiplicanda est latitudo per longitudinem et altitudinem maioris arcæ et debes dividere ipsam summam per latitudinem et longitudinem et altitudinem minoris.

De cisterna plena aqua in qua eticitur lapis tetragonus .

Est cisterna plena aqua quæ tenet bariles 1000. et habet in latitudine pedes 20, et in longitudine pedes 24. et in altitudine pedes 30. quæritur si eïiciatur in eam lapis quadratus habens in singulis lateribus pedes 6. quanta aqua inde exierit; multiplicabis itaque ultimæ latitudinem per longitudinem scilicet 20 per 24 erunt 480. quæ multiplica per altitudinem videlicet per 30. erunt pro arca totius cisternæ pedes quadrati 14400. quos serva et multiplica in unum latitudinem et longitudinem et altitudinem lapidis scilicet 6 per 6 quæ per 6. erunt 216. quadrati per aerca ipsius lapidis; quare proportionaliter est sicut 216. ad 14400.

ita bariles evacuationis ad bariles 1000. quare multiplica 216 per 1000 erunt 216000. quæ divide per 144000 exibunt 15. et tot bariles aquæ exibunt de cisterna pro ipso lapide.

De éisterna in qua eiicitur colupnra. s

Item si in cisterna suprascripta eüciatur colupna quæ sit longa pedibus 10 et habeat in circuitu pedes 20, sic facies , invenies suprascriptum 14400. quæ est summa pedum totius cisternæ, deinde invenias dimidium colupnæ quod per Geometriam sic invenitur, videlicet, quod divides circulum colupnæ videlicet 22 per + 3. exibunt pro diametro pedes 7. quorum dimidium quod est = 3. muitiplica per diidium circuli videlicet per 11. erunt = 38. quæ sunt arca circuli colupnæ quæ multiplica per longitudinem colupnæ videlicet per 10. erunt pro arca colupnæ pedes quadrati 385 quos multiplica per bariles 1000 erunt 387000. (sic) quos divide per 14400. exibunt © + 26. tot bariles aquæ exierunt de cisterna pro colupua illa.

Rursus si in eadem cisterna eïiciatur lapis qui habeat formam piramidis circularis, hoc est quod in basis ut pes colupnæ rotundæ ,et vadat ipsius rotodonditas semper minuendo versus altitudinem donec ad nihilum redigitur et sit circulus basis pedes 22. et ipsius altitudinem habeat pedes 18. invenies siquidem diametrum ipsius basis, hoc est quod divides 22 per + 3. et habebis 7. pro diametro, cuius dimidium videlicet £ 3. multiplicabis per dimidium cireuli scilicet per 11 erunt : 38. quæ sunt acra basis; deinde in-

( 35 ) venies diametrum altitudinis piramidis quæ sic invemietur : multiplicabis 18 per 18 et 324. de quibus extrahe multiplicationem diametri dimidii circuh, videlicet + 3 in se, quæ multiplicatio est = 12. remanebunt + 311. quorum radix quæ est parum amplius de + 17. erit perpendicularis videlicet diametrum altitudinis ipsius cuius tertiam partem quæ est 1 5. multiplica per = 38. erunt pedes # 296. et tanta erit arca totius piramides quæ multi plica per bariles 1000 et divide per arcam cisternæ indelicet per 14400.

exibunt bariles 22? 15.

De cisterna in qua eüciur lapis ex utraque parte piramidatus.

Iterum si in eadem cisterna eiiciatur lapis qui habeat formam fusi cum quo filant mulieres in duo reddit piramidis similes suprascripto piramidi et quod ponatur invenire scilicet in sectiones piramidarum cui cum detur pedibus 144. et in longitudine habeat exterius pedes 26. invenies itaque arcam piramidis per suprascriptam regulam et addes eas in unum erunt pedes 2 1124. quos multiplicabis per bariles 1000 et divides per 14400. exibunt bariles 2 98.

De cisterna in qua eïicitur spera rotunda.

Adhuc si in suprascripta cisterna eiiciatur forma rotunda in cuius circuitu sunt pedes 44. invenies diametrum ipsius scilicet quod divides 44 per : 3. exibunt pro diametro ipsius pedes 14. quæ multiplica

(352 ) per ’sextam partem ipsius videlicet 2 2 erunt + 32. quæ multiplica per 44 erunt 1435. et tot pedes quadrati continetur in suprascripta forma quos multiplica per bariles 1000 et divide per 14400. exibunt 27 00. et tot" bariles exierunt de cisterna projectione illius formæ. Possumus enim in suprascripta cisterna varias lapide formas eïicere utpote triangulatas, quadratas, pentaglatas etiam plurium laterum habentes seu obliquas quas relinquimus demostrare his qui geometriam

ignorant.

De triangulari ciborio picto a tribus magistris.

Quidam construxit palatium et pro tecto sui thalami ciborii ex quatuor trigonis constituit quorum unumquodque latus habebat in altitudine palmos 36. et in eorum basi palmos 30. quod ciborum tribus magistris dedit ad pingendum , quorum primus pinxit

suam portionem videlicet tertiam incipiendo a puncta

ilhus ciborii, finiendo ad equidistantem lineam circiter cum base trigonorum. Secundus suam tertiam partem primi circiter pingere studuit; tertius vero pinxit residuum : quæritur quantum unusquisque ex ascendentibus lineis trigonorum pinxerit cum unus-

Portio primi magistri.

Secundi.

Tertit. \

quisque ipsorum tantum tertiam partem ciborti pin-

xisse proponatur : mensura quidem basis in hoc quæstione nil facere scias : mensura vero linearum ascendentium a base usque ad puncta ciborii videlicet 36. in se ipsam multiplicata erunt 1296. et radicem tertiæ parüs ipsi videlicet de 432. subüiliter invenire studeas: nam ipsa erit portio quam primus ex ipsis lineis a puncta inferius descendendo depinxit similiter si de 2 de 1296. scilicet de 864. radicem subtiliter acceperis terminum secundi magistri ab eadem puncta inferius descendendo reperies. Residuum vero pinxit tertius ut in subiecta figura ostenditur. Unde manifestum est quod est quacumque parte de suprascriptis 1296 radicem acciperis dabit punctum seu terminum t:bi cujusdem partis suprascripti cibori a puncta incipiendo et inferius veniendo ut superius demostravimus.

Sint tres numeri ex quibus medietas primi est tertia pars secundi, et quarta pars secundi est quinta pars tertii numeri et multiplicatis ipsis tribus numeris in unum scilicet primum per secundum , quorum summa multiplicata per tertium faciunt additionem eorumdem. Invenias primum tres numeros quorum medietas primi sit tertia pars secundi, et quarta secundi sit quinta tertn, eruntque 8. et 12 et 15. pone ergo ut primus numerus sit 8. secundus 12. tertius 15. et multiplica eos in unum et etiam addes eos, erit eorum multiplicatio 1440. quorum addictio est 35. vide ergo quæ pars sit addictio dicta est multiplicatione prædicta quia eadem pars erit tetragonis uniusquisque quæsitorum numerorum, ex tetragono suppositi numeri in se. Îtaque 35 de 144. Fer quia